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第2章理论力学在水利工程中的应用

2.1 水工建筑物中的静力学问题

静力学研究物体在力作用下的平衡规律，是一门研究有关物体平衡问题的科学，它和其他科学技术一样是在生产实践中产生、发展又服务于生产实践的。

水利建设的各种工程设计和施工都涉及静力学问题。在水利工程建设中，为了承受一定荷载以满足各种使用要求，需要建造不同的建筑物，如水利工程中的水闸、水坝、水电站、渡槽、桥梁、隧洞等。建筑物中承受荷载并起到骨架作用的部分称为结构。组成结构的各单独部分称为构件。结构是由若干构件按一定方式组合而成的，如：支撑渡槽槽身的排架是由立柱和横梁组成的刚架结构，见图2.1（a）；支撑弧形闸门面板的腿架是由弦杆和腹杆组成的桁架结构，见图2.1（b）；电厂厂房结构由屋顶、楼板、吊车梁和柱等构件组成，其屋顶是由板、次梁和主梁组成的肋形结构，见图2.1（c）。

水利工程结构的受力必须满足力系的平衡条件。在设计如图2.1（c）所示的厂房结构时，要先对屋架、吊车梁、柱、基础等构件进行受力分析，根据力系的平衡条件求出这些力中的未知量，然后设计这些构件的断面尺寸及配置钢筋等。对重力坝、拱坝、水闸、溢洪道等都要进行受力分析，利用力系的平衡条件来计算其稳定性和应力。支撑渡槽的排架、渡槽、工作桥、交通桥也需要应用力系的平衡条件求出力系中的未知力，然后对这些结构进行断面设计，计算其应力和变形。因此，静力学研究是水利工程建设的基础。

图2.1 结构示意图

2.1.1 物体的受力分析

【工程实例1】 南水北调中线工程沙河渡槽

沙河渡槽工程是南水北调中线一期工程的组成部分，工程起点位于鲁山县薛寨村北，终点为鲁山坡流槽出口50m处，与鲁山北段设计单元相接。工程设计流量为320m3/s，加大流量为380m3/s。渡槽起点断面设计水位为132.37m，终点设计水位为130.49m。

该工程跨沙河、将相河、大郎河三条河，各类交叉建筑物共12座，其中沙河梁式渡槽、沙河-大郎河箱基渡槽、大郎河梁式渡槽、大郎河-鲁山坡箱基渡槽和鲁山坡落地槽统称为沙河渡槽（图2.2~图2.4）。其中大郎河梁式渡槽采用多跨U形3孔连接方式，预应力预制整体吊装，槽墩间距30m，一次吊装重量1200t，是当前国内最大的梁式渡槽。

图2.2 沙河渡槽进水闸效果图

图2.3 沙河渡槽跨越沙河主河床

【问题】画出渡槽槽身、排架受力图。

分析：如图2.5和图2.6所示，渡槽的槽身直接支撑在槽墩或排架上，每段槽身有两个支撑点，槽身与槽身之间的伸缩缝设在槽墩或排架位置，所以每段槽身可以简化为简支梁进行计算。排架与基础(一般为板式基础)的连接常采用固接或铰接两种形式。现场浇筑时，排架与基础常整体结合，立柱竖向钢筋直接伸入基础内，按固接考虑。预制装配式排架则根据排架吊装就位后的杯口处理方式而按固接或铰接考虑(图2.7)。

图2.4 沙河渡槽

图2.5 南水北调中线工程沙河渡槽（建设中）

图2.6 南水北调中线工程沙河渡槽

图2.7 排架与基础的连接（单位：cm）

解：

取渡槽槽身和排架为研究对象，除去约束画其受力图。

每段槽身可简化为如图2.8所示的力学模型。作用于槽身的荷载一般按匀布荷载考虑，包括槽身重力、槽中水重及人群荷载等。

图2.8 渡槽槽身计算分析

排架受力如图2.9所示。作用于排架的铅直荷载有：①槽身重力及槽内水重力P；②槽身在横向风压力P1作用下通过支座传给支柱的轴向拉力和压力P′；③排架重力，计算时将排架重力化为节点荷载，每一节点荷载等于相邻上半柱和下半柱重力以及横梁重力之半的总和。

