1.2 地面点位的确定
1.2.1 地球的形状与大小
测量工作是在地球表面进行的，地球自然表面是凸凹不平、极不规则的曲面，有高山大川、江河湖海，其中位于我国西藏与尼泊尔王国边界的喜马拉雅山的主峰高达8844.43m，地球的最深点位于太平洋西部的马里亚纳海沟斐查兹海渊，位于海面以下
11034m，但这样大的高低变化相对于地球的平均半径6371km来说是微不足道的。代表整个地球形状和大小的数学体称作为地球形体。在地球表面采集、处理和利用地球空间信息，必然涉及地球形体的一些基准线、基准面和有关参数。
水准面：地球表面的每个水分子都受到重力作用，水面处于静止状态时位于水面的每个水分子的重力位相等，由这个处于静止状态的水面向陆地延伸所形成的闭合曲面称为水准面。同一水准面上处处重力位相等。水准面上任一点的铅垂线垂直于该水准面。在风浪、潮汐、海流等外力的作用下，水面的高低呈动态变化状态，因此不同时刻的水准面处于不同的高度，水准面可有无穷多个，而且互不相交。
大地水准面：在测绘工作中，设想一个处于静止状态（即无波浪、潮汐、海流和大气压等作用引起水面扰动）的平均海水面，向内陆地区延伸且包围整个地球的闭合水准面称为大地水准面。大地水准面也是等位面，过大地水准面任意一点的切面均与重力线正交。大地水准面具有唯一性。大地水准面所包围的形体为大地体。大地水准面是测量外业工作的基准面。
铅垂线：地球上任意一个质点，都同时受到两个力的作用，即地球自转的离心力和地心引力，它们的合力称为重力（图11），重力方向即为铅垂线方向，简称铅垂线。一根细线下端挂一重物（或垂球），当重物下垂并稳定时，细线的方向即为铅垂线方向。铅垂线是测量外业工作的基准线。
水平线：与铅垂线正交的直线称水平线。水平面：与铅垂线正交的平面称水平面。
图11 地球表面物体所受力
图12 大地水准面与旋转椭球面
地球椭球体：由于地球表面凸凹不平、地球内部物质分布不均匀，大地水准面各处的重力线方向随之产生不规则的变化，致使大地水准面成为一个有微小起伏且不规则的曲面。因此，大地水准面也是一个不规则的曲面。将地球表面地物、地貌投影到这个不规则的曲面上将非常困难。为了正确计算测绘成果，准确表示地面点的位置，必须采用非常接近于大地体而且可以用数学式表示的几何形体来表示实际的地球形体。在测量工作中，通常取一个与大地水准面相接近，并且可以用数学公式表达的规则椭球体来代替大地体（图12），将其表面作为测量内业计算、绘图的基准面。该椭球面也称为参考椭球面，为一椭圆绕其短半轴NS旋转而成，因此也称为旋转椭球面，该旋转椭圆对应的球体称为旋转椭球体。旋转椭球体是由长半径a，短半径b所决定，α=aa-b称为扁率。目前我国
“1980年大地坐标系”采用的参考椭球数据是1975年国际大地测量与地球物理联合会的推荐值，见表11。
表1 1
1980年大地坐标系采用的参考椭球参数
由表11可知参考椭球的扁率很小。因此当测量区域比较小，或者对测量工作精度要求不太高的时候，可以把地球椭球体看作为圆球体，其平均半径为：
R=a+a3+b=6371（km）
1.2.2 地面点位的表示方法
一个点的空间位置，是用它的平面坐标和高程来表示，是一个三维坐标。这三个量是该点沿投影方向投影到基准面（参考椭球）上的投影位置（平面位置，二维，通常用地理坐标表示）和从该点沿投影方向到基准面（大地水准面）的距离（高程，一维）。表示平面位置的坐标系统主要有地理坐标系统、WGS84坐标系统、直角坐标系统；表示高程的我国目前采用的是1985年国家高程系统。
1.2.2.1 地理坐标系统
地面点在地球表面的位置用经纬度来表示时，称为地理坐标。地理坐标按确定该位置所依据的基准线、基准面不同，又可分为天文坐标和大地坐标。
