2.2 轴向拉伸或压缩时内力和应力

2.2.1 轴力与轴力图

为了对拉（压）杆进行强度和变形计算，首先需要分析其内力。内力的计算方法采用截面法，计算过程以图2.3为例。

1）“截取”：为显示出拉杆横截面上的内力，假想将杆沿m—m截面处切开，分为Ⅰ、Ⅱ两部分。

2）“代替”：假定保留Ⅰ部分，则Ⅱ部分对保留下来的Ⅰ部分的作用用内力来代替，设其合力为N，作用在截面的形心上，如图2.3（b）所示。

3）“平衡”：由于直杆原来处于平衡状态，切开后各部分仍应维持平衡。根据保留部分的平衡关系由图2.3（b）可得

当然也可保留Ⅱ部分［图2.3（c）］，这时用N′代表Ⅰ部分对Ⅱ部分的作用力，同样可得

因为外力P的作用线与杆件的轴线重合，内力的合力N的作用线也必然与杆件的轴线重合，所以N称为轴力，并且规定当杆件受拉伸，即轴力N（或N′）方向背离截面时为正号，反之杆件受压缩，即N指向截面时为负号。

当沿杆件轴线作用的外力多于两个时，在杆件各部分的截面上轴力不尽相同。为了表示轴力随截面位置的变化，往往画出轴力沿杆件轴向方向变化的图形，即轴力图。

【例2.1】 试画出如图2.4（a）所示直杆的轴力图。

分析：此杆在A、B、C、D点承受轴向外力，外力作用的截面称为控制截面，控制截面将杆分成几段，各段的内力不相同，要分别取各段为研究对象。

解：首先研究AB段，采用截面法计算内力，在AB段内任意取1—1截面，假想地将直杆分成两段，保留左段，并画出左段的受力图[图2.4（b）]，用N1表示右段对左段的作用。设N1为拉力 （一般情形下均假设内力为正），由此段的平衡方程∑Fx=0，得

N1得正号，说明原先假设拉力是正确的。

求BC段的内力，同理在段内任取截面2—2，由截面左边一段［图2.4（c）］的平衡方程∑Fx=0得

N2得负号，说明原先假设为拉力是不正确的，应为压力。

类似地，取CD段内截面3—3［图2.4（d）］，得

如果研究截面3—3右边一段，如图2.4（e）所示，由平衡方程∑Fx=0得

所得结果与前面相同。

然后以x轴表示截面的位置，以垂直x轴的坐标表示对应截面的轴力，即可按选定的比例尺画出轴力图［图2.4（f）］。在轴力图中，将拉力画在x轴的上侧，压力画在x轴的下侧。这样，轴力图不但可以非常直观地显示出杆件各段的轴力的大小，而且还可以表示出各段内的变形是拉伸还是压缩。

2.2.2 横截面上的应力

应用截面法可以求得任意横截面上的内力，但内力在横截面上的分布情况还未知。如果内力是非均匀分布，则各点的内力集度（应力）是不一样的，而构件的破坏往往是从危险应力（最大应力）点开始的，因此，知道内力数值而应力数值未知也不能确定构件的危险点。下面需要进一步分析横截面上的应力情况。

横截面上的应力是内力的分布集度，应力在面积上的合力等于轴力，两者之间的关系为

式（2.1）其实是静力平衡方程，由于内力在横截面上的分布情况未知，无法从式（2.1）推导出应力的计算公式，即该问题属于静不定问题，必须寻求其他的办法。下面采用的方法是材料力学研究问题最基本的方法，即解决静不定问题所需要的条件是：必须确定静力方程（平衡方程）、几何方程（变形协调方程）和物理方程（本构方程），综合利用这三种关系来求解问题。内力和应力往往是看不见的或不易测量的，而变形是可见的或容易测量的，因而经常通过观察（或测量）变形体的变形，推理分析得到变形规律，然后利用物体变形和力之间的关系，来得出应力的分布规律，从而推导出应力的计算公式。这种方法在后面的章节中多次采用。

首先通过试验观察直杆受力后的变形现象，现取一个等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线ab和cd（图2.5）。拉伸变形后，发现ab和cd仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至a′b′和c′d′。于是，我们可以作出如下假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。根据这个 “平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的，这样就得到了拉压杆变形的协调关系，即各点的应变是相等的。又因材料是均匀连续的，所以可以从变形的均匀性推出内力的分布也是均匀的，即在横截面上各点处的正应力都相等，这就是材料的物理关系。再考虑式 （2.1）的平衡方程，若杆的轴力为N，横截面面积为A，于是得

正应力符号规定：拉应力为正，压应力为负。

【例2.2】 图2.6（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图2.6（a）所示，试计算各段的应力并确定最大应力所在的位置。

分析：该变截面杆受多个力的作用，力作用截面即为控制截面，将杆分成AC、CD、DE、EB四段，各段的内力和应力要分别计算。

解：运用截面法求各段内力，作轴力图［图2.6（b）］。

根据内力计算应力，则得

由计算可知，AC段和DE段为最大应力所在截面。

2.2.3 斜截面上的应力

上面已经推导出了拉压杆横截面上的应力计算公式，下面将进一步讨论斜截面上的应力。

如图2.7（a）所示为一个轴向拉伸的直杆，与杆轴线呈任意角度α的m—m斜截面（称为α截面），在拉力F的作用下将产生移动，其变形后仍保持为直线，且与原直线位置平行，由此可以推断出斜截面上的应力应该是均匀分布的。采用截面法，假想用m—m截面将杆截取为两部分，取左半部分为研究对象，其受力图如图2.7（b）所示，由于轴力N在斜截面上均匀分布，故α截面上的应力为

式中 pα——α截面上的全应力，方向与杆的轴线平行；

Aα——α截面的面积。

斜截面的面积与横截面面积A之间的关系是

将式（2.4）代入式（2.3），得

式中 σ——横截面上的正应力。

但全应力一般没有什么工程意义，通常的做法是将该应力向截面的法向和切向分解，得到斜截面上的正应力αα和切应力τα:

式（2.5）和式（2.6）表示拉压杆斜截面上同时既存在正应力又存在切应力，并且数值随截面位置而变化。

当α=0°时，斜截面成为横截面，正应力σα为最大值，而切应力τα=0，即

当α=±45°时，切应力τα分别为最大值与最小值，即

但此截面上的正应力并不为零，而是

轴向拉伸（压缩）时，杆内最大正应力产生在横截面上，工程中把它作为建立拉（压）杆强度计算的依据；而最大切应力产生在与杆件轴线成45°的斜截面上，其数值等于横截面上正应力的一半。

值得注意的是，用式（2.2）计算杆件外力作用区域附近截面上各点的正应力时是不准确的，在此区域内正应力的分布与外力作用方式有关。理论与试验均证明：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。”这就是圣维南原理。

该原理表明，在外力作用部位，不同形式的外力只要是静力等效的，它们对远处的影响就是相同的，外力的不同形式只影响外力作用点附近的区域。