第二节 竖曲线
纵断面上相邻两条纵坡线的交点为变坡点。为了行车安全、舒适、缓和因汽车动能变化而产生的冲击以及视距要求，必须在变坡点处设置纵向曲线，即为竖曲线。竖曲线的线形可采用圆曲线或抛物线，在使用范围内二者差别不大，但在设计和计算上圆曲线更为方
便，故在道路设计中竖曲线形式多采用圆曲线。
一、竖曲线要素计算
图33 竖曲线要素示意图
相邻两条纵坡线的交角用变坡角ω表示，变坡角一般较小，可近似地用相邻两直坡段坡度的代数差表示，即ω=i1-i2，式中i1和i2分别为两相邻坡段的坡度值，上坡为正，下坡为负，如图33所示。若ω为正，表示变坡点在曲线上方，竖曲线开口向下，称为凸形竖曲线；若ω为负，表示变坡点在曲线下方，竖曲线开口向上，称为凹形竖曲线。
采用圆曲线作为竖曲线，设竖曲线半径为R，可得竖曲线各要素计算公式：竖曲线长：
L=Rω=Ri1-i2
（3 3）
竖曲线切线长：
T=L2=R2ω
（3 4）
竖曲线的外距：
E=2T2R=R8ω2=L8ω=T4ω
（3 5）
竖曲线上任意点至相应切线的距离（竖距）：
y=
x2 2R
（3 6）
式中 L———竖曲线长度，m；
ω———相邻两纵坡线的变坡角；i1———一条纵坡线的纵坡度；i2———另一条纵坡线的纵坡度；
T———竖曲线切线长，m；E———竖曲线的外距，m；
y———竖曲线上任意点至相应切线的距离（竖距），m；
x———竖曲线上任意点至竖曲线起点（或终点）的距离（横距），m；
R———竖曲线的半径，m。
二、竖曲线最小半径与最小长度
在纵断面设计中，竖曲线的设计要受众多因素的限制，其中有三个限制因素决定着竖曲线的最小半径或最小长度。
（一）缓和冲击
汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力。这个力在凹形竖曲线上是增重，在凸形竖曲线上是减重。这种增重与减重达到某种程度时，旅客就有不舒适的感觉，同时对汽车的悬挂系统也有不利影响，所以确定竖曲线半径时，对离心加速度应加以控制。
（二）时间行程不宜过短
汽车从直坡道行驶到竖曲线上，尽管竖曲线半径较大，当坡角很小时，竖曲线长度也很短。其长度过短，汽车倏忽而过使驾驶员产生变坡很急的错觉，旅客也会感到不舒适，因此，汽车在竖曲线上的行程时间不宜过短，最短应满足3s的行程。
（三）满足视距要求
汽车行驶在竖曲线上，若为凸形竖曲线，如果半径太小，会阻挡驾驶员的视线。若为凹形竖曲线，也同样存在视距问题。对地形起伏较大地区的道路，在夜间行车时，若竖曲线半径过小，前灯照射距离近，影响行车速度和安全。高速公路及城市道路跨线桥、门式交通标志及广告宣传牌等，如果它们正好处在凹形竖曲线上方，也会影响驾驶员的视线。因此为了保证行车安全，对竖曲线的最小半径和最小长度应加以限制。
根据缓和冲击、行驶时间及视距要求三个限制因素，可以计算出各设计速度时的竖曲线的最小半径和最小长度。各级公路的竖曲线最小半径和最小长度见表310，城市道路竖曲线最小半径和最小长度见表311。
表3 10
公路竖曲线最小半径和最小长度
表3 11
城市道路竖曲线最小半径和最小长度
无论是凸形竖曲线还是凹形竖曲线都要受到上述缓和冲击、视距及行驶时间三种因素控制。竖曲线极限最小半径是缓和行车冲击和保证行车视距所必需的竖曲线半径的最小值，该值只有在地形受限制迫不得已时采用。设计标准规定的一般最小半径为极限最小半径的1.5～2.0倍，在条件许可时应尽量采用大于一般最小半径的竖曲线为宜。
另外，设计速度不小于60km/h的公路，为了使公路线形获得理想的视觉效果，竖曲线设计宜采用长的竖曲线和长直线坡段的组合，有条件时宜采用不小于表312所列视觉所需要的竖曲线最小半径。
表3 12
视觉所需要的竖曲线最小半径
竖曲线设计时，除了合理确定竖曲线半径和竖曲线长度外，还要确定竖曲线上指定桩号的路基（或路面）设计标高。其要点是首先根据变坡点处的地面线与相邻设计直线坡段情况，按上述竖曲线设计中的有关规定和要求，合理地选定竖曲线半径R。其次，根据变坡点相邻纵坡度i1、i2和已确定的半径R，计算出竖曲线的基本要素ω、L、T、E及竖曲线起、终点桩号。最后，分别计算出指定桩号的切线设计标高、指定桩号至竖曲线起点（或终点）间的横距x和指定桩号的竖距y。则指定桩号的路基（或路面）设计标高为：
凸形竖曲线设计标高=该桩号的切线设计标高-y凹形竖曲线设计标高=该桩号的切线设计标高+y
【例3 1】某山岭区二级公路，设计车速为60km/h，变坡点桩号K5+030.00，该点高程为427.68m，i1=+5%和i2=-4%，竖曲线半径R取2000m。试计算竖曲线诸要素以及桩号为K5+000.00和K5+100.00处的设计高程。
（1）计算竖曲线要素。
坡度差ω=i1-i2=0.05-（-0.04）=0.09，为凸形竖曲线。
曲线长
L=Rω=2000×0.09=180（m）
切线长
T=L2=1820=90（m）
外距
E=2T2R=2×9202000=2.03（m）
（2）竖曲线起、终点桩号及高程。竖曲线起点桩号：
（K5+030.00）-90=K4+940.00
竖曲线起点高程：
427.68-90×0.05=423.18（m）
竖曲线终点桩号：
（K5+030.00）+90=K5+120.00
竖曲线终点高程：
427.68-90×0.04=424.08（m）
（3）计算设计高程。
桩号为K5+000.00处：
横距：
x1=（K5+000.00）-（K4+940.00）=60（m）
竖距：
y1=2x21R=2×6202000=0.90（m）
切线高程：
423.18+60×0.05=426.18（m）
设计高程：
426.18-0.90=425.28（m）
桩号为K5+100.00处：
横距：
x2=（K5+100.00）-（K4+940.00）=160（m）
竖距：
y2=2x22R=2×16202000=6.40（m）
切线高程：
423.18+160×0.05=431.18（m）
设计高程：
431.18-6.40=424.78（m）
或者从终点起算；横距：
x2=（K5+120.00）-（K5+100.00）=20（m）
竖距：
y2=2x22R=2×2202000=0.10（m）
切线高程：
424.08+20×0.04=424.88（m）
设计高程：
424.88-0.10=424.78（m）