3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
弹簧是一种能产生较大的弹性变形的零件，在工程中得到广泛的应用。它可以用于缓冲和减振，例如车辆轮轴上的弹簧；又可用于控制机械运动，例如凸轮机构中的压紧弹簧、内燃机中的气阀弹簧等；也可用来测量力的大小，例如弹簧秤中的弹簧。
由于簧杆本身是螺旋状的，因而其应力和变形的精确解法较为复杂。如图3.18所示，但当螺旋角α很小时，例如α<5°便可省略α的影响，近似地认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内，这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。当簧丝直径d远小于簧圈的平均直径D，则还可以略去簧丝曲率的影响，近似地将弹簧按等直杆来进行计算。在做了上述简化之后，下面讨论圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。
图3.18
3.6.1 簧丝横截面上的应力
设沿弹簧轴线作用的压力为P。假想用截面法将簧丝沿某一横截面分成两部分，并取出上面部分为研究对象，见图3.18(b)。由于α角很小，可近似地认为簧丝横截面与外力作用线在同一平面。考虑取出部分的平衡，横截面上必定有一个与截面相切的内力系。这个力系简化为一通过截面形心的力Q和一个力偶矩Mn。根据平衡条件得
式中 Q——簧丝横截面上的剪力；
Mn——横截面上的扭矩；
D——簧圈平均直径。
与剪力Q对应的切应力τ1在横截面上均匀分布（剪切的实用计算），如图3.18（c）所示，其值为
式中 d——簧丝横截面直径。
与扭矩Mn对应的切应力为τ2，与轴线为直线的圆轴扭转应力相同，最大切应力发生在圆截面的周边上，见图3.18(d)。其值为
图3.19
综合上面两种因素，簧丝横截面上任意处的总应力应是剪切和扭转两种切应力的矢量和，在靠近轴线的内侧点A处，τ1与τ2max方向一致，总应力达到最大值（图3.19）。因此该点是簧丝的危险点。其值为
式 （3.36）中括号内第一项代表剪切的影响，当
≥10时，
与1相比很小，可略去不计。这样就把弹簧作为圆轴扭转问题处理，于是式 （3.36）简化为
由式(3.37)算出的最大切应力是偏低的近似值。这是因为用直杆的扭转公式计算应力时，没有考虑簧丝实际上是一个曲杆。这在
较小时，即簧丝曲率较大时，会引起较大的误差。另外，认为剪切引起的切应力τ1 “均匀分布”于截面上，也是一个假定计算。在考虑了簧丝曲率和切应力并非均匀分布等两个因素后，求得计算最大切应力比较精确的计算公式如下：
式中 k——修正系数，又称为曲度系数;
c——弹簧指数。
表3.1中的k值，就是根据式（3.39）计算出来的，从表中数值可以看出，c越小则k越大。当c=4时，k=1.40。这表明此时如仍按近似公式式（3.37）计算应力，其误差将达40%。
表3.1 螺旋弹簧的曲度系数
簧丝的强度条件为
式中 τmax——按式（3.38）求出的最大切应力;
［τ］——材料的许用切应力。
工程上，弹簧的常用材料为优质碳素钢或60Mn、50crMn等合金钢，统称弹簧钢。这些材料的屈服极限和强度极限都比较高，许用扭转切应力［τ］也很高，一般取［τ］=350～600MPa。
3.6.2 弹簧的变形
弹簧的变形是指弹簧在轴向压力或拉力作用下，整个弹簧的压缩量或伸长量。此变形量往往是弹簧设计中很重要的一个方面。下面将用能量法计算弹簧的变形λ。
试验证明，在弹性范围内，外力P与变形λ成正比，即P与λ的关系是一条斜直线，见图3.20（a）。当外力从零开始缓慢平稳地增加到最终值P时，外力P所做的功等于斜直线下的阴影面积，即
现在我们再计算在外力作用下，弹簧杆内储存的变形能。在簧丝横截面上，距离圆心为ρ的任意点处，见图3.20（b），扭转切应力为
图3.20
由剪切变形能知道，在切应力作用下，单位体积内的剪切变形能（比能）为
故得弹簧单位体积的变形能为
弹簧的变形能为
式中 υ——弹簧的体积。
以dA表示弹簧丝横截面的微分面积，ds表示沿簧丝轴线的微分长度，则
式中dA=2πρdρ，其中ρ取值为由0到
，s取值为由0到l。
式中 l——簧丝的总长度；
n——弹簧的有效圈数（即扣除两端与簧座接触部分后的圈数）。
则式（3.43）应为
将式（3.42）代入式（3.44）：
由于外力所做之功等于弹簧杆内储存的变形能，即U=W。故有
由此得
式中 R——弹簧圈的平均半径。
式（3.46）即为弹簧轴向变形的计算公式。该式表明，弹簧的变形量λ与轴向外力P成正比。
式中 C——弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。
则式（3.40）可以写成：
显然，C越小，弹簧就越柔软。工程中减震用的弹簧正是利用弹簧柔度大的特点。为了实现上述要求，设计弹簧时，就要在满足强度要求的条件下，增大簧圈的平均直径D和增加弹簧的工作圈数n或缩小簧丝的直径d。
【例3.5】 油泵分油阀门弹簧工作圈数n=8，轴向压力P=90N，簧丝直径d=2.25mm，簧圈外径D1=18mm，弹簧材料的剪切弹性模量G=82GPa，［τ］=400MPa。试校核簧丝强度，并计算其变形。
解：（1）校核簧丝强度。
簧圈平均直径为
弹簧指数为
由表3.1查得弹簧的曲度系数k=1.21，则
该弹簧满足强度要求。
（2）计算弹簧变形。