图2.9 排架受力分析

作用于排架的水平荷载有：①通过摩阻作用传至支柱顶部的槽身横向风压力P′1；②作用于排架立柱上的横向风压力或动水压力等(Pi，i=1,2,…)。

【工程实例2】 太行渡槽

太行渡槽位于河北省沙河市渡口村东南。20世纪70年代，在沙河上游修建东石岭水库（现今的秦王湖）。该渡槽为东石岭水库干渠上的控制性工程，是中国第一单孔宽度浆砌石拱桥。渡槽犹如一道彩虹飞架于两山之间，气势磅礴，雄伟壮观（图2.10）。

图2.10 太行渡槽

太行渡槽于1973年动工建设，1976年竣工。渡槽跨度101m，全长220m，高53m，是一座浆砌单拱渡槽，主拱为空腹式变截面悬链线无铰拱，小拱17孔，单孔单跨6m，渠道墙高2.3m，厚1m，过水深2m，过水宽2.4m，主拱上约有8900块弧形石，每块约重1.2t。

【问题】画拱式渡槽主拱圈的受力图。

分析：拱是一种轴线为曲线或折线形、在竖向荷载作用下拱脚产生水平推力的结构。拱脚须有水平向约束。如果拱脚无水平向约束，在铅直荷载作用下只产生竖向反力的拱形结构，只能称为曲梁。拱式渡槽与梁式渡槽不同之处，是在槽身与墩台之间增设了主拱圈和拱上结构。拱上结构将上部荷载传给主拱圈，主拱圈再将传来的拱上铅直荷载转变为轴向压力，并给墩台以水平推力。主拱圈是拱式渡槽的主要承重结构，以承受轴向压力为主，拱内弯矩较小，因此可用抗压强度较高的圬工材料建造，跨度可达百米以上，这是拱式渡槽区别于梁式渡槽的主要特点。由于主拱圈对支座产生强大的水平推力，对于跨度较大的拱式渡槽一般要求建于岩石地基上。

拱式渡槽的支承结构是由墩台、主拱圈和拱上结构组成的(图2.11和图2.12)。槽身荷载通过拱上结构传给主拱圈，再由主拱圈传给墩台，然后由墩台传给基础。

图2.11 拱式渡槽

主拱圈在跨径中央处称为拱顶，两端与墩台连接处称为拱脚，各径向截面重心的连线称为拱轴线。两拱脚截面重心的水平距离l称为计算跨度(简称跨度)，拱顶截面重心到拱脚截面重心的铅直距离f称为计算矢高(简称矢高)，拱圈外边缘的距离b称为拱宽，矢高与跨度的比值f／l称为矢跨比，拱宽b与跨度l的比值b／l称为宽跨比。

解：

图2.12 拱式渡槽示意图

取主拱圈为研究对象，除去约束画受力图如图2.13所示。

图2.13中Gl、H1是由靠近拱顶的腹拱拱脚传给拱圈的铅直集中荷载和水平推力，G2是由横墙或立柱传来的铅直集中力，Wl是由拱顶实腹段传来的分布荷载，W2是拱圈自重。

图2.13 拱式渡槽主拱圈计算分析

【工程实例3】 都江堰水利工程

都江堰是由秦国蜀郡太守李冰父子率众于公元前256年左右修建并使用至今的大型水利工程，被誉为“世界水利文化的鼻祖”，是全世界迄今为止，年代最久、唯一留存、以无坝引水为特征的宏大水利工程。渠首枢纽主要由鱼嘴分水堤、飞沙堰溢洪道、宝瓶口进水口三大主体工程构成（图2.14）。三者有机配合，相互制约，协调运行，引水灌田，分洪减灾，具有“分四六，平潦旱”的功效。

【问题1】都江堰外江水闸（图2.15）上的工作桥受力分析。

图2.14 都江堰水利工程示意图

图2.15 都江堰外江水闸

分析：工作桥是为启闭闸门而设置的，工作桥两端分别支撑在闸墩上（图2.16），所以工作桥计算时可以被简化为支撑在闸墩或桁架上的简支梁，力学模型与梁式渡槽相同。

解：

取工作桥作为研究对象，工作桥的一端为固定铰约束，另一端为活动铰约束，如图2.17（a）所示。解除两端约束，画工作桥受力图，如图2.17（b）所示。图2.17中q为工作桥面板单位宽度自重，FAx、FAy、FB为约束反力。