（1）天文坐标。以大地水准面为基准面，地面点沿铅垂线投影在该基准面上的位置，称为该点的天文坐标。该坐标用天文经度λ和天文纬度φ表示。如图13所示，用大地体代替地球，N为北极，S为南极，NS即为地球的自转轴，O为地球体中心。包含过地面点P的铅垂线和地球自转轴的平面称为P点的天文子午面。天文子午面与地球表面的交线称为天文子午线，也称经线。通过英国格林尼治天文台的子午面称为起始子午面（也称首子午面），相应的子午线称为起始子午线或零子午线，并作为经度计量的起点。过点P的天文子午面与起始子午面所夹的角度就称为P点的天文经度，用λ表示。从起始子
午面向东0°～180°称为东经，向西0°～180°称为西经。
通过地球体中心O且垂直于地轴的平面称为赤道面，是纬度计量的起始面。赤道面与地球表面的交线称为赤道，其他垂直于地轴的平面与地球表面的交线称为纬线。过点P的铅垂线与赤道面之间所夹的线面角就称为P点的天文纬度，用φ表示，其值为0°～90°，在赤道以北的叫北纬，以南的叫南纬。
天文坐标（λ，φ）通过天文测量的方法实测。
（2）大地坐标。以参考椭球面为基准面，地面点沿椭球面的法线投影在该基准面上的位置称为该点的大地坐标。该坐标用大地经度L和大地纬度B表示。如图14所示，包含过地面点P的法线且通过椭球旋转轴的平面称为P的大地子午面。过P点的大地子午面与起始大地子午面所夹的角度就称为P点的大地经度，用L表示，从起始子午面向东0°～180°称为东经，向西0°～180°称为西经。过点P的法线与椭球赤道面所夹的线面角就称为P点的大地纬度，用B表示，其值为北纬0°～90°和南纬0°～90°。
图13 天文坐标系
图14 大地坐标系
1.2.2.2 WGS84坐标系统
大地坐标系是以参考椭球体几何中心为原点的坐标，属于参心坐标系。为适应卫星大地测量的发展，需建立以地球质心为原点的空间直角坐标系，称地心坐标系。较常用的是适用于全球定位系统（GPS）的 WGS84坐标系，它是以地球质心为原点，以指向某一时期北极平均地位置为Z轴，以指向首子午线与赤道交点为X轴，Z轴、X轴垂直构成右手直角坐标系。
1.2.2.3 平面直角坐标系统
一般的建设工程都在小区域进行，为了确定点位的平面位置，通常采用平面直角坐标系统，该系统忽略地球曲率的影响、以水平面代替水准面。工程测量直角坐标系统如图
图15 平面直角坐标系统
15所示，其纵轴为X轴，与实地的南北方向一致，横轴为Y轴，与实地的西东方向一致。地面上任意一点A的平面位置，用xA、yA来表示。
平面直角测量坐标系与数学上常用直角坐标系的纵横轴互换，这主要是在测量工作中，以极坐标表示点位时，其方位角度值是以坐标纵轴（北方）为基准，按顺时针方向计算其方位角，而数学中则是以坐标横轴为准，逆时针计算的缘故，两轴互换后，有关坐标计算的三角函数公式可直接在测量中应用。为使用方便、工程项目小或者与国家控制网联测比较困难，有时候测量上使用假定平面坐标系，
其坐标系的原点和坐标纵轴的实际指向都是假定的，但假定原点的位置及坐标纵轴的实际方位应避免测区内各点的坐标出现负值。
1.2.2.4 高斯克吕格平面直角坐标系统
当测区范围比较大，则必须考虑地球曲率的影响，要采用适当的投影方法，将地球曲面展绘成平面。投影的方法很多，各自适用于不同的地区和行业，我国的国家基本地形图采用高斯分带投影的方法将地球表面展绘成平面图形。
高斯克吕格分带投影是将地球看成一个椭球体，自首子午线开始，自西向东按经差每6°划分为一带，将整个地球表面划分为60带，分别用1～60来表示其带号，如图16所示，然后对每个带进行投影。
