2.4 力系的简化

2.4.1 平面任意力系向作用面内一点简化

在工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都在同一平面内(或近似地分布在同一平面内)，且任意分布的力系，当物体所受的力都对称于某一平面时，也可将它视为平面任意力系的问题，本节主要讨论平面任意力系的简化。

1.力的平移定理

力系向一点简化是一种较为简便并且有普遍性的力系简化方法。此方法的理论基础是力的平移定理。

设在刚体上某点A作用着力F。为了使这个力作用到刚体内任一点O［图2.18(a)］，而不改变原来对刚体的效应，可进行下列变换。

在点O上添加一对与原来力F平行的平衡力F′和F″，且令F=F′=-F″［图2.18(b)］。这样可视为F平行移到另一点O，记作F′。则F和F″构成一个力偶，其矩为M=Fd=M_O(F)［图2.18(c)］。于是得力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平移到该刚体上任一点O，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点O的力矩。

力的平移定理不仅是力系向一点简化的依据，而且此定理可以用来解释一些实际问题。例如，如果用一只手扳动扳手（图2.19），力F平移到中心O点，要附加一个力偶，其矩为M=-Fd，力偶使丝锥转动，而作用在O点的力F′使丝锥弯曲，故容易折断丝锥，同时也影响加工精度。所以攻丝时必须用两手握扳手，而且用力要相等。

2.平面任意力系向作用面内一点简化、主矢和主矩

设刚体上作用一平面任意力系F₁,F₂,…,F_n,如图2.20所示。根据力的平移定理，将力系中诸力向平面内任一点O点平移，O点称为简化中心。这样得到作用于O点的力系，以及相应的附加力偶系M₁ ，M₂ ，…，M_n。这些力偶作用在同一平面内，它们的矩分别等于力F₁，F₂，…，F_n对O点的矩，即

M₁=M_O(F₁),M₂=M_O(F₂),M₃=M_O(F₃)

这样,平面任意力系分解成了两个简单力系:作用于O点的平面汇交力系和附加的平面力偶系。

作用于O点的汇交力系可合成为一个合力，称为原力系的主矢，计算方式为

若过O点作直角坐标系Oxy，则主矢在x、y轴上的投影是

由此可求

式中：α、β分别为主矢与x、y轴间的夹角。

平面力偶系可合成为一个力偶,这个力偶的矩等于各个附加力偶矩的代数和。它称为原力系对O点的主矩,用M_O表示,即

结论：平面任意力系向作用面内一点O简化，可得一主矢和主矩，主矢等于力系中各个力的矢量和，作用线通过简化中心O。主矩等于力系中各力对O点的力矩代数和。

由于主矢等于各力的矢量和，所以它和简化中心的选择无关，而主矩等于各力对简化中心力矩的代数和，当取不同的点为简化中心时，各力的力臂将有改变，各力对简化中心的矩也有改变，所以在一般情况下主矩和简化中心的选择有关，以后说到主矩时，必须指明是力系对哪一点的主矩。

3.简化结果的讨论

由于平面任意力系对刚体的作用决定于力系的主矢和主矩，因此，可由这两个物理量来研究力系简化的最后结果。

（1）若主矢=0，主矩M_O≠0，则原力系与一力偶等效。此力偶称为平面任意力系的合力偶，合力偶矩等于M_O=。由力偶的性质可知，力偶对任意点的力矩恒等于力偶矩，所以，这时主矩与简化中心无关。

（2）若主矢，主矩M_O=0，则原力系的合力作用线通过简化中心O。

（3）若主矢，主矩M_O≠0，则原力系简化为作用在简化中心O点的一个力和一个力偶。这种情形还可以进一步简化：现将矩为M_O 的力偶用两个力F_R和表示，使，去掉一对平衡力，于是将作用于点O的力和力偶合成为一个作用在点O₁的力F_R ，如图2.21所示。

