第三节 用水平面代替水准面的限度

根据第二节内容可知，在普通测量工作中是将大地水准面近似地当成圆球看待的。一般的测绘产品是以平面图纸为介质的。因此就需要先把地面点投影到圆球面上，然后再投影到平面图纸上，需要进行两次投影。在实际测量时，若测区范围面积不大，往往以水平面直接代替水准面，就是把球面上的点直接投影到平面上，不考虑地球曲率。但是到底多大面积范围内容许以平面投影代替球面，本节主要讨论这个问题。

一、对距离的影响

如图1 9所示，地面两点A、B，投影到水平面上分别为a、b′，在大地水准面上的投影为a、b，则D、D′分别为地面两点在大地水准面上与水平面上的投影距离。研究水平面代替水准面对距离的影响，即用D′代替D所产生的误差用ΔS表示。则

因D=R·θ，在△aOb′中，D′=R·tanθ，则

将tanθ按级数展开为：

因为面积不大，所以D′不会太长。且θ角很小，故略去θ五次方以上各项，并代入上式得

因为θ=，代入上式得

以R=6371km和不同的D值代入上式，算得相应的ΔS及ΔS／S值，见表1-2。

从表中可以看出，当地面距离为10km时，用水平面代替水准面所产生的距离误差仅为8.2mm,其相对误差为1/1220000。而实际测量距离时，大地测量中使用的精密电磁波测距仪的测距精度为1/1000000（相对误差），地形测量中普通钢尺的量距精度约为1/2000。所以，只有在大范围内进行精密测距时，才考虑地球曲率的影响。而在一般地形测量中测量距离时，可不必考虑这种误差的影响。

二、对高程的影响

我们知道，高程的起算面是大地水准面，如果以水平面代替水准面进行高程测量，则所测得的高程必然含有因地球弯曲而产生的高程误差的影响。如图1-9中，a点和b′点是在同一水准面上，其高程应当是相等的。当以水平面代替水准面时，b点升到b′点，bb′即Δh就是产生的高程误差。由于地球半径很大，距离D和θ角一般很小。所以Δh可以近似地用半径为D、圆心角为θ/2所对应的弧长来表示。即

因θ=，代入式 （1 8）得

用不同的距离代入上式，便得表1-2所列的结果。从表中可以看出，用水平面代替水准面对高程的影响是很大的。距离为1km时，就有78.5mm的高程误差，这在高程测量中是不允许的。因此，进行高程测量，即使距离很短，也应用水准面作为测量的基准面，即应顾及地球曲率对高程的影响。

三、对水平角的影响

从球面三角学可知，同一空间多边形在球面上投影的各内角和，比在平面上投影的各内角和大一个球面角超值ε。

式中 ε——球面角超值,（″）;

P——球面多边形的面积,km2;

R——地球半径,km;

ρ——弧度的秒值，ρ=206265″。

以不同的面积P代入式（1-10）中，可求出球面角超值ε，见表1-3。

结论：当球面多边形的面积P为100km2，进行水平角测量时，可以用水平面代替水准面，而不必考虑地球曲率对水平角的影响。