第三节 牛顿法在网络补偿中的应用
一、目标函数
前述已经证明：带有约束的非线性规划问题，必须满足Kwhn-Tacker条件，且其目标函数为
L（x，λ）=f（x）+λTg（x）
（231）
其中λT=[λ1 ，λ2 ，…，λn]为Kwhn-Tacker因子。
二、约束函数的泰勒展开式今设约束方程共为n个，则
g1（x1，x2，…，xn）=0 g2（x1，x2，…，xn）=0…
╮
㊣
（232）
gn（x1 ，x2 ，…，xn）
=0╯
1.约束方程的矩阵形式
（1）若给定初始值x1（0），x2（0），…，xn（0），且设各变量的增量为Δx1（0），Δx2（0），…，
Δxn（0），则式（232）将化为下述形式：
g1[x1（0）-Δx1（0），x2（0）-Δx2（0），…，xn（0）-Δxn（0）]=0
╮
…
㊣
（233）
gn[x1（0）-Δx1（0），x2（0）-Δx2（0），…，xn（0）-Δxn（0）]=
0╯
将式（233）作泰勒级数展开，并略去高次项后，可得
gi（x1（0），x2（0），…，xn（0））
=∂∂xgi1Δx1（0）+∂∂xgi2Δx2（0）+…+∂∂xginΔxn（0）
（234）
写成矩阵形式，则为
┌
∂∂gx11…∂∂gx1n
┐
┌
g1（x1（0），…，xn（0））
┐
G（x）=
…
…
…
=
…
（235）
└
gn（x1（0），…，xn（0）
┘）
∂∂gxn1…∂∂gxn
┌└ΔΔxx…n1（（00））┐┘
└
n┘
式（23 5）便是约束方程的矩阵形式，称为牛顿法修正方程式，它是以Δx1（0），
Δx2（0），…，Δxn（0）为变量的线性方程组。其中∂∂xgij为函数
gi（x1 ，x2 ，…，xn）
对自变量xj的偏导数在点（x1 ，x2 ，…，xn）处的值。
（2）解线性方程组（235）可求得
Δx1（0），Δx2（0），…，Δxn（0）
并由此求得
x1（1）=x1（0）-Δx1（0），x2（1）=x2（0）-Δx2（0），…，xn（1）=xn（0）-Δxn（0）
x1（1），x2（1），…，xn（1）与x1（0），x2（0），…，xn（0）相比较，向真正解逼近了一步。
2.约束方程的迭代过程
如果以x1（1），x2（1），…，xn（1）作初值，重解线性方程组（235），便可求出
Δx1（1），Δx2（1），…，Δxn（1）
再由式
x1（2）=x1（1）-Δx1（1） x2（2）=x2（1）-Δx2（1）
……
…
xn（2）=xn（1）-Δxn（1）
则x1（2），x2（2），…，xn（2）又向真正解逼近一步。直至第t次迭代，得
G（x）（t）=J（t）ΔX（t）
（236）
其中
┌
q1（x1（t），…，xn（t））
G（x）（t）=
┐
…
（237）
└
qn（x1（t），…，xn（t）
┘）
┌
∂∂gx11|t…∂∂xg1n|t
┐
J（t）=
…
（238）
└
∂∂gxn1|t…∂∂gxnn|
t
┘
ΔX（t）=┌└ΔΔΔxxx…n12（（（ttt）））┐┘
（239）
以上式中 G（x）（t）———第t次迭代时函数的误差向量；
J（t）———雅可比阵；
ΔX（t）———第t次迭代修正量。
3.迭代过程收敛情况的判别
为了判断收敛情况，可采用下述两个不等式中之一：
|maxΔx（t）|＜ε1|G（x）（t）|＜ε ㊣
╮2╯
（2310）
式中 ε1，ε2———要求的精度量。
三、约束函数中各元素的求法
（一）电力系统的约束方程式
根据本章第二节分析，电力系统无功补偿的约束方程式，可以写成下述形式：
┌
∂ΔP∂φ
∂ΔP∂V
┐
[ΔΔPQ]=
[ΔΔVφ]
（2311）
└
∂ΔQ∂φ
∂ΔQ∂
V┘
或者写成
┌
∂ΔP∂VV
[ΔΔPQ]=
∂ΔP∂φ
┐
（2312）
∂ΔQ∂φ
∂ΔQ∂V
V
[ΔΔφV/V]
└
┘
（二）矩阵中各个元素的求法
1.∂∂ΔφP的求法当i=\j时
∂∂ΔφPii=-ViVj（gijsinφij-bijcosφij）
（2313）
当i=j时
∂∂ΔφPii=∂∂φi[Pi-Vi∑j∈iVj（gijcosφij+bijsinφij）]
=∂∂φi Pi-V2i（qijcosφij+bijsinφij）-Vij∑∈i
