第五节 测量误差概述

一、测量误差及分类

在测量工作中，因观测者、测量仪器、外界条件等因素的影响，测量结果经常会出现如下两种现象：一种现象是，当对一段距离或者两点间高差进行多次观测时，会发现每次结果通常都不一致；另一种现象是，已经知道某几个量之间应该满足某一理论关系，但是对这几个量进行观测后，就会发现实际观测结果往往不能满足这种关系，如对三角形三个内角进行观测，每次测得的内角和通常不会刚好等于180°。但是只要不出现错误，每次的观测结果是非常接近的，它们的值与所观测的量的真值相差无几。观测值（量）与它的真值之间的差异称为真误差。

一般用Δ表示真误差，用L表示真值，用L表示观测值（量），则真误差可用下式表示:

由于观测值是要由观测者用一定的仪器工具，在一定的客观环境中观测而得的，所以测量结果的精确性必然受观测者、仪器、外界环境三方面条件的制约，测量结果将始终存在着误差而使“真值不可得”。这个论断的正确性已为无数的测量实践所证明。由于误差的不可避免性，因此测量人员必须充分地了解影响测量结果的误差来源和性质，以便采取适当的措施，使产生的误差不超过一定限度；同时掌握处理误差的理论和方法，以便消除偏差并取得合理的数值。根据观测误差对观测结果的影响性质，可将其分为系统误差和偶然误差。

1.系统误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果这些观测误差在大小、符号上有一定的规律，且这些误差不能相互抵消，具有积累性，这种误差称为系统误差。例如：尺长误差ΔL的存在，使每量一尺段距离就会产生一个ΔL的误差，该误差的大小和符号不变，量的尺段越多误差的积累也就越大。可以对钢尺进行检定，求出尺长改正值，对丈量的结果进行改正；水准测量中所用水准仪的水准轴不严格平行于视准轴，使尺上读数总是偏大或偏小，水准仪到水准尺距离越远误差也就越大，可以采用使前视尺和后视尺等距的方法加以消除；水平角测量中，经纬仪的视准轴与横轴、横轴与竖轴不严格垂直的误差可以用盘左、盘右两个位置观测水平角取平均值加以消除；三角高程测量中，地球曲率和大气折光对高差的影响可以采用正觇、反觇取平均值加以消除。

系统误差主要来源于测量仪器及工具本身不完善或者外界条件等方面，它对观测值的影响具有一定的数学或物理上的规律性。如果这种规律性能够被找到，则系统误差对观测值的影响则可以改正，或采用适当的观测方法加以消除或减小其对观测值的影响。

2.偶然误差

在相同的条件下对某一量进行一系列的观测，所产生的误差大小和符号没有一定规律，这种误差称为偶然误差。

产生偶然误差的原因很多，如仪器精度的限制、环境的影响、人们的感官局限等。如距离丈量和水准测量中在尺子上估读末位数字有可能大一些也可能小一些，水平角观测的对中误差、瞄准误差、读数误差等，这些都是偶然误差。观测中应力求使偶然误差减小到最低限度。偶然误差从表面上看似乎没有规律性，但从整体上对偶然误差加以归纳统计，则显示出一种统计规律，而且观测次数越多，这种规律性表现得越明显。偶然误差具有如下特性：

（1）有限性。在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

（2）集中性。绝对值小的偶然误差，比绝对值大的偶然误差出现的机会多。

（3）对称性。绝对值相等符号相反的偶然误差，出现的机会相等。

（4）抵偿性。当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋于零。

由于系统误差是可以并且必须改正的，所以测量结果中的系统误差大多已经消除，剩下的主要是偶然误差。如何处理这些带有偶然误差的观测值，求出最可靠的结果，分析观测值的可靠程度是本章要解决的问题。

3.粗差

在测量工作中，除上述两种性质的误差外，还可能发生粗差。例如：钢尺丈量距离时读错钢尺上注记的数字。粗差的发生，大多是因一时疏忽造成的。粗差的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，而且往往造成返工，给工作带来难以估量的损失。粗差极易在重复观测中被发现并予以剔除。显然，粗差的产生是与测量人员的技术熟练程度和工作作风有密切关系的，技术生疏或者工作不认真等直接影响成果的质量，并容易产生错误。测量成果中是不允许有错误的，错误的成果应当舍弃，并重新观测。

