3.4 地基中的附加应力

3.4.1 附加应力的空间问题

地基中的附加应力，是在建筑物重量以及其他外部荷载作用下在地基土体中任一点所引起的应力（相对土的自重应力而言，为增加应力）。由于基础底面积与基础底面下的土体面积相比是非常小的，所以基础底面以下的土体可视为半无限空间体。此外，实践表明，当外荷载不太大时，地基变形与所受荷载基本上呈线性关系。因此，可把地基视为半无限空间的线弹性变形体,这样就可采用弹性力学理论来确定地基中的附加应力。

作用于土体上的外荷载，通过各土粒之间的接触点来传递，所以按弹性理论计算土体中任一点的应力，只能作为该点近似的平均应力。由于一般土粒尺寸与半无限空间体相比是微小的，故这种计算方法在实用上是允许的。而且实际量测的资料证明，计算值符合工程精度要求。因此，这种计算方法被广泛应用。

3.4.1.1 集中荷载作用下地基中的附加应力

1.垂直向集中力作用下地基中的附加应力——布辛奈斯克课题

早在1885年，布辛奈斯克（Boussinesq.J）就推导出在无限大平面和均质半无限空间体内（图3-6）任一点M处，由集中力P引起的垂直向应力σ_z的计算式为

同时，推导出M点的微分土体上的法向应力σ_x、σ_y，剪应力τ_xy、τ_yz与τ_zx（图3-6）。它们的表达式为

这就是经典弹性力学中一个基本课题的解答。

垂直向附加应力σ_z在地基变形计算中经常要用到。因此，将作为重点讨论。

式（3-14）又可表示为

式中:K为垂直向附加应力分布系数，无因次，其随γ和z的变化如图3-7所示。

由式（3-18）可看出，当深度z为一定值时，水平距离r越大，则K值越小，因而σ_z亦越小。又在P的作用线之下，即r=0的垂直线上，z值越大，σ_z值越小。这种现象即土中应力的扩散现象。图3-8（a）给出了应力的分布规律。

现分析图3-8（a）中=2.0的情况。由图3-7查得K=0.01，表明在=2.0处的斜线上各点的附加应力已经很小，就可把此斜线近似地作为应力分布边界。在此线以外的附加应力很小，可忽略不计。

连接地基中相同σ_z值的各点，可绘出如图3-8（b）所示的等应力线图,此图也称应力泡。

若地面上同时作用有多个集中力［图3-8（c）中P₁、P₂］，则应分别算出各个集中力在土中任一深度水平面AB上所引起的附加应力，并对其求和，如图3-8（c）中虚线abcd范围所示。

在工程实践中，若基础较大，形状又不规则，可把基础分成几个小块，各小块的荷载近似地作为集中力考虑。若建筑物的基础较多，每个基础的面积又较小，也可把每个基础的荷载作为各集中力考虑。

2.水平集中力作用下地基中的附加应力——西罗第课题

当地面作用有水平向集中力时，在地基内任一点M（x，y，z）处引起的附加应力σ_z由西罗第（Cerruti）推导得出

式中各符号见图3-9。它是经典弹性理论中的另一基本课题解答。

不难看出，只有当基底与地基表面之间有足够的传力条件（如摩擦力或黏聚力），并且将地基土视为连续弹性体时，地基表面水平荷载才能在地基中引起附加应力。

根据前述两个基本课题，分别按工程特点、荷载条件与边界条件进行积分，可得出各种条件下的附加应力计算式和图表，供进行应力计算时使用。

3.4.1.2 分布荷载下地基中的附加应力

建筑物都是通过基础把荷载传给地基的。因此，常要计算有限基础底面积上的荷载在地基中所引起的附加应力。下面分三种情况计算矩形基底面积（L/B≤10）承受不同分布形式的荷载时，在地基中引起的垂直向附加应力。

1.矩形荷载面作用有均匀分布垂直荷载的情况

当均匀分布的垂直荷载p作用于矩形（图3-10）荷载面时，荷载面任一角点C下地基中的附加应力可由式（3-14）从长度L和宽度B的界限内二重积分求得

式中:B为矩形荷载面的宽度；L为矩形荷载面的长度。

按其几何关系，将式(3-20)简化为

式中：K_c为均布垂直荷载矩形荷载面角点C下的应力分布系数，无因次，为m=与n=的函数，从表3-2查用。

该计算方法称为角点法。角点C下的σ_zc沿深度分布如图3-11所示。

根据叠加原理，可用式（3-21）计算矩形荷载面以内或以外任一点的下方任一深度处的附加应力，其应力系数可按下述分部综合角点法确定：

（1）计算矩形荷载面内任一点M之下的附加应力时［图3-12（a）］

K_c=K_cⅠ+K_cⅡ+K_cⅢ+K_cⅣ

（2）计算矩形荷载面边上一点M之下的附加应力时［图3-12（b）］

K_c=K_cⅠ+K_cⅡ

（3）计算矩形荷载面外一点M下的附加应力时［图3-12（c）］

K_c=K_c(fbgM)+K_c(ecgM)-K_c(fahM)-K_c(edhM)