【问题2】闸墩受力分析。

分析：闸墩［图2.18（a）和图2.18（b）］承受闸门传来的水压力，也是坝顶桥梁的支承。闸墩与闸室底板相连，可作为固接于底板的悬臂结构，其力学模型为悬臂梁。

图2.16 工作桥

图2.17 工作桥计算分析

图2.18 闸墩及其计算分析

解：

取闸墩作为研究对象，闸墩承受自重及桥梁传来的荷载G和水压力q的作用，去除约束画受力图［图2.18（c）和图2.18（d）］。

【工程实例4】 南水北调东线皂河泵站工程

南水北调东线工程规划从江苏省扬州附近的长江干流引水，利用京杭大运河以及与其平行的河道输水，连通洪泽湖、骆马湖、南四湖、东平湖，并作为调蓄水库，经泵站逐级提水进入东平湖后，分水两路。一路向北穿黄河后自流到天津，从长江到天津北大港水库输水主干线长约1156km；另一路向东经新辟的胶东地区输水干线接引黄济青渠道，向胶东地区供水（图2.19）。

图2.19 南水北调东线逐级提水示意图

南水北调东线一期工程第六梯级泵站——皂河站工程（图2.20），位于宿迁市宿豫区皂河镇北5km处，东临中运河、骆马湖，西接邳洪河、黄墩湖。其主要任务是与泗阳泵站、刘老涧泵站一起，通过中运河线向骆马湖输水175m3/s，与运西徐洪河共同满足向骆马湖调水275m3/s的目标，并结合邳洪河和黄墩湖地区排涝。整个皂河站工程总投资为3.95亿元，建设工期为3年。工程建成后不仅提高了洪泽湖向骆马湖的调水能力，同时对工程沿线的防洪、排涝、灌溉和改善运河航运条件等发挥重要作用。

图2.20 东线皂河站工程

【问题】对胸墙进行受力分析。

分析：胸墙位于闸孔上部，是处于闸室胸位的挡水墙（图2.21和图2.22）。当水闸设计挡水位高于泄流控制水位且差值较大时，为减小闸门高度，可设置胸墙。弧形闸门的胸墙一般置于闸门上游;平面闸门的胸墙可置于闸门上游或下游。胸墙与闸门间设止水件。胸墙与闸门在闸室中的位置，决定闸前水重及墩上荷载的位置和大小，因而对闸室稳定、基底及闸墩应力分布都有影响，应综合考虑各项设计要求，通过分析计算来确定。

图2.21 东线工程皂河站泵站

图2.22 胸墙

胸墙与闸墩的连接有两种方式，一种为胸墙与闸墩分开浇筑，缝间涂沥青，或可将预制墙体插入闸墩预留槽内，做成活动胸墙，为简支式［图2.23（a）］。另一种就是胸墙与闸墩同期浇筑，胸墙钢筋伸入闸墩内，形成刚性连接，为固接式［图2.23（b）］。

图2.23 胸墙的支承型式

1—胸墙；2—闸墩；3—钢筋；4—涂沥青

解：

简支式胸墙可以简化为简支梁，固接式胸墙可以简化为两端固定的超静定梁，受力分析如图2.24所示。

【工程实例5】 向家坝水利工程

向家坝水电站位于云南水富与四川省交界的金沙江下游河段上，距水富市区仅1500m，是金沙江水电基地最后一级水电站，上距溪洛渡水电站坝址157km。电站拦河大坝为混凝土重力坝，最大坝高为162m，坝顶长度为909.26m。坝址控制流域面积45.88万km2，占金沙江流域面积的97%，多年平均径流量为3810m3/s。水库总库容为51.63亿m3，回水长度为156.6km。电站装机容量784万kW，多年平均发电量307.47亿kW·h。总投资约542亿元。是中国第三大水电站，世界第五大水电站，也是西电东送骨干电源点。该坝是目前金沙江水电基地中唯一修建升船机的大坝，升船机最大提升高度为114.20m，规模与三峡相当，属世界最大单体升船机，船舶翻坝效率远超三峡五级船闸，千吨级船舶过坝只需15min（三峡船闸平均过坝时间5h）。

图2.24 简支式与固接式胸墙计算分析

图2.25 向家坝水利枢纽工程

枢纽工程由混凝土重力坝、右岸地下厂房及左岸坝后厂房、通航建筑物和两岸灌溉取水口组成（图2.25和图2.26）。

图2.26 向家坝三维模型

【问题】重力坝非溢流坝段和溢流坝段受力分析。

分析：对重力坝（图2.27）的非溢流坝段（图2.28和图2.29）和溢流坝段（图2.30和图2.31）进行受力分析时，沿坝轴线取单位长度进行计算。重力坝主要是依靠坝体自重产生的抗滑力来维持稳定，同时依靠坝体自重产生的压应力来抵消由于水压力所引起的拉应力以满足强度要求。重力坝一般修建在岩基上，混凝土直接浇筑在经加固处理好的地基上，所以重力坝溢流坝段、非溢流坝段均可简化为固接于地基上的悬臂梁。