[Vj（qijcosφij+bijsinφij）]
j=\i
因为φ1i=φ1-φi=0，所以
∂ΔPi
∂φi =-Vij∑∈i
Vj（-qijsinφij+bijcosφij）
j=\i
=-V2ibij+Vi∑
Vj（qijsinφij-bijcosφij）+V2ibij
j∈i j=\i
=V2ibij+Qi
（2314）
2.∂∂ΔVPV的求法
∂∂ΔVPjiVj=∂∂Vj [Pi-Vi∑j∈iVj（gijcosφij+bijsinφij）]Vj
=-ViVj（gijcosφij+bijsinφij）
（2315）
∂∂ΔVPiiVi=∂∂Vi[Pi-V2i（gijcosφij+bijsinφij）
-Vi∑
Vj（gijcosφij+bijsinφij）]Vj
j∈i j=\i
=-2V2igij-Vi∑
[（gijcosφij+bijsinφij）Vj]
j∈i j=\i
=-V2igij-Vi∑
[Vj（gijcosφij+bijsinφij）+V2igij ]
j∈i j=\i
=-V2igij-Pi
（2316）
3.∂∂ΔφQ的求法当i=\j时
∂∂ΔφQji=ViVj（gijcosφij+bijsinφij）
（2317）
当i=j时
∂∂ΔφQii=V2igij-Pi
（2318）
4.∂∂ΔVQV的求法 ∂ΔQi
∂VjVj=-ViVj（gijsinφij-bijcosφij）
（2319）
（i\=j）
∂∂ΔVQiiVi=V2ibij-Qi
（2320）
（i=j）
四、目标函数的泰勒展开式
设初始运行点为（x0，λ0），则在初始运行点，目标函数L（x，λ）的泰勒展开式为
L（x0，λ0）=f（x0）+λ0Tg（x0）+f′（x0）（x-x0）
+λ0Tg′（x0）（x-x0）+g（x0）T（λ-λ0）
对x求偏导数，有
∂[（x0，λ0）]
=f′（x0）+λ0Tg′（x0）+f″（x0）+f′（x0）+∂
[λ0Tg′（x0）]（x-x0）
∂x
∂x
+λ0Tg′（x0）+g′（x0）T（λ-λ0）
=f′（x0）+λ0Tg′（x0）+{f″（x0）+∂∂x[λ0Tg′（x0）]}（x-x0）
+f′（x0）+λ0Tg′（x0）+g′（x0）T（λ-λ0）
（2321）
设x-x0=Δx，λ-λ0=Δλ，则式（2321）变为
∂L（x∂x0，λ0）=f′（x0）+λ0Tg′（x0）+{f″（x0）+∂∂x[λ0Tg′（x0）]}Δx
+f′（x0）+λ0Tg′（x0）+g′（x0）TΔλ
（2322）
根据Kwhn-Tacker条件知
∂f∂（xx0）+i∑=m1λ0∂g∂（xx0）=0
且因为 ∂L（∂xx0，λ0）=0，则有
{f″（x0）+∂∂x[λ0Tg′（x0）]}Δx+g′（x0）TΔλ=-[f′（x0）+λ0Tg′（x0）]
（2323）
令H=f″（x0）+∂∂x[λ0Tg′（x0）]，为海森阵；J=∂g∂（xx0），为雅可比阵，则式（11 18
61）可改写成矩阵形式
[HJ J0T][ΔΔλx]=┌└-∂f∂gx（x（x））-JTλ┐┘
（2324）
式（2324）已将目标函数式（2323）和约束条件式（236）结合起来。其计算过程是：
（1）给定初始运行点Δx0、Δλ0、误差ε。
（2）通过解方程组（2324），求出Δx0和Δλ0。
（3）利用下式进行修正
x1=x0-Δx0λ1=λ0-Δλ0
（4）再对方程组（2324）求解，得 Δx1、
Δλ1，进一步求出
x2=x1-Δx1λ2=λ1-Δλ1
（5）判断Δλ1=λ1-λ2，Δx1=x1-x2的绝对值
是否小于所要求的精度ε，如果满足，则打印最优解
X*，λ*，否则继续迭代。
五、程序设计
按照下述计算步骤，给出程序设计的流程，如
图231所示。
六、原始数据要求
（1）网络参数，包括电阻和电抗值。（2）每个电厂的有功出力。
（3）每个负荷的有功值、无功值。（4）各变压器分接头位置。
（5）无功优化数据包括：
1）各地无功补偿容量上限、下限。2）变压器分接头调节范围。
3）新装无功补偿地点。
4）单位电容器、电抗器价格，设备寿命，电价，初始方式潮流网损。
图231 程序设计流程