综上所述，按分部综合角点法求荷载面上任意点M下的附加应力时，均需通过M点将荷载面图形划为多个矩形，使M点为所分出的各个矩形的共同角点，然后将所划出的各矩形面内荷载对该点的应力影响叠加起来。

必须注意，所划出的每个矩形，其短边恒为B，长边恒为L。

【例3-2】 图3-13中A、B为两建筑物基础的荷载面形状，其中A为2m×6m的矩形，B为1m×1m的方形，它们均承受p=300kPa的均布荷载。设此两建筑相距甚远，相互间的附加应力影响可以不计，试分别作出两建筑物荷载面下的最大附加应力σ_z的分布图，并比较两者对地基中同一高压缩性土层的影响有何不同，指出原因何在。

解：在均布荷载下，地基中最大附加应力发生在通过基底形心的垂直线上，其计算方法如下。

过基底A的形心，将荷载面A划分为四个相同的1m×3m的矩形，若求距地面下2m深处的附加应力σ_z，则

从表3-2查得K_c=0.1314，由于四个矩形全等，故

σ_z（A）=4K_cp=4×0.1314×300=157.68（kPa）

用同上方法，算出B荷载面形心以下2m处的附加应力σ_z为

σ_z（B）=4K_cp=4×0.0313×300=37.56（kPa）

将两个基础形心垂直线上不同深度的其他各点的σ_z值按同样方法计算出后，即可依一定比例尺绘出最大附加应力σ_z的分布，如图3-13所示。

由计算结果可见，在相等强度的均布荷载作用下，大小不同的两建筑物荷载面在地基下相同深度处，所引起的附加应力σ_z值是不同的。荷载面（基础）越大，在同深度处的附加应力σ_z也越大。因此，在图3-13高压缩性土层顶面处由A建筑物所引起的附加应力（104.0kPa）大于由B建筑物在该处所引起的附加应力（18.36kPa），且A建筑物下应力分布的影响深度也较大，故A基础的沉降也将大于B基础。

2.矩形荷载面作用有三角形分布垂直荷载的情况

当矩形受荷面上承受三角形分布的垂直荷载时（图3-14），位于荷载强度为零的角点C下的附加应力按下式计算

式中:p_t为三角形分布荷载的最大值，kPa；K_t为三角形分布荷载下，相应零角点下的应力分布系数，无因次，为m=与n=的函数，可由表3-3查用。

σ_z沿深度的变化如图3-15所示。

在计算矩形荷载面以内或以外任一点M之下的附加应力时，对于三角形分布荷载的情况，也可用分布综合角点法进行。例如，当M点在最大荷载边上时，可根据应力叠加原理作出如图3-16所示的计算图，据之不难看出

K_t=K_c(Ⅰ)+K_c(Ⅱ)-K_t(Ⅰ)-K_t(Ⅱ)

注意：上式中K_c、K_t分别为均布垂直荷载角点和三角形垂直荷载作用于矩形荷载面零角点下的应力分布系数。

3.矩形荷载面作用有均布水平荷载的情况

当矩形荷载面承受均布水平荷载时（图3-17），则对式（3-19）积分，求得矩形荷载面的左角点A和右角点C下的两个附加应力。计算表明，在角点A与C下的附加应力的绝对值相同，但角点A下的σ_z为负值（拉力）；而角点C下的σ_z为正值（压力）。所以

式中：p_h为均布水平荷载强度，kPa；K_h为应力分布系数，无因次，为m=的函数，可从表3-4查得；B为平行于水平荷载方向的宽度，m；L为垂直于水平荷载方向的边长，m。

正负号取决于角点相对于水平荷载作用方向的位置。

计算表明，在宽度B的中点下面任一深度由水平荷载引起的附加应力σ_z=0。

受均布水平荷载作用时，地基中附加应力沿深度分布，如图3-18所示。

求矩形荷载面以内或以外任一点之下的附加应力，也可利用叠加原理仿前述分部综合角点法进行，如图3-19所示。

4.矩形荷载面作用有梯形分布垂直荷载及均布水平荷载的情况

这种情况在水工建筑物中是经常遇到的一种荷载组合，如图3-20所示。图中梯形垂直荷载由均布荷载与三角形荷载两者组成，水平荷载［采用式（3-12）］为均布荷载。故可按前述各节分三种情况分别计算各点的附加应力，然后叠加起来。