图2.27 重力坝立体图

图2.28 非溢流重力坝剖面

图2.29 非溢流重力坝立体

图2.30 溢流重力坝挡水

图2.31 溢流重力坝泄水

解：

沿坝轴线取单位长度非溢流坝段或溢流坝段，坝体上面作用有水压力、重力、浪压力、泥沙压力、渗透力等(图2.32和图2.33)，其中：q为均布水压力,U为扬压力，G、Gl、G2为自重，Pl为上游总水平水压力，P2为下游总水平压力，P3为动水压力。

图2.32 非溢流重力坝受力图

图2.33 溢流重力坝受力图

计算时将非溢流坝和溢流坝均简化为固定在地基上的悬臂梁（图2.34）。

【问题】混凝土重力坝，忽略浪压力、泥沙压力、地震力，画出重力坝的受力图。

解：

（1）取坝体为研究对象，画出脱离体图（图2.35）。

图2.34 非溢流坝（溢流坝）计算简图及受力分析

图2.35 重力坝剖面图

（2）画脱离体所受的全部主动力（图2.36）：重力W=W1+W2，作用在坝体的重心上，铅垂向下；上游坝面所受水压力为P1，作用在距离水面2H1/3处，水平指向坝体；下游坝面所受水压力为P2，作用在距离水面2H2/3处，水平指向坝体；下游坝面所受水重力为Q，作用在与坝趾水平距离L1/3处，铅垂向下；坝基面所受的扬压力包括上浮力和渗透压力，上浮力U1是由坝体下游水深产生的浮托力，垂直向上，作用在坝基面中点，渗透压力U2是由在上、下游水位差作用下，水流通过基岩节理、裂隙产生的向上的静水压力，作用在距离坝踵L1/3处。

（3）分析坝体所受约束的类型，在脱离体上去掉约束的地方，按约束的性质画上约束反力以代替约束的作用；坝体受岩基摩擦的约束，摩擦力F，水平向左；同时受约束反力N，垂直于接触面，指向坝体。

【工程实例6】 三堆河水电站

三堆河水电站（图2.37）位于神农架林区红花坪，工程紧靠209国道，南距兴山县城40km，北离林区首府松柏镇130km，于2001年11月建成发电，是以发电为主要任务的小型引水式水电站工程。

图2.36 重力坝受力分析

图2.37 三堆河水电站

【问题1】对引水压力管道内的水流进行受力分析。

分析：压力管道是指从水库、前池或调压室向水轮机输送水量的管道，布置在地面以上称为露天式明钢管,多为引水式地面厂房采用。明钢管由钢材卷制而成，其强度很高，可以承受较大的内水压力，适用于中高水头电站。一般在其上设置镇墩、支墩、加劲环、伸缩节、阀门、进人孔、通气阀等，如图2.38所示。

图2.38 引水压力钢管组成

明钢管敷设在一系列的支墩上，底面一般高出地表不小于0.6m。在自重和水重的作用下，支墩上的管道相当于一个多跨连续梁，在管道转弯处设置镇墩，将管道固定，不使其有任何位移，相当于梁的固定端。

压力管道里面的水流受到水流自重、水压力、管壁对水体的总约束反力作用。

【问题2】如图2.39所示，某水电站输水管道中有一呈150°的立面弯管置于镇墩内，试画出弯管内水体的受力图。

图2.39 压力管道示意图

解：

（1）取弯管内的水流（断面1—1与2—2之间）为脱离体，画出脱离体图。

图2.40 水流受力分析

（2）画脱离体所受的全部主动力（图2.40）：重力W，作用在水体的重心上，铅垂向下；脱离体两端截面上的水压力，截面1—1上的水压力P1，作用在截面中心，垂直于截面，指向水体；截面2—2上的水压力P2，作用在截面中心，垂直于截面，指向水体。

（3）管道转弯处设置镇墩，将管道固定，不使其有任何位移，相当于梁的固定端，因此管壁对水体的总约束反力R，以相互垂直的分量Rx、Ry，方向可先行假定。

习题

1.升船机连同船体共重W，用钢绳拉动沿导轨上升，如图2.41所示，试以升船机连同船体为考察对象，作示力图。升船机与导轨之间假设是光滑接触，升船机与船体的重心在C点。

