1．1　弹性与塑性力学的研究对象和任务

弹性与塑性力学是固体力学的一个分支，它由弹性力学和塑性力学两部分组成，简称为弹塑性力学。当物体承受的外力较小时，卸除外力后，物体可以完全恢复原来的状态，这种可恢复的变形称为弹性变形，弹性变形是弹性力学的研究对象。而当外力超过一定限度后，即使卸除全部外力，也有一部分变形不能恢复，这种不可恢复的变形称为塑性变形，塑性变形是塑性力学的研究对象。弹塑性力学的研究对象则包含了以上两种变形，它是研究可变形固体受到外部作用（外荷载、温度变化、边界约束变动等）时，弹性、塑性变形和应力状态的科学。

以材料力学中的低碳钢的单向拉伸实验为例，图1．1．1为拉伸试件简图，图1．1．2为实验过程中工作段横截面上的应力（单位面积上的力）与应变（单位长度的伸长量）之间的关系曲线，该曲线中有几个应力的特征值，分别为比例极限（σp）、弹性极限（σe）、屈服极限（σs）、强度极限（σb），以这几个特征值点为界，应力应变关系曲线中的OB段为弹性变形阶段（其中OA段为线弹性段）、BF段为塑性变形阶段（其中BC段为屈服段、CE段为强化段、EF段为颈缩段）。

图1．1．1　低碳钢单向拉伸实验图

图1．1．2　低碳钢单向拉伸时的应力应变关系

在弹性变形阶段卸除外力后，试件变形（应变）可以恢复到0；但是在塑性变形阶段卸除外力后，试件的部分变形（应变）不可恢复。例如在图1．1．2中的D点卸除外力，应力从σ减小到0，但是应变从ε减小了εe，最终应变为εp。因此，在塑性变形阶段，不仅有可以恢复的弹性变形，也有不可恢复的塑性变形。如果用应变来度量变形的大小，则有

式中：ε为总应变；εe为可恢复的弹性应变；εp为不可恢复的塑性应变。

与弹性变形不同，塑性变形时，应力与应变之间不再满足一一对应关系，例如图1．1．2中σ1所对应的应变可以是由弹性变形导致的ε1，也可以是由塑性变形导致的ε′1。因此，塑性力学问题的求解，不仅与外部作用的大小有关，还与外部作用的历史有关。

从微观机理上看，产生弹性变形的原因是组成物体的微粒（晶体、原子、分子等）之间距离的改变，这种改变尚处于可以完全恢复的范围内；产生塑性变形则被认为是一种微观晶体缺陷（位错）运动的结果。本课程不研究这种微观机理，只考虑其造成的宏观统计特性，这对于解决工程中的普通力学分析问题已经足够。

对土建、水利、机械、航空航天等工程应用而言，学习弹塑性力学的目的主要是研究结构物在外部作用下的变形（应变）和内力（应力），确定其强度、刚度和稳定性。此外，弹塑性力学的学习，也将为断裂力学、有限单元法等后继课程的学习打下基础。其中有限单元法是弹塑性力学最具代表性的后继拓展，它以弹性力学的变分原理为控制方程，结合加权余量法等偏微分方程解法，再利用结构离散方法和现代计算机强大的计算能力，使复杂工程结构的弹塑性力学分析成为可能，在工程界得到了广泛的应用。