5^*.任意荷载面形状下的附加应力计算——纽马克感应图法

实际工程中，尤其水利工程中常会遇到不规则基础底面的情况，此时，基础底面下地基中任一深度z的附加应力可采用纽马克感应图法来近似计算。

感应图法是纽马克（N.M.Newmark）提出的一种计算复杂荷载面下垂直附加应力的简易方法。所用的感应图是按一定比例绘制的9个同心圆，每个同心圆又以一定半径（表3-5）分为20等份。因此，该图系由多个曲边矩形组成，如图3-21所示，简称纽马克感应图。当图中任一曲边矩形内布满均匀垂直荷载时，每个小矩形在感应图圆心下z深度处将产生0.005p的垂直应力。故数出计算图形覆盖的感应图中的小矩形N，即可算得垂直附加应力σ_z，具体步骤如下：

（1）计算比例尺η=z₀/z，z₀为感应图的基本长度，即图中的长度，z为计算的深度。

（2）按比例尺η绘荷载面于透明纸上。

（3）将透明纸覆盖于感应图上，使计算点与感应图圆心重合。

（4）数出荷载面覆盖的曲边矩形的块数N（不是整块时约估其小数值）。

（5）计算垂直应力σ_z：

若需计算荷载面其他点下同一深度处的σ_z，只需移动透明图将该点对准感应图圆心，重新数出其覆盖的曲边矩形数，然后按上述步骤计算σ_z。

若需计算不同深度处的σ_z，则应按不同的η值重新绘圆，然后按前述步骤进行计算。

若基础上的荷载分布不均匀，仍可按式(3-24)计算应力，只是应分别数出不同荷载p₁、p₂、…相应的覆盖格数N₁、N₂、…分别算出它们引起的应力，再予叠加，即

3.4.2 附加应力的平面问题

分布垂直荷载作用于长条形荷载面时，求解其下土中附加应力属于平面问题。

如荷载面为长条形，荷载宽度有限而长度很大（如图3-22所示，y轴方向上建筑物延伸很长的情况）。当其受到沿长度相同的分布荷载作用时，在土中垂直于长度方向的某截面上，附加应力的分布规律和任一其他平行截面的相同，这就称为平面问题。因此，只要算出一个截面上的附加应力分布，就可代表其他平行截面上的附加应力分布。实际工程中，条形基础不可能是无限长。但是，当基础长度比其宽度大10倍或更多时，它就与长度为无限大时的σ_z值相差很小，这可由对比以上各表所列数值证实。因此，当L≥10B时，对于沿L方向中部地基中的应力就可作为平面问题来计算σ_z分布值。如图3-22中的堤坝、挡土墙等地基都属于此类课题。显然，平面问题是空间问题的特例。

3.4.2.1 条形荷载面作用有均布垂直线荷载情况——弗拉曼课题

土体表面受均布垂直线荷载是长条形受荷面在微小宽度内受均布荷载的一种特殊情况，即理论上宽度趋近于极小数值的情况。在这种荷载作用下，土中任一点的附加应力（图3-23）计算公式，由弗拉曼（Flamant）推出^[1]

式中：p为单位长度内的线荷载。

3.4.2.2 条形荷载面作用有均布垂直荷载的情况

实际工程中，经常遇到有限宽度条形基础的情况（图3-24）。它在均布垂直荷载作用下土中任一点的附加应力，可由式（3-26）从0到B积分得到

式中m=，n=从表3-6查用。

图3-25（a）为条形基础均布荷载面宽度中点和两端点（m=0.5和m=1.0）之下的σ_z沿深度分布示意图。图3-25（b）则为条形基础受100kPa均布荷载时的σ_z等值应力线图。

3.4.2.3 条形荷载面作用有三角形分布垂直荷载的情况

地基中任一点的附加应力简化算式为

式中：p_t为三角形分布荷载的最大强度；为应力分布系数，无因次，为m=的函数，可从表3-7查得。

图3-26中x坐标的符号规定是：设原点O处荷载为零，而从坐标原点O顺荷载增大的方向为正。

图3-27（a）为三角形分布条形荷载面宽度两端点（m=0和m=1）之下的σ_z沿深度分布示意图。图3-27（b）则为条形荷载面三角形分布垂直荷载的最大强度p_t=100kPa时的σ_z等值应力线图。