图2.41 升船机连同船体示意图

2.图2.42（a）、（b）分别是自卸载重汽车的照片和简图，要求分析翻斗的受力情况。

图2.42 自卸载重汽车的照片和简图

3.如图2.43（a）所示是挖掘机的照片，如图2.43（b）所示是其简图。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为液压活塞，A、B、C处均为铰接。挖斗重Q，AB、BC重分别为P1、P2。试先画出计算简图，再分别作挖斗、AB、BC三部分的示力图。

图2.43 挖掘机照片和简图

4.用于安装弧形闸门的闸墩上的牛腿（图2.44）受力如何分析?闸墩长度不够时在闸墩上增加的外伸悬臂结构（图2.45）受力如何分析?交通桥（图2.46）受力如何分析?

图2.44 牛腿

图2.45 悬臂结构

图2.46 交通桥

2.1.2 平面汇交力系

【问题】对起吊安装（图2.47）时的平面闸门进行受力分析和求解。

分析：取平面闸门作为研究对象，闸门受力为平面汇交力系。

解：

取平面闸门作为研究对象，闸门受到绳子的拉力F1、F2和自重G的作用保持平衡，假定F1、F2与竖直方向的夹角为α1、α2，不考虑摩擦力，画受力图，如图2.48所示。

图2.47 节制闸工程闸门安装

列平衡方程：

图2.48 闸门起吊受力分析

【例题】如图2.49（a）所示的压路碾子，自重P=20kN，半径R=0.6m，障碍物高h=0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力F。求：

（1）当水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力。

（2）欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大。

（3）F沿什么方向拉动碾子最省力，此时F为多大。

图2.49 压路碾子示意图

解：

（1）选碾子为研究对性，其受力图如图2.49（b）所示，各力组成平面汇交力系。根据平衡的几何条件，力P、F、FA与FB应组成封闭的力多边形。按比例先画已知力矢P与F如图2.49（c）所示，再从a、c两点分别作平行于FB、FA的平行线，相交于点d。将各力矢首尾相接，组成封闭的力多边形，则图2.49（c）中的矢量即为A、B两点约束反力FA、FB的大小与方向，按比例量得

由图2.49（c）的几何关系，也可以计算FA、FB的数值。按已知条件可求得

再由图2.49（c）中各矢量的几何关系，可得

解得

根据作用与反作用关系，碾子对地面及障碍物的压力分别等于11.34kN和10kN。

（2）碾子能越过障碍物的力学条件是FA=0，因此，碾子刚刚离开地面时，其封闭的力三角形如图2.49（d）所示。由几何关系，此时水平拉力

此时B处的约束反力

（3）从图2.49（d）中可以清楚地看到，当拉力与FB垂直时，拉动碾子的力最小，即

习题

1.如图2.50所示为一履带式起重机，起吊重量P=100kN，在图示位置平衡。如不计吊臂AB自重及滑轮半径和摩擦，求吊臂AB及缆绳AC所受的力。

2.如图2.51所示，弧形闸门自重W=150kN，试用作图法求提起闸门所需的拉力T和铰支座A处的反力。

图2.50 履带式起重机图

图2.51 弧形闸门结构图

2.1.3 平面任意力系

【工程实例】 三峡水利枢纽工程

三峡水利枢纽工程位于重庆市到湖北省宜昌市之间的长江干流上。是世界上规模最大的水电站，也是中国有史以来建设的最大型的工程项目。1994年正式动工兴建，2003年开始蓄水发电，2009年竣工。

水电站大坝高185m，坝顶全长2309.47m。采用混凝土重力坝。大坝中间部分是泄洪坝段，两侧是发电厂房坝段，再两侧是非溢流坝段（图2.52）。

【问题】对三峡工程重力坝溢流坝段和非溢流坝段进行受力分析。

分析：沿坝轴线取单位长度坝体作为研究对象，进行受力分析。重力坝在水平静水压力、垂直静水压力、扬压力等荷载作用下保持稳定，单位长度坝体可作为平面问题处理，在各荷载作用下，坝体保持平衡。

解：

单位长度坝段受力如图2.53和图2.54所示，坝段在各受力作用下维持平衡，保持稳定。

图2.52 三峡工程图例

图2.53 非溢流坝段荷载计算图

图2.54 溢流坝段荷载计算图

列平衡方程：

【例题1】如图2.55所示，已知坝上游水深H=25m及坝的剖面尺寸。混凝土的容重γ=24kN/m3。暂不考虑坝基渗流对坝底作用力的影响，求坝体底部的受力（假定坝体底部受力作用点为底面中心）。

