2．5　主应力和主方向

根据式（2．2．1），可以求得过物体内一点任意截面上的应力，一般来说既有正应力，又有切应力。但是在某些特殊的角度，截面上只有正应力，而没有切应力，这些截面称为主平面，主平面的法线方向n称为主方向，主平面上的正应力σn称为主应力。本节来求解主应力和主方向。

如图2．5．1所示，假设主方向n的方向矢量为（l1，l2，l3），那么主平面上的应力分量为

这3个分量的合力σn必须在主方向n上，即px、py、pz为σn在x、y、z轴上的投影，即

代入式（2．5．1），得

因此有

上式可以看作以l1、l2、l3为未知量的线性代数方程组，用张量的下标记号法表示为

式（2．5．4）存在非零解的条件是

展开后得

其中

式（2．5．7）是关于σn的三次方程，3个根分别对应于3个主应力σ1、σ2、σ3（σ1、σ2、σ3）。每求出一个主应力，代入式（2．5．4），并补充方程：

可以求出该主应力对应的主方向矢量，3个主应力分别对应3个主方向。还可以进一步证

明，一般情况下，这3个主方向是相互正交的。

由应力张量的客观性，当物体内一点的应力状态确定后，该点有且只有3个主应力σ1、σ2、σ3，这3个主应力的大小和指向不会随着坐标系的变换而变化，因此方程式（2．5．7）中的3个系数I1、I2、I3也不随坐标系的变换而变化，它们分别是应力张量的第一、第二、第三不变量。

已知主应力和主平面后，如果以主应力σ1、σ2、σ3的方向为坐标轴建立几何空间，该坐标空间称为主向空间，如图2．5．2所示。

主向空间中某斜面n的法向方向余弦为（l1，l2，l3），则斜面上x、y、z方向的应力分量为

斜面上的正应力为

切应力为

以上斜截面上正应力与切应力公式相比非主向空间中的计算式（2．2．5）、式（2．2．6）有所简化。从式（2．5．13）还可推导得到，过一点所有斜截面的正应力中，最大值和最小值都是主应力。

【例2．5．1】　在平面问题中，一点P的应力状态为

试求：（1）主应力及主方向；（2）最大切应力及其所在的面θp。

解：（1）对于平面问题，直接采用式（2．5．7）求解主应力和主方向过于繁琐。这里我们假设主平面C与x轴成θ角，如图2．5．3所示，根据式（2．2．12），C平面上的正应力和切应力为

由该平面上的切应力为0，得

由此可以求得

代入式（a），得到主应力值：

（2）最大切应力可由函数求极值得到。即

代入式（b）中τθ的表达式，求导可得

根据三角函数公式：

得

可见最大切应力所在平面与主平面成45°角。将上式代入式（b），得

如果用式（e）中的主应力表示，则为

将上述式（k）推广到三维情形，即可得到主切应力，其中包括最大和最小的切应力，它们是

如σ1≥σ2≥σ3，则最大切应力为