如图17所示，设想用一个空心椭圆柱面横套在椭球体的外表面，椭圆柱体的轴心通过椭球体的中心，椭圆柱面的内表面与投影带的中央子午线相切。然后将6°带上的点、线按正形投影的方式，投影到椭圆柱面上，投影后将椭圆柱面沿通过南北两极点的母线切开、展平，就得到投影后的6°带平面图形，如图18所示。
图16 高斯6°分带
图17 高斯投影方法
图18 高斯投影变形
高斯投影具有以下几个特性：
（1）中央子午线投影后是一条直线，长度不变，其余的经线投影后是凹向中央子午线的对称曲线，距中央子午线越远变形越大。
（2）赤道线投影后是一条直线，且与中央子午线垂直，其余的纬线是凸向赤道线的对称曲线。
（3）经线、纬线投影后，仍旧保持原来相互垂直的几何关系，即投影前后无角度变形。高斯投影没有角度变形，但有长度和面积变形，距中央子午线越远变形越大。6°带投
影其边缘子午线长度变形可以满足1∶2.5万或更小比例尺地形图的测图精度要求，当测图比例尺大于1∶1万，其长度变形超过了允许值，相应采用3°分带进行投影。3°带是以6°带的中央子午线和边缘子午线作为3°带的中央子午线，将整个地球划分为120带，分别用1～120来表示其带号，其中3°带的第1带的中央子午线与6°带的第1带的中央子午线为同一条经线。6°带、3°带各带间的关系见图19。
图196°带、3°带各带间的关系
6°带、3°带各带的中央子午线的经度可按式（11）计算：
L60=6N-3 L30=3
㊣
╮K╯
（1 1）
式中 L60、L30———6°带、3°带中央子午线经度；
N、K———6°带、3°带的带号。
已知地表某点的经度L，计算其所属相应6°带、3°带的带号可按式（12）计算：
N=Int（L6）+1
K=Int（L-31.5°）㊣
╮
╯
+1
（1 2）
式中 Int———取整函数。
各带投影到平面上以后，以赤道位置为Y轴，规定向东为正；以中央子午线为X轴，规定向北为正，赤道、中央子午线相交的位置为坐标系的原点O，这样建立起来的坐标系统即为高斯平面直角坐标系[图1 10（a）]。
图110 高斯平面直角坐标系Y坐标自然值与通用值的比较
我国位于北半球，在任意一带范围内，所有点的纵坐标全部为正，而横坐标则不同。在中央子午线以东的横坐标为正，以西为负。这种以中央子午线为纵轴确定的坐标值称为自然值[图1 10（a）]。坐标值出现负值，给数据处理带来一定的不便，为避免横坐标出现负值，规定每带坐标纵轴向西平移500km，以保证6°带内任一点的Y坐标均为正值[图1 10（b）]，经过这种坐标纵轴平移处理后得到的点坐标称为通用值。
如图110中点B，假设其Y坐标自然值为YB=-258398.552m，坐标纵轴向西平移
500km后，Y坐标通用值为YB=-258398.552+500000=241601.448m。为了确定该点
属于哪一带，在点的Y坐标通用值前加上代号。假如B点位于6°分带的第22带内，则
YB=22241601.448m。1.2.2.5 地面点的高程
高程系是一维坐标系，其基准面是大地水准面。通常在海边设立验潮站，进行长期观测，求得海水面多年的平均高度位置作为高程零点，通过该点的水准面称为大地水准面，即高程基准面。地面点沿铅垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程，亦称为海拔。如图111中，地面点A和B的绝对高程分别为HA和HB。
我国境内测定点的高程值是以青岛验潮站多年观测的黄海平均海水面为基准面。由于
平均海水面不便于随时联测使用，故在青岛观象山建立了“中华人民共和国水准原点”，作为全国推算高程的依据，通过水准测量的方法以验潮站确定的高程零点为起算零点，测定水准原点的高程，然后再从水准原点通过水准测量的方法来测定其他高程点的高程。以1950～1956年测定的黄海平均海水面为基准建立的高程系，称为“1956年黄海高程系”，水准原点在该高程系里的高程为72.289m。随着观测数据的积累，20世纪80年代，我国又根据青岛验潮站1952～1979年的观测资料计算出新的平均海水面作为高程零点，并测得水准原点的高程为72.2604m，称为“1985年国家高程基准”。