图2.55 坝体剖面图

解：

取1m长的坝段来分析。坝体受力分析如图2.56所示。

坝面上静水总压力的水平分力为

坝面上静水总压力的铅直分力为

坝体（每1m长）的重力为

对1m长研究坝体列平衡方程：

图2.56 坝体受力分析（单位：m）

【例题2】图2.57（a）所示钢结构拱架，拱架由两个相同的钢架AC和BC用铰链C连接，拱脚A、B用铰链固接于地基，吊车梁支承在钢架的突出部分D、E上。设两钢架各重为P=60kN；吊车梁重为P1=20kN，其作用线通过点C；载荷为P2=10kN，风力F=10kN。尺寸如图2.57（a）所示。D、E两点在力P的作用线上。求固定铰支座A和B的约束反力。

图2.57 钢结构拱架

解：

（1）选整个拱架为研究对象。拱架在主动力P、P1、P2、F和铰链A、B的约束反力FAx、FAy、FBx、FBy作用下平衡，受力如图2.57（a）所示。列出平衡方程，有

以上3个方程包含4个未知数，欲求得全部解答，必须再补充一个独立的方程。

（2）选右边钢架为研究对象，其上受有左边钢架和吊车梁对它的作用力FCx、FCy和FE的作用。另外还有重力P和铰链B处的约束反力FBx、FBy的作用，如图2.57（b）所示。于是可列出三个独立的平衡方程。为了减少方程中的未知量数目，采用力矩方程，即

这时又出现了一个未知数FE。为求得该力的大小，可再考虑吊车梁的平衡。

（3）选吊车梁为研究对象，吊车梁在P1、P2和支座约束反力F′D、F′E的作用下平衡，如图2.57（c）所示。为求得F′E可列如下方程：

由式（e）解得

由式（a）求得

将FBy和FE的值代入式（d）得

代入式（b）得

代入式（c）得

【例题3】如图2.58所示挖掘机计算简图中，挖斗载荷P=12.25kN，作用于G点，尺寸如图2.58（a）所示。不计各构件自重，求在图示位置平衡时杆EF和AD所受的力。

图2.58（一）挖掘机计算简图及受力分析（单位：m）

图2.58（二）挖掘机计算简图及受力分析（单位：m）

解：

（1）取整体分析，受力如图2.58（b）所示。

（2）考虑FHIJK及挖斗的平衡，受力如图2.58（c）所示。

习题

1.重力坝断面如图2.59（a）所示，坝的上游有泥沙淤积。已知水深H=46m，泥沙厚度h=6m，单位体积水重r=9.8kN/m3，泥沙在水中的容重（即单位体积重，常称为浮容重）r′=8kN/m3，又1m长坝段所受重力W1=4500kN，W2=14000kN。如图2.59（b）所示为1m长坝段的中央平面的受力情况。试将该坝段所受的力（包括重力、水压力和泥沙压力）向O点简化，并求出简化的最后结果。

图2.59 重力坝断面图

2.已知挡土墙（图2.60）重W1=75kN，铅直土压力W2=120kN，水平土压力P=90kN。试求三力对前趾A点的矩之和，并判断挡土墙是否会倾倒。

3.如图2.61所示为某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力P=250kN，屋顶传来的力Q=30kN，试将该两力向底面中心O简化。图2.61中长度单位是mm。

图2.60 挡土墙示意图

图2.61 某厂房排架的柱子示意图

4.某厂房柱，高9m，柱的上段BC重P1=8kN，下段CA重P2=37kN,风力q=2kN/m，柱顶水平力Q=6kN，各力作用位置如图2.62所示。求固定端A处的反力。

5.如图2.63所示，挡土墙重W=400kN，土压力F=320kN，水压力H=176kN，求这些力向底面中心O简化的结果，如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。

图2.62 厂房柱示意图

图2.63 挡土墙示意图

6.如图2.64所示，闸门纵向桁架承受2m的面板的水压力，设水深与闸门顶齐平，试求桁架各杆内力。

2.1.4 平面平行力系

【工程实例】 盐河北闸工程

盐河北闸位于江苏省灌云县侍庄乡境内的新沂河北大堤上（92.3km处），与盐河南闸共同构成了盐河穿过新沂河的航道，是集防洪、灌溉、航运于一体的综合性水利工程［图2.65（a）］。该闸始建于1970年10月，于1998年11月加固。