二、评定精度的指标

所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度。若两组观测值的误差分布一样，则说明两组观测值的精度一致。为了衡量观测值的精度高低，可按上节的方法制作误差分布表、直方图或误差分布曲线来进行比较，但在实际工作中，这样做比较麻烦，有时甚至很困难。因此，在实际测量工作中，更多的是采用以下几个指标来衡量观测值的精度。

1.中误差

在相同的条件下，对某一量进行n次观测，各观测值真误差平方和的平均值开平方，称为中误差，用m表示，即

观测值中误差m不是个别观测值的真误差，它与各真误差的大小有关，它描述了这一组真误差的离散程度，突出了较大误差与较小误差之间的差异，使较大误差对观测结果的影响表现出来，因而它是衡量观测精度的可靠指标。

【例1-2】 对真值为125°32′21″的角进行两组观测，每组等精度观测5测回，结果见表1-4。试计算两组观测值的中误差。

解：按式（1-12）在表中分别计算m1和m2，结果见表1-4。

误差大小是以其绝对值来比较的。|m1|＞|m2|，因此第一组观测值的精度比第二组低。

2.极限误差

由偶然误差特性第（1）条可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是极限误差。根据偶然误差的大小计算其出现的概率，可得以下关系式：

即绝对值大于中误差、大于2倍中误差、大于3倍中误差的偶然误差，其出现的概率分别为32%、4.5%和0.27%。在370个偶然误差中，大于3倍中误差的偶然误差可能只出现一个，而在实际的有限次数观测中，可以认为大于3倍中误差的偶然误差几乎是不会出现的。所以，通常将2倍或3倍中误差作为偶然误差的极限值Δ限，称为极限误差或允许误差。即

在测量工作中，如果观测值的误差超过了允许误差，那就可以认为它是错误，相应的观测值应舍去并进行重测，这是测量工作必须要遵守的准则。

3.相对误差

凡是能表达观测值中所含有的误差本身之大小数值的误差称为绝对误差，如真误差、中误差和极限误差等。而在测量工作中，有时用绝对误差并不能完全表达测量精度的高低。例如，分别丈量了100m和200m两段距离，中误差均为±0.02m，虽然两者的中误差相等，但两者丈量的精度却不一致，因为误差大小与各自的长度有关。在这种情况下，必须采用相对误差来衡量它们的精度。将绝对误差除以相应的观测量，并化成分子为1的分式，这个分式就是相对误差。即

依此式计算，上述例子中

K1＞K2，说明前者比后者精度低。

三、算术平均值及其中误差

1.算术平均值

设在相同的观测条件下对某量进行了n次等精度观测，其观测值为L1，L2,…,Ln，则该量的算术平均值X为

式中 ［L］——所有观测值之和。

根据偶然误差的抵消性可知，当观测次数无限增大时，偶然误差的算术平均值趋近于零，此时观测值的算术平均值X将趋近于真值L。但在实际工作中，观测次数总是有限的，因此，可以认为算术平均值是一个与真值最接近的值，是一个比较可靠的值，称之为真值的最或是值。

在测量成果整理中，由于要将算术平均值作为观测量的最后结果，所以必须求出算术平均值的中误差，以评定观测精度。

2.算术平均值的中误差

在测量成果整理中，由于要将算术平均值作为观测量的最后结果，所以必须求出算术平均值的中误差，以评定观测精度。

根据线性函数误差传播定律，可得算术平均值的中误差M为

式中，m1、m2、…、mn为各观测值的中误差。由于各观测值是等精度观测，中误差为m,即m1=m2=…=mn=m，上式可写成

即

式 （1 16）表明：算术平均值的中误差是观测值中误差的倍。由此可知，增加观测次数能提高最后观测结果的精度。但当观测次数达到一定值时，再增加观测次数，实际上其所得效益将消失在操作所产生的残留系统误差中，所以毫无意义。