3.1 研究流体运动的两种方法_流体力学与流体机械-QQ阅读男生都市网

上QQ阅读APP看本书，新人免费读10天

设备和账号都新为新人

3.1 研究流体运动的两种方法

研究流体运动的方法有拉格朗日法和欧拉法两种。

3.1.1 拉格朗日法

拉格朗日法以流体质点为研究对象，追踪观测某一流体质点的运动轨迹，并探讨其运动要素随时间变化的规律。将所有流体质点的运动汇总起来，即可得到整个流体运动的规律。例如在t时刻，某一流体质点的位置可表示为

矢量式为

式中：a、b、c为初始时刻t₀时该流体质点的坐标。

拉格朗日法通常用t=t₀时刻流体质点的空间坐标（a，b，c）来标识和区分不同的流体质点。显然，不同的流体质点有不同的（a，b，c）值，故将（a，b，c，t）称为拉格朗日变量。

式（3.1a）对时间t求偏导数，即可得任意流体质点的速度

矢量式为

流体质点的加速度：

矢量式为

拉格朗日法与理论力学中研究质点系运动的方法相同，其物理概念明确，在理论上能直接得出各质点的运动轨迹及其运动参数在运动过程中的变化。但由于流体运动的复杂性，导致数学求解困难。此外，在大多数工程实际问题中，并不关心每个质点的详细运动过程，而关心的是各流动空间点上运动参数的变化及相互关系，例如，工程中的管道流动问题，一般只要求知道若干个控制断面（空间点）上的流速、流量及压强等物理量的变化，这种着眼于空间点的描述方法就是接下来要阐述的欧拉法。

3.1.2 欧拉法

欧拉法着眼于流场中的固定空间或空间上的固定点，研究空间每一点上流体的运动要素随时间的变化规律。被运动流体连续充满的空间称为流场。需要指出的是，所谓空间每一点上流体的运动要素是指占据这些位置的各个流体质点的运动要素。例如，空间本身不可能具有速度，欧拉法的速度指的是占据空间某个点的流体质点的速度。

在流场中任取固定空间，同一时刻，该空间各点流体的速度有可能不同，即速度u是空间坐标（x，y，z）的函数；而对某一固定的空间点，不同时刻被不同的流体质点占据，速度也有可能不同，即速度u又是时间t的函数。综合起来，速度是空间坐标和时间的函数，即

或

式中：（x，y，z，t）称为欧拉变量。

式（3.4）中，如（x，y，z）为常数，t为变数，可以得到在不同瞬时通过某一固定空间点的流体质点的速度变化情况；如t为常数，（x，y，z）为变数，可以得到同一瞬时通过不同空间点的流体质点速度的分布情况。

同理，压强、密度可以表示为

现用欧拉法描述流体质点的加速度。具体求法如下：t时刻，位于M₀（x，y，z）处的流体质点，其速度为u₀（x，y，z，t），经过Δt时段，质点位于M₁（x+Δx，y+Δy，z+Δz），其速度为u₁（x+Δx，y+Δy，z+Δz，t），如图3.1所示。

图3.1 加速度的推导

按照定义，流体质点的加速度等于质点速度随时间的变化率，即

由于流体质点的空间坐标（x，y，z）不能视为常数，是时间t的函数，有

x=x(t),y=y(t),z=z(t)

则速度可表示为

u=u［x(t),y(t),z(t),t］

按复合函数求导法则，得到

其分量形式：

引入哈密尔顿算符，加速度的矢量式为

由式（3.8）可见，欧拉法中质点加速度由两部分组成：第一部分表示空间某一固定点上流体质点的速度对时间的变化率，称为时变加速度或当地加速度，它是由流场的非恒定性引起的；第二部分（u·▽）u表示由于流体质点空间位置变化而引起的速度变化率，称为位变加速度或迁移加速度，它是由流场的不均匀性引起的。

图3.2 管路出流

例如，如图3.2所示的管路装置，点a、b分别位于等径管和渐缩管的轴心线上。若水箱有来水补充，水位H保持不变，则点a、b处质点的速度均不随时间变化，时变加速度，点a处质点的速度随流动保持不变，位变加速度=0，而点b处质点的速度随流动将增大，位变加速度，故点a处质点的加速度a_x=0，点b处质点的加速度；若水箱无来水补充，水位H逐渐下降，则点a、b处质点的速度均随时间减小，时变加速度，但仍有a点的位变加速度，b点的位变加速度，故点a处质点的加速度，点b处质点的加速度。