闸墩顶部上游侧设公路桥，桥面净宽6m，设计荷载汽-10（钢筋混凝土板梁结构）。闸墩顶部下游侧设3m宽人行便桥（钢筋混凝土现浇结构），闸墩顶部顺水流向16m长范围内布置4根撑梁（断面60cm×75cm），排架顶高17m，工作桥（钢筋混凝土预制“∏”型）桥面高程17.80m，桥面宽5.6m。闸门采用上、下扉钢结构平板门，各一台启闭机控制［图2.65（b）］。

图2.64 闸门纵向桁架结构图

图2.65 盐河北闸

【问题】对安装或施工期（没有水荷载）的闸门进行受力分析。

分析：取平面闸门作为研究对象，闸门承受吊杆拉力F1、F2和自重G作用，闸门受力为平面平行力系。

解：

取平面闸门作为研究对象，不考虑摩擦力，画受力图，如图2.66所示。

列平衡方程：

【例题1】如图2.67所示，液压式汽车起重机全部固定部分（包括汽车自重）总重为P1=60kN，旋转部分总重为P2=20kN，a=1.4m，b=0.4m，l1=1.85m，l2=1.4m。求：

图2.66 闸门受力分析

（1）当l=3m，起吊重为P=50kN时，支撑腿A、B所受地面的约束力。

（2）当l=5m时，为了保证起重机不致翻倒，问最大起重为多大?

图2.67 液压式汽车起重机示意图

解：

取整体分析，坐标及受力如图2.67（b）所示。

（1）求当l=3m，P=50kN时的FA、FB。

（2）求当l=5m时，保证起重机不翻倒的P。起重机处于不翻倒的临界状态时，FA=0。

由此得，Pmax=52.2kN。

【例题2】图2.68和图2.69（a）分别为一桥式起重机（通称吊车）的照片和示意图。大梁重W=180kN，小车重P=40kN，起重量Q=200kN，l=10m。求当a=2m时轨道A、B处的反力。假设小车是静止的，大梁所受的重力作用于大梁中点。

图2.68 水电站厂房桥式起重机

图2.69 桥式起重机示意图

解：

将轨道对于大梁的约束简化为铰支座及辊轴支座约束。作大梁的受力图如图2.69（b）所示。由于所有主动力都是铅直的，所以铰A处的反力也是铅直的。于是，W、P、Q、RA及RB组成一平衡的平行力系，由两个平衡方程可以求解RA、RB两个未知数。由

即

解得

再由

将各已知值代入，解得

也可利用∑MBi=0求解出RA作为校核条件。

习题

1.如图2.70所示，行动式起重机不计平衡锤的重为P=500kN，其重心在离右轨1.5m处。起重机的起重力为P1=250kN，突臂伸出离右轨10m。跑车本身重力略去不计，欲使跑车满载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重力P2以及平衡锤到左轨的最大距离x。

图2.70 行动式起重机示意图

2.如图2.71所示，汽车起重机在图示位置保持平衡。已知起重机质量Q=10kN，起重机自重W=70kN。求A、B两处地面的反力，起重机在这位置的最大起重重量为若干?

3.如图2.72所示，工人启闭闸门时，为了省力，常常用一根杆子插入手轮中，并在杆的一端O施力，以转动手轮。设手轮直径AB=0.6m，杆长l=1.2m，在O端用P=100N的力能将闸门开启，若不借用杆子而直接在手轮A、B处施加力偶（F，F′），问F至少应为多大才能开启闸门?

图2.71

图2.72 闸门手轮示意图

2.1.5 空间任意力学

【工程实例】 二滩水电站

二滩水电站（图2.73）处于雅砻江下游，坝址距雅砻江与金沙江的交汇口33km，距四川省攀枝花市区46km，是雅砻江水电基地梯级开发的第一个水电站。工程于1991年9月开工，1998年7月第一台机组发电，2000年完工，是我国在20世纪建成投产最大的水电站。

图2.73 二滩水电站

大坝为混凝土双曲拱坝，最大坝高为240m，坝顶弧长为775m，坝底部厚度为55.74m，坝顶中央有7个泄洪表孔，拱坝坝体中部有6个泄水中孔（图2.74）。总库容为58亿m3，装机总容量为330万kW，多年平均发电量为170亿kW·h，投资286亿元。工程以发电为主，兼有其他综合利用效益。

