第三节 平面任意力系的简化

工程中经常遇到作用在物体上的力的作用线都在同一平面内（或近似地在同一平面内），且呈任意分布的力系，这样的力系称为平面任意力系。当物体所受的力均对称于某一平面时，也可以视作平面任意力系问题，如图28所示。

图2 8

一、力的平移定理

作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任意点O，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点O的矩，这就是力的平移定理。如图29

所示。

证明：根据加减平衡力系公理，在任意点O加上一对与F等值的平衡力F′、F″[图2 9（b）]，则F与F″为一对等值反向不共线的平行力，组成了一个力偶，其力偶矩等于原力F对O点的矩，即

M=M_O（F）=Fd

（2 7）

于是作用在A点的力F就与作用于O点的平移力F′和附加力偶M的联合作用等效，

如图2 9（c）所示。证毕。

图2 9

力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体有两种作用：一是平移力的作用；二是附加力偶对物体产生的旋转作用。

如图210所示，圆周力F作用于转轴的齿轮上，为观察力F的作用效应，将力F平移至轴心O点，则有平移力F′作用于轴上，同时有附加力偶M使齿轮绕轴旋转。

再以打乒乓球为例（图211），分析力F对球的作用效应，将力F平移至球心，得平移力F′与附加力偶，平移力F′决定球心的轨迹，而附加力偶则使球产生转动。

图2 10

图2 11

二、平面任意力系的简化及结果分析

1.平面任意力系向面内任一点简化

设刚体上作用有一平面任意力系F₁、F₂、…、F_n，如图2 12（a）所示，在平面内任意取一点O，称为简化中心。根据力的平移定理，将各力都向O点平移，得到一个汇

交于O点的平面汇交力系F′₁、F′₂、…、F′_n，以及平面力偶系M₁、M₂、…、M_n，如图

2 12（b）所示。

图2 12

（1）平面汇交力系F′₁、F′₂、…、F′_n，可以合成为一个作用于O点的合矢量F′_R，如

图2 12（c）所示。

F′_R=∑F′=∑F

（2 8）

它等于力系中各力的矢量和。显然，单独的F′_R不能和原力系等效，它被称为原力系的主矢。将式（28）写成直角坐标系下的投影形式为

F′_Rx=F_1x+F_2x+…+F_nx=∑F_x F′_Ry=F_1y+F_2y+…+F_ny=∑F㊣

╮y╯

（2 9）

因此主矢F′_R的大小及其与x轴正向的夹角分别为

F′_R=㊣F²_Rx+F²_Ry=㊣（∑F_x）²+（∑F_y）²

θ=arctan

FF_RRxy=arctan ∑∑FFy㊣

╮

x╯

（2 10）

（2）附加平面力偶系M₁、M₂、…、M_n可以合成为一个合力偶矩M_O，即

M_O=M₁+M₂+…+M_n=∑M_O（F）

（2 11）

显然，单独的M_O也不能与原力系等效，因此它被称为原力系对简化中心O的主矩。

综上所述，得到如下结论：平面一般力系向平面内任一点简化可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。

原力系与主矢F′_R和主矩M_O的联合作用等效。主矢F′_R的大小和方向与简化中心的选择无关。主矩M_O的大小和转向与简化中心的选择有关。

平面任意力系的简化方法，在工程实际中可用来解决许多力学问题，如固定端约束问题。

固定端约束是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全固定，既不能移动也不能转动的一种约束形式。工程中的固定端约束是很常见的，例如，机床上装卡加工工件的卡盘对工件的约束[图2 13（a）]；大型机器中立柱对横梁的约束[图2 13（b）]；房屋建筑中墙壁对雨篷的约束[图2 13（c）]；飞机机身对机翼的约束

[图2 13（d）]。

图2 13

固定端约束的约束反力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系，当外力为平面力系时，约束反力所构成的这个分布力系也是平面力系。由于其中各个力的大小与方向均难以确定，因而可将该力系向A点简化，得到的主矢用一对正交分力表示，而将主矩用一个反力偶矩来表示，这就是固定端约束的约束反力，如图214所示。

图2 14

2.平面任意力系的简化结果分析

由前述可知，平面任意力系向一点O简化后，一般来说得到主矢F′_R和主矩M_O，但这并不是简化的最终结果，进一步分析可能出现以下四种情况：

（1）F′_R=0，M_O≠0。说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩，此时主矩与简化中心无关。

（2）F′_R≠0，M_O=0。说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心，此时F′_R就是原力系的合力F_R。

（3）F′_R≠0，M_O≠0。这种情况还可以进一步简化，根据力的平移定理逆过程，可以把F′_R和M_O合成一个合力F_R。合成过程如图215所示，合力F_R的作用线到简化中心O的距离为

d=

FMRO=FM′_RO

（2 12）

（4）F′_R=0，M_O=0。这表明：该力系对刚体总的作用效果为零，即物体处于平衡状态。

图2 15

图2 16

【例24】如图216所示的水平梁上作用有力

及力偶。已知F=50kN，P=10kN，m=100kN ·

mm，求此力系向A点简化的结果。

解：此例是将力系向指定点进行简化，A点为简化中心，简化后将得到一个作用于A点的力和一个力偶，即得到原力系的主矢和主矩。

R_x=∑F_ix=Pcos30°=10×0.866=8.66（kN）

R_y=∑F_iy=F-Psin30°=50-10×0.5=45（kN）

主矢的大小

R=㊣R²_x+R²_y=㊣8.66²+45²=45.82（kN）

主矢的方向

tanα=

RR_yx=8.4566=5.20，即α=79.11°

主矩

M_A=m+Fd_F-Pd_P=100+50×100-10×（100+50）×sin30°

=4350（kN·mm）

【例2 5】如图2 17（a）所示为一铆接钢板的受力图，A、B、C为三个铆钉，其

上受力为F₁=200N，与水平方向成60°角，F₂=150N，F₃=100N，求此三力的合成结果。

图2 17

解：此例是求力系的最简结果。（1）将力系向A点简化。

R_x=∑F_ix=F₁cos60°-F₂=200×cos60°-150=-50（N）R_y=∑F_iy=F₁sin60°-F₃=200×sin60°-100=73.2（N）

主矢的大小

R=㊣R²_x+R²_y=㊣（-50）²+（73.2）²=88.65（N）

主矢的方向

tanα=

RR_yx=

735.02=1.464，即α=55.66°

主矩 M_A=∑M_A（F_i）=F₁d₁+F₂d₂-F₃d₃=0+150×0.3-100×0.2

=25（N·m）

（2）因主矢和主矩均不为零，所以结果不是最简结果，可进一步简化为一合力，即将主矢再一次平移，平移距离为

d=MRA=882.569=0.282（m）

因为主矩为逆时针，故需将主矢向A点的右侧平移0.282m。力系的最终合成结果为一合力，其大小和方向与所求的R相同。