4.1 理想流体的运动微分方程
4.1.1 理想流体的运动微分方程——欧拉运动微分方程
推导方法与前面第2章流体平衡微分方程类似。在静止流体中取一微元直角六面体，设M处速度为u（x，y，z，t）。分析作用在该六面体的表面力和质量力，依据牛顿第二定律，在x轴方向可得
化简上式，有
同理
矢量式为
式 （4.1）、式 （4.2）称为理想流体的运动微分方程式，又称为欧拉运动微分方程，是研究理想流体运动的基础，对于可压缩及不可压缩理想流体的恒定流或非恒定流均适用。方程中每一项都表示单位质量流体所受的力，f为单位质量流体所受的质量力，
为单位质量流体所受的压差力，
为单位质量流体所受的惯性力。理想流体的运动微分方程式共有八个物理量，对于不可压缩均质流体而言，密度ρ为常数，单位质量力fx、fy、fz通常是已知的，剩下p、ux、uy、uz四个未知量。式（4.1）只有三个方程式，需补充一个方程式，方程组才能求解。补充的方程为不可压缩流体的连续性微分方程式（3.25）。从理论上讲，对于任何一个不可压缩均质理想流体运动问题，联立这四个方程式同时又满足该问题的初始条件和边界条件，就可求得解。但是，实际上由于理想流体运动微分方程是非线性的偏微分方程，求解很困难，只有在某些特殊情况才有解析解。为便于区分流动是有旋流还是无旋流，以及对微分方程式进行积分，需对式（4.1）作相应的变换。
4.1.2 欧拉运动微分方程的葛罗米柯-兰姆形式（一）
将式（4.1）可以展开为如下形式：
矢量式为
将式 （4.3）的第一式的右边加减
并重新组合，有
同理，可以得到另外两式：
矢量式为
式（4.5）、式（4.6）称为葛罗米柯-兰姆运动微分方程，该方程可以显示流动是无旋的或有旋的。若流动无旋，则方程右边第三项为零；反之，则不为零。
4.1.3 欧拉运动微分方程的葛罗米柯-兰姆形式（二）
为了便于对欧拉运动微分方程进行积分，给出该方程的另一种形式。
假设：
（1）流动为恒定流动，有
（2）作用在流体上的质量力有势，即存在力势函数W，使得
（3）不可压缩均质流体，ρ=常数。将上述假设条件代入式（4.5），得到第二种形式的葛罗米柯-兰姆运动微分方程：