图2.74 二滩水电站泄水建筑物

【问题】拱坝坝肩受力分析。

分析：拱坝是固接于基岩的空间壳体结构，在平面上成凸向上游的拱形，横剖面呈竖直的或向上游凸出的曲线形［图2.75（a）、（b）］。拱坝主要通过水平拱把承受的荷载传向两岸，同时也通过竖直梁把荷载传到坝底基岩。

图2.75 拱坝示意图及拱坝坝肩受力分析

拱坝是空间壳体结构，在水平面上发挥拱的作用，在竖直面上发挥梁的作用，拱坝工作是两种作用共同的体现，所以不能被当做平面问题来处理。拱坝通过拱的作用把巨大的荷载传至两岸山体，所以拱坝坝肩岩体的稳定是保证拱坝安全的重要因素之一。拱坝坝肩岩体的整体稳定性分析一般采用刚体极限平衡法。坝肩岩体为一空间任意受力结构。

解：

取坝肩岩体作为研究对象，受力如图2.75（c）所示。

列平衡方程：

【例题1】某厂房支撑屋架和吊车梁的柱子（图2.76）下端固定，柱顶承受屋架传来的力P1，牛腿上承受吊车梁传来的铅直力P2及水平制动力T。如以柱脚中心为坐标原点O，铅直轴为z轴，x及y轴分别平行于柱脚的两边，则力P1及P2均在yz平面内，与z轴距离分别为e1=0.1m，e2=0.34m，制动力T平行于x轴。已知P1=120kN，P2=300kN,T=25kN，h=6m。柱所受重力Q可认为沿z轴作用，且Q=40kN。试求基础对柱作用的约束力及力偶矩。

图2.76 厂房立柱

解：

将基础对柱的约束力分解为沿3个坐标轴的分力X、Y及Z，约束力偶之矩则用mx、my、mz表示。写出6个平衡方程：

将各已知值代入，解得

图2.77 闸门尺寸及受力图

【例题2】某闸门的尺寸及受力情况如图2.77所示。已知门重G=150kN，总的水压力P=2700kN，推拉杆在水平面内并与闸门顶边成角α=45°。设在图示位置成平衡，试求推拉杆的拉力T及A、B两处的反力。

解：

取闸门平面为yz平面，将A、B两处反力用它们的分力表示如图2.77所示，写出平衡方程，求解未知量。

或不用∑Mx′i=0及∑My′i=0,而用∑Xi=0及∑Yi=0，亦可求出XB及YB。

习题

使水涡轮转动的力偶矩Mz=1200N·m。在锥齿轮B处受到的力分解为3个分力：圆周力Ft，轴向力Fa和径向力Fr。这些力的比例为Ft∶Fa ∶Fr=1∶0.32∶0.17。已知水涡轮连同轴和锥齿轮的总重为P=12kN，其作用线沿轴Cz，锥齿轮的平均半径OB=0.6m，其余尺寸如图2.78所示。试求止推轴承C和轴承A的反力。

2.1.6 二力杆

【问题】渡槽桁架拱受力分析。

分析：桁架拱式渡槽的桁架拱是墩台与槽身之间的支承结构，相当于拱式渡槽的主拱圈和拱上结构，其下的墩台与拱式渡槽基本相同［图2.79（a）］。

图2.78 水涡轮

桁架拱是用横向联系构件将数榀桁架拱片连接而成的整体结构。桁架拱片则是由上、下弦杆和腹杆拼接而成的平面拱形桁架。桁架拱式渡槽的槽身一般采用矩形断面，支承于桁架拱的节点上，故槽身荷载是桁架拱的节点荷载。

对于桁架拱式渡槽，简化计算做如下假定：将实际桁架视为理想桁架，即桁架的结点是光滑的铰接点，所有荷载均作用于铰接点上；所有各杆的轴线均为直线，并通过铰接点的中心；按理想桁架计算各杆的轴力，即进行主内力计算，不计算由于结点的刚性和杆件自重的匀布作用而产生的次内力(主要是弯矩，轴向力很小)。

解：

取拱式渡槽上的桁架为研究对象，根据其受力情况，画受力图［图2.79（b）］。

图2.79 桁架拱式渡槽及其受力分析

2.1.7 考虑摩擦时物体的平衡

【例题1】如图2.36所示的某混凝土重力坝，单位宽度坝体上作用有自重、水压力、扬压力等荷载，已知:P1=51207kN，P2=1625kN，U1=12621kN，U2=29109.5kN，W1=19603kN，W2=68129kN，Q=1138kN。若坝底与河床岩面间的静摩擦系数f=0.6，试校核此坝是否可能滑动。