3.3 可拓学理论概述

1983年，中国学者蔡文首次在《科学探索学报》上提出可拓学理论（Extenics Theory），文章着重对“可拓集合理论与不相容问题”进行详细的阐述，这一学术成果标志着一门新的原创性横断学科的诞生。可拓理论从诞生、发展再到走向成熟大概经历了三个时期：第一时期是1976—1982年的理论孕育期，这个时期蔡文教授将研究事物的可拓性和处理不相容问题作为可拓理论未来发展的主要方向；第二时期为1983—1989年的理论创立期，许多专家学者相继发表相关论文和专著，为物元分析这一学科奠定良好的科研理论基础；第三时期从1990年至今为发展期，随着《物元模型及其应用》（蔡文，1997）、《可拓逻辑初步》（杨春燕等，2000）、《事元及其应用》（杨春燕，1998）和《可拓工程研究》（蔡文，1994）等专著的先后发表，表明可拓学理论在理论研究方面已经较为完备，也能将其在实际问题中成熟应用。目前，可拓理论在水利工程中的应用越来越广，主要是涉及岩体质量评价、边坡稳定性分类和岩爆等级评价等。

3.3.1 物元理论

自然界中的任何人、事和物都可以统称为事物，现实世界正是由不同事物构成的，并通过某一具体量值来表征不同事物所具有的属性，而将事物、特征以及量值称为物元三要素，任何矛盾问题都可以通过物元三要素进行表述。可拓理论将事物、特征以及量值三要素相结合构成一个统一的物元模型，将拟解决的矛盾问题转化为可拓物元模型，在此基础上演绎出客观事物内在的本质规律，勾勒出解决矛盾问题的方法，最终将拟解决的矛盾问题的解决过程通过一定形式呈现出来，达到彻底解决现实问题的目的。

综上所述，将物元定义如下。

假如N表示事物的名称，v为事物特征c所具有的量值，则将N、c和v构成有序三元组R，则有

式中：R为描述事物的基本物元。

如果事物N具有n个特征c1，c2，…，cn及与之对应的n个量值v1，v2，…，vn时，则物元R表示为

称R为n维物元，记为R=（N，C，V）。

3.3.2 可拓集合理论与关联函数

3.3.2.1 可拓集合理论

经典集合作为经典数学理论的基石，在集合论的基础上用“0”“1”两个数来描述评价对象是否属于该集合；模糊数学针对实际问题中存在界限不明确、亦此亦彼的不确定性特征，提出在模糊集合论的基础上，通过隶属度在［0，1］范围内的改变刻画模糊集合区间情况；可拓集合判定某种特性隶属于该事物的程度通常采用关联函数进行衡量，关联函数的取值范围遍布整个定义域（-∞，+∞）上，当某种特性不属于该事物时，隶属度为负；反之为正。当隶属度取0时，说明某种特性与该事物无关。

假设论域为U，若对论域U中任一元素u，都存在一实数K（u）∈（-∞，+∞）与其相对应，则

其中，表示论域U上的一个可拓集合，y=K（u）称为的关联函数，K（u）称为u关于的关联度，则有

式 （3.6）是的正域：

式 （3.7）是的负域：

式 （3.8）是的零界。不难得知，如u∈J0，则u∈A与u∈成立。

然而，为了利用物元模型来解决矛盾问题，将物元可拓集合看作研究目标的对象元素，因此，有必要对物元可拓集合进行介绍。

设有物元集W，并且有

在上式的基础上定义可拓集合：

分析式（3.9）、式（3.10）可知，给定任意一个R∈W，都会存在一个实数使得K（R）=K（v）∈（-∞，+∞）成立：

则称是在物元集W中的一个物元可拓集。则有

式 （3.12）称为正域：

式 （3.13）称为的负域：

式 （3.14）称为的零界。

物元可拓集理论，顾名思义就是将物元理论和可拓集合理论相互融合、相互补充进而形成的一门处理矛盾不兼容问题的新型学科，物元在物元可拓集理论中作为最基本的单元存在，随着物元自身构成元素和规律的变化，物元可拓集也随之产生变化。正是因为物元作为基本元素，不可避免地与物元可拓集理论存在着非常紧密的联系，才使得物元可拓集合理论在描述现实事物的内在结构、事物间存在的关系以及事物的变化情况等事物可变性方面具有一定的有效性和合理性。

3.3.2.2 关联函数介绍

一般而言，特征函数和隶属度函数分别是在经典数学领域和模糊数学领域中用来表征所研究事物的确定性和不确定性的数学工具，而关联函数则是在可拓数学领域中用来定量评价事物所具有可拓性的一种数学工具。在可拓数学领域中，根据不同的实际问题，关联函数选择的表现形式也有所不同，一般关联函数的形式主要与距、位值和初等关联函数有关。

（1）距的概念。设x为实数定义域内任一点，X=<a，b>为实数定义域上的一个区间，则称

为点x与区间X之距。

若存在一区间X=<a，b>，且有x0∈，则称

为x关于点x0和区间X的左侧距，记作ρl=（x，x0，X）。

若存在一区间X=<a，b>，且有x0∈，则称

为x关于点x0和区间X的右侧距，记作ρr=（x，x0，X）。

（2）位值。设X=<a，b>，X0=<c，d>，且x∈X0，则x关于X、X0的位值为

若X⊂X0，且无公共端点，则D（x，X，X0）＜0；若X与X0 有公共端点，则D（x，X，X0）≤0。

（3）初等关联函数。设X=<a，b>，X0=<c，d>，X⊂X0 且无公共点，作函数

则称K（x）为x关于X和X0的初等关联函数。如果区间X和X0有一个公共点Xp，则对任意一个x≠xp，有