这个力F_R就是原力系的合力，合力矢等于主矢，合力的作用线在O的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点O的距离d，可按下式计算：

（4）若主矢，主矩M_O=0，原力系平衡，这种情形将在下章讨论。

应用力系的简化原理可以简化物体的受力分析。例如图2.22（a）所示悬臂梁，在平面外力系作用下，固定端CA段的约束力亦为平面一般力系，如图2.22（b）所示；将该分布力向A点简化，得到作用于A点的合力F_A和附加合力偶M_A，如图2.22（c）所示；若将F_A沿x、y正交坐标轴分解，则得如图2.22（d）所示结果。

【例2.5】 试求图2.23（a）所示平面力系的简化结果。

解:选O点为简化中心，则主矢大小为

方向沿x轴正向。而主矩

故该平面力系向O点简化结果如图2.23（b）所示，而最简结果为作用在O₁点的一个力，力的作用线到点O₁的距离：

2.4.2 空间任意力系的简化

许多工程结构的构件都受空间任意力系的作用，当设计这些结构时需要用空间任意力系的简化理论。空间任意力系向一点简化的理论基础，仍是力的平移定理。

1.力系的主矢和主矩

设刚体上受到由n个力组成的空间任意力系F₁,F₂，…，F_n,如图2.24所示。取空间中任意确定的点O为简化中心，根据力的平移定理，将力系中诸力向点O平移，并相应地增加一个附加力偶。这样原来的任意力系就被一个汇交力系和一个力偶系M₁ ，M₂ ，…，M_n两个基本力系等效替换，如图2.24所示。

作用于O点的汇交力系可合成为一个合力，称为主矢。

附加力偶系可合成为一个力偶M_O，称为主矩。

显然，主矢与简化中心的位置无关，是力系简化过程中的一个不变量；而主矩M_O一般与简化中心O的位置有关。

2.力系的最简形式

力系简化结果的讨论如下：

（1）且M_O=0，则原力系与零力系等效，原力系平衡。

（2）且M_O≠0，则原力系和一力偶等效，可简化为一个力偶。

（3）且M_O=0，则原力系简化为在简化中心O点的一个力。

（4）且M_O≠0，则原力系简化为在简化中心O点的一个力和一个力偶。这种情形还可以进一步简化：

1）若，可最终简化为一个力F_R。如图2.25所示，使，M。

2）若，如图2.26所示可简化为一力螺旋。

图2.26

3)既不平行也不垂直，可将F′_R分解成与M_O平行与垂直的两分矢量，再由1)、2)可简化为一力螺旋，如工程中钻头对工件的作用和拧螺丝时螺丝刀对螺丝的作用等都是力螺旋。

上述分析表明，力系简化的最简形式有四种：平衡、合力、合力偶、力螺旋。所有非零最简力系是由力和力偶组成的，因此力和力偶是组成力系的基本元素。

【例2.6】 如图2.27所示，沿长方体不相交且不平行的棱上作用三个大小等于F的力。棱长分别为a、b、c，求该力系向O点简化的结果。

解:选图示坐标原点O为简化中心，则

应用力系的简化原理可以简化物体的受力分析。如图2.28（a）所示，直杆受空间外力系作用，杆中任意垂直于轴的横截面亦受到一个空间分布力系作用，并与外力系相平衡，如图2.28（b）所示；为了最终求出该空间分布力系，可先将此力系向横截面形心O简化，再将所得合力与合力偶沿坐标轴正交分解，由平衡条件求得横截面上的内力分量，如图2.28（c）所示。我们把沿轴线y的分力F_Oy称为轴力，与轴线垂直的两个分力F_Ox和F_Oz称为剪力；沿轴线的分力偶M_Oy称为扭矩，与轴线垂直的两个分力偶M_Ox和M_Oz称为弯矩。至于各内力分量对应的内力分布，需要结合杆的几何变形以及变形与受力的物理关系才能求得，将在后续的材料力学中介绍。