在工程建设中，一般应采用绝对高程。如果工程项目在偏远地区而且规模小，引测高程困难，也可以建立假定高程系统，即假定一个水准面作为高程起算面，地面点到假定水准面的垂直距离称为相对高程或假定高程。如图111中，A、B两点的假定高程分别为
H′A和H′B。
图111 绝对高程与相对高程
图112 水平面代替水准面对
水平距离、高差的影响
1.2.3 水平面代替水准面的影响
一般的建设工程是在小区域内进行的，测量工作可以忽略地球曲率的影响，用水平面来代替水准面。但是用水平面来代替水准面总有一定
限度，而且这样的代替，对地球表面点间的水平距离、高差、水平角都有一定的影响，这就有必要分析用水平面来代替水准面对水平距离、高差、水平角影响的大小。
1.2.3.1 对水平距离的影响
如图112所示，设地面上两点A、B，沿各自铅垂线方向分别投影到大地水准面上得到A′、B′，如果用过A′点与大地水准面相切的水平面代替大地水准面，A、B两点在大地水准面上的投影点A′、B′的弧长为D，投影到代替水平面上的距离为D′，两者之差即为A、B两点用水平面代替大地水准面所引起的距离差，用ΔD表示，则：
ΔD=D′-D=Rtanθ-Rθ=R（tanθ-θ）
（1 3）
式中 R———地球曲率半径6371km；
θ———弧长D对应的圆心角，弧度。将tanθ用级数展开，得：
tanθ=θ+13θ3+125θ5+…
由于θ很小，取前两项：
ΔD=D′-D=R（θ+13θ3-θ）=13Rθ3
又θ=RD，得：
ΔD=3D3R2或ΔDD=3D2R2
（1 4）
取R=6371km，将不同D值代入式（14），计算结果见表12。
表1 2
水平面代替水准面对水平距离的影响
由表12可以看出，当距离为10km时，水平面代替水准面产生的距离相对误差为1/121万，精度高于精密距离测量精度的允许误差1/100万。因此可以认为在半径10km范围内，地球曲率对距离的影响可以忽略不计，可用水平面代替水准面。
1.2.3.2 对高程的影响
如图1 12所示，地面点B的绝对高程为HB，当用水平面代替水准面时，B点的高程为H′B，则其差值Δh即为用水平面代替水准面所产生的高程差，可得：
（R+Δh）2=R2+D′2
展开可得：
2RΔh+Δh2=D′2
即：
Δh=D′2
2R+Δh
≈
D2 2R
（1 5）
由式（15）可得不同距离情况下，用水平面代替水准面对高程的影响，见表13。
表1 3
水平面代替水准面对高程的影响
表13的计算结果标明，地球曲率对高程的影响很大。高程测量的精度要求很高，国家四等水准测量要求每千米水准路线的高差全中误差不得大于±10mm，因此在进行高程测量的时候，即使距离不大，也必须考虑地球曲率对高程的影响。
1.2.3.3 对角度的影响
由球面三角学知道，一个空间多边形在球面上投影的各内角之和，较其在平面上投影的各内角之和大一个球面角超ε的数值。其计算公式为：
ε=RP2ρ″
（1 6）
式中 ρ″———以秒为单位计的1弧度值，取206265″；
P———球面多边形的面积；
R———地球半径。
在测量工作中，实测的是球面多边形，但绘制成图时则绘成平面图形。用水平面代替水准面，在不同面积大小的球面多边形情况下，对角度的影响见表14。
表1 4
水平面代替水准面对角度的影响
由表14的计算结果可知，对面积在100km2以内的多边形，地球曲率对水平角的影响在一般工程测量中不必考虑。