3.4.2.4 条形荷载面作用有均匀分布水平荷载的情况

在均匀分布水平荷载作用下，图3-28土中任一点的附加应力为

式中：为应力分布系数，无因次，为m=与n=的函数，由表3-8查用。

图3-28中x坐标的符号规定：设坐标原点o为水平荷载面宽度的一个端点，顺水平荷载作用方向的x坐标值为正。

图3-29（a）为荷载面宽度两端点（m=0和m=1）之下的σ_z沿深度分布图，图3-29（b）为条形荷载面受水平均布荷载p_h=100kPa时的σ_z等值线图。

3.4.2.5 条形荷载面作用有梯形分布垂直荷载的情况

土堤和土坝的横断面都是梯形。3.1节中已经说明，由堤、坝自身引起的基底压力分布也近似于梯形分布（图3-30）。在没有水平荷载的情况下，例如土坝施工完毕，对于土坝顶宽下地基任意深度处M点的垂直向附加应力σ_z按下式计算

式中：K_q为应力分布系数，为的函数，可由图3-30（b）查得；a、b分别为三角形荷载与矩形荷载的特征尺寸，由图3-30（b）查得；q为梯形荷载的最大强度。

计算时，可自所求点做垂直线，定出两侧的a₁、b₁和a₂、b₂尺寸，如图3-30（a）所示。由查得K_q1，查得K_q2，则有

同样，可用叠加原理计算梯形顶宽以外地基中各点的附加应力σ_z的值。但须注意，此方法既不能求地基水平荷载所引起的垂直向附加应力，也不能求地基受垂直荷载时引起的水平向附加应力的剪应力。

【例3-3】 某水闸为条形基础，宽度B=15m，长度L=160m，作用于水闸基底的荷载情况，如图3-31（a）所示。求沿基底C点 （距中点为=3.75m）垂直线上地基中的附加应力σ_z的分布 （该基础埋深不大，可不计及基坑挖除的土重）。

解:（1）求基底压力的分布。

按式（3-9），基底压力为

其分布如图3-31（b）所示。

基底水平应力按均匀情况计算为

p_h=450/15=30(kPa)

（2）根据基底压力分布计算附加应力。

1）在计算中，将垂直梯形基底压力分成均匀压力（p=80kPa）及三角形分布压力（p_t=40kPa）。

2)由于L/B=160/15=10.6>10，故可按平面问题计算。

3)计算C点以下各点的附加应力。附加应力列于表3-9，其中x轴取向右为正，向左为负。按该表算得各深度的附加应力σ_z的分布曲线如图3-31所示。为简化起见，表3-9中所有的值都取两位小数。

3.4.2.6 条形荷载面均布垂直荷载下附加应力的极坐标表示法

平面问题的附加应力σ_z、σ_x和τ_xz也可用极坐标表示，如图3-32所示。此时dx范围内的压力dp=pdx=，代入式 （3-26）积分，则得

式中：β₂之前的“-”用于计算点位于荷载范围以内，如M₁点；“+”用于计算荷载范围以外，如M点。

将式（3-32）代入材料力学求主应力的公式，经简化后得地基中任一点的主应力为

式中：2β为自计算点M向荷载两边线a、b两点连线的夹角，称视角。不难证明，通过M₁、a、b三点的圆弧，如图3-33所示，弧上各点的2β值都相等，因而，此圆弧就是大小主应力的等值线，通过a、b两点的所有圆弧都是主应力的等值线。

另外，可以证明视角角平分线的方向就是大主应力的方向，其垂线方向即小主应力的方向。

3.4.2.7 条形荷载面均布垂直荷载下附加应力的分布规律

上述诸节重点讨论了垂直附加应力σ_z的计算，用同样的方法可计算水平方向附加应力σ_x和剪应力τ_xz值。图3-34和图3-35分别给出了垂直集中荷载和条形均布垂直荷载下附加应力分布图，从图中可以看出以下规律。

1.沿垂直方向和水平方向附加应力分布

在任一水平面上，σ_z都是中部大两侧小的对称分布。深度越大，中部的数值越减小，而且分布越广。沿垂直方向，在荷载范围内，σ_z随深度而减小；在荷载范围以外，则是从表面的零值开始向下逐渐增大，至某一深度后又逐渐减小。另外，从等值线图可以看到，σ_z向四周逐渐减小，其等值线如灯泡形，故也称压力泡。而σ_x和τ_xz都是中部小，向两侧增大，至某点后又逐渐减小。对比分析0.1p等压线值可以看到：σ_z、σ_x和τ_xz的0.1p等压线的宽度都大约达荷载中轴线以外2B的范围，其深度则可达6B、1.5B和2B。

2.对称轴oz上附加应力分布

（1）对称轴oz上任何深度处剪应力τ_xz均为零；

（2）对称轴oz上任何深度处大主应力σ₁为σ_z，小主应力σ₃为σ_x，中主应力σ₂为σ_y；

（3）对称轴oz上任何深度处σ_z≠σ_x≠σ_y，σ_y=μ（σ_x+σ_z） （可由y方向应变ε_y=0，用广义胡克定律得出）。