3.4 流体微团运动分析
3.4.1 亥姆霍兹速度分解定理
在恒定流动中，以欧拉法表示的流体质点速度的三个投影ux、uy、uz都是质点所在位置的坐标x、y、z的连续函数。设一空间点M0的坐标为x、y、z，它邻域内另一空间点M1的坐标为x+dx、y+dy、z+dz，M0处流体质点的速度投影ux是以这点坐标给出的函数值，位于M1处流体质点速度在x轴上投影
是M1点坐标按同一函数确定的另一函数值。由于ux是一多元函数，
的近似值可以按泰勒级数展开原则以ux及其导数表示：
根据需要，将上式整理成为
或
同样，M1处流体质点的速度矢量在y、z轴上投影
也可以导出类似的表达式，现将三个投影表达式写出如下：
式中：
称为线变形速度。
ε、ε、ε、ε、ε、ε 称为纯剪切变形速度，满足以下关系式：
ωx、ωy、ωz称为旋转角速度，满足以下关系式：
式（3.33）称为亥姆霍兹速度分解定理，可以解释为：M0点邻域内M1点处流体质点的速度可以分成3部分，即与M0点相同的平移速度、由于流体变形在M1点引起的速度和绕M0点旋转在M1点引起的速度。所以流场中，任意点的速度，一般可认为是由平移、变形（包括线变形和纯剪切变形）和旋转3部分组成。式（3.33）中的各个系数，在恒定流动中，应按M0处的坐标值予以计算。
3.4.2 速度分解的物理意义
下面分析式（3.33）中各项的物理意义。以xOy平面上流动为例，速度矢量在z轴投影uz=0，在恒定流动的欧拉表达式中，速度在x、y轴上投影ux、uy只是平面坐标x、y的函数。于是，式（3.33）中εzz=εyz=εzy=εxz=εzx=ωx=ωy=0，简化为
在xOy平面上取一各边与坐标轴平行的矩形流体微团，通过分析这一平面流体微团的运动从而认识式（3.36）中各项的物理意义。这里应说明，流体微团与流体质点是两个不同的概念。流体质点指可以忽略尺寸的流体最小单元，大量连续分布的流体质点构成了一流体微团，流体微团在随流运动中可以改变其空间位置和形状。
1.平移运动
图3.21（a）中，平面矩形流体微团四个顶点A、B、C、D所在点坐标为（x，y）、（x+dx，y）、（x+dx，y+dy）、（x，y+dy）。A点处流体质点速度在x、y轴投影分别为ux、uy，假设式（3.36）中εxx=εyy=εxy=εyx=ωz=0，则可改写为
图3.21 平面流体微团速度分解
这表明，矩形流体微团中任一流体质点与A点处流体质点运动速度完全相等，流体微团像刚体一样在自身平面作平移运动。
2.线变形运动
由于平面上B点与A点的x、y坐标差分别为dx和0，由泰勒级数展开，B点处流体质点速度x轴上的投影
可以用A点处的投影值ux及其导数表示：
。经过dt时间段，A处流体质点向右水平位移uxdt（假定ux＞0），B处流体质点水平右移
，两质点在水平方向距离由原来的dx改变成为dx+εxxdxdt，水平距离的改变量为εxxdxdt，那么，在单位时间单位距离上两流体质点水平距离的改变量显然为εxx，这就是εxx一项的物理意义。同样可以说明，εyy是铅垂方向上两流体质点在单位时间单位距离上距离的改变量。如果εxx和εyy都不等于0，原矩形ABCD的长边与短边都将随时间伸长或缩短，变成一新的矩形AB′C′D′，如图3.21 （b）所示。矩形边的这种伸缩变形叫流体线变形运动。刚体在运动中不存在这种线变形运动。
3.旋转运动
设A点处流体质点静止，即ux=uy=0，令εxx=εyy=0，即流体无线变形运动，再假定εxy=εyx=0，由式 （3.36），B点处流体质点
，即B点处流体质点向上运动；在类似假定下，可以得到D处流体质点
，质点D向左运动（假定ωz＞0）。或者说，AB和AD以相同的角速度ωz绕A点同向旋转，因而流体微团以这一角速度逆时针绕A点旋转。如图3.21 （c）所示。这种运动与刚体作绕轴旋转的方式一致。
4.纯剪切变形运动
设A点处流体质点静止，即ux=uy=0，同时假定εxx=εyy=ωz=0，即流体微团没有发生线变形，也未绕A点旋转。由式 （3.36）可得到B点流体质点的
，即质点B向上运动 （设εyx＞0），D点流体质点
，D点处流体质点向右运动 （因为εxy=εyx＞0），B、D两流体质点这种运动的结果，使原平面矩形微团ABCD变成一平行四边形A′B′C′D′，如图3.21 （d）所示。流体微团的这一运动称为纯剪切变形运动。这种变形运动也是流体特有的，刚体不可能出现这种运动。
上面分析了平面流体微团的变形形式，即微团除平面平移和旋转外，还可能发生线变形和纯剪切变形运动，这些运动实际是同时发生的。可以将上述平面分析推广到空间，式（3.33）中各项物理意义在分析中得到了说明。
空间点的旋转角速度矢量ω，在x、y、z坐标轴上的投影分别是ωx、ωy、ωz，如果一个流动区域内处处ω都是零矢量，即ωx=ωy=ωz=0，有下列关系式：
这一区域内的流动称为无旋或有势流，否则流动是有旋的。有旋流动与无旋流动是两类性质有较大差别的流动。值得注意的是，流动是有旋或无旋与流动的宏观流线或迹线是否弯曲无关。