第二节 沉速公式

一、球体沉速

为了便于理解，先从最简单的球体沉速讲起。单颗粒圆球在无限水体中等速下沉时，其沉降机理可看作对称绕流运动，其绕流阻力的一般表达式为：

式中，C_d为阻力系数，与沉降物体的形状、方位、表面粗糙度、水流紊动强度，特别是沙粒雷诺数有关。一般说来，C_d尚难以通过理论计算求得，多通过试验加以确定。图3-2所示为球体及圆盘的C_d～Re_d的关系曲线。

在Re_d＜0.5左右的滞性状态，C_d与Re_d呈直线关系。斯托克斯（G.G.Stokes）曾以粘滞性流体的一般性的运动方程式作基础，忽略因水流质点的加速度引起的惯性项条件下，从理论上导出了球体在滞流区内所受阻力的表达式：

将上式代入式（3-1），即可获得C_d与Re_d的关系式：

在等速下沉的条件下，阻力F应与球体在水中受到的有效重力W相等，后者的表达式为：

取W＝F，联解式（3-2）及式（3-4）或式（3-1）、（3-3）及式（3-4），便可得到滞流区的球体沉速公式，通称斯托克斯公式：

由图（3-2）可见，在Re_d＜0.5的范围内，式（3-3）与实际资料是十分吻合的，证明斯托克斯在滞流区的阻力表达式（3-2）和沉速公式（3-5）是正确的。

由于斯托克斯关于滞流区阻力表达式是在完全忽略惯性项的条件下导出的，因而仅适用于Re_d很小的情况。严格地说，仅在Re_d＜0.1时才完全适合。奥辛（C.W.Oseen）在一定程度上考虑了惯性项的作用，修正了斯托克斯的阻力表达式，所导出的阻力系数与沙粒雷诺的关系为：

以后又有人作了进一步修正。虽然他们的结果较斯托克斯公式适用的沙粒雷诺数稍大，但一般当Re_d＞2时，现有的理论公式和实际资料都不甚相符。

从图3-2还可看出，当Re_d＞1000，球体下沉处于紊动状态，即位于紊流区时，阻力系数C_d与沙粒雷诺Re_d无关，而接近一常数值0.45。将此值代入式（3-1），并使之与式（3-4）相等，便可求出球体在紊流区的沉速公式：

在0.5＜Re_d＜1000的过渡区范围内，由水流质点加速所引起的惯性力逐渐大于粘滞力作用，阻力系数和沙粒雷诺数呈曲线关系。C_d和沉速ω的关系式可在式（3-1）与式（3-4）相等的条件下求得：

由于C_d为ω及d的函数，所以从式（3-9）求ω时需进行试算。为了免除试算麻烦，可采用各种各样的办法。下面介绍希勒（L.Schiller）所采用的方法^[1]。

将式（3-8）乘以Re，改组为：

给定球体粒径d，重度γ_s及水温T之后，则C_dR即为定值，利用图3-2中C_d～Re_d关系曲线，绘制成C_dRe㊣～Re_d关系曲线（图3-3），即可由已经求出的C_dR值查得Re_d值。这样，即可求出球体的沉速ω。

另外，也可将式（3-8）各项除以Re_d，改组为：

同样，给定球体颗粒沉速ω、重度γ_s及水温T之后，C_d/Re_d即为定值，利用按类似方法制成的C_d/Re_d～Re_d关系曲线（图3-3），查得Re_d之后，即可求出球体的粒径d。

二、泥沙的沉速

以上关于球体沉降的理论和试验研究，阐明了滞流区和紊流区的阻力规律。这些规律对于泥沙来说，也应该同样适用。只是由于泥沙的形状不规则，阻力表达式中的系数应该有所不同。可以认为，滞流区的阻力与ρvdω成比例，紊流区的阻力与ρd²ω²成比例。已知阻力规律，对于泥沙来说，也和球体一样，要求得滞流区和紊流区的沉速公式是很容易的，关键问题在于推求两者之间的过渡区的阻力规律和沉速公式。

张瑞瑾在研究泥沙的静水沉降问题时^[2]，根据阻力叠加原则，认为在过渡区内下沉泥沙颗粒所受阻力F的表达式为：

此处K₂和K₃都系无量纲系数，与泥沙的形态有关。

上式如改写成一般阻力公式的表达方式，则应有：

此处，M＝8K₂/π，N＝8K₃/π。式（3-13）表明了过渡区阻力系数C_d与沙粒雷诺数Re_d的函数关系。

泥沙下沉时受到的有效重力W应为：

式中，K₁为泥沙体积系数。

当泥沙颗粒等速下沉时，取W＝F，应有：

K₁（γ_s-γ）d³＝K₂ρvdω＋K₃ρd²ω²

上式为泥沙颗粒等速下沉介于滞流区与紊流区之间的过渡区的动力平衡方程式。经过简单换算后，可得：

如令C₁＝，C₂＝，则得：

上式中的无量纲系数C₁及C₂只有凭实测资料确定。为此，曾就现有的实测资料进行了收集和分析工作，发现（图3-4）：

1）里查兹（R.H，Richards）在1907年发表的实测资料^[3]，在广度和精度方面都有可贵之处，然而存在两大缺点：①在试验过程中，没有温度记录，而温度是影响小颗粒泥沙沉速的重要因素之一；②沙样系从碎石机中新制出来的，可能棱角特别显著，与天然河流中的常见泥沙比较起来，会有一定的差别。

2）阿尔汉格里斯基（Б.А.Архангельский）在1935年发表的试验资料^4]精度是较高的，在试验过程中，特别注意了温度变化对小颗粒泥沙的沉速的影响。美中不足是，粒径的范围系0.005＜d＜1.0mm，缺乏d＞1.0mm的观测资料。

3）在粒径d＞1.0m m的范围内，津格日达^[5]、拉普辛（Г.H.Лапшин）^[6]、索德里的试验结果是相当接近的，弥补了阿尔汉格里斯基所留下的空白区域。

4）哈森—威廉及克莱等也提出了试验成果，但前者缺温度的记录，后者试验精度不高。

根据上面的分析，在确定式（3-15）中的系数C₁与C₂的时候，决定：小颗粒的实测资料以阿尔汉格里斯基的成果为准，大颗粒的实测资料以泽格日达、拉普辛、索德里等的成果为准，同时将其他各家的资料作参考。由此得到：C₁＝13.95，C₂＝1.09。因此：

值得着重指出的是，虽然式（3-16）系以过渡区的情况为出发点推导出来的，但是经过实测资料的验证，它可以同时满足滞流区、紊流区以及过渡区的要求。也就是说，式（3-16）是表达泥沙沉降速度的通用公式。这一情况之所以可能，是由于：①由滞性状态到紊动状态的过渡是逐渐完成的，不是突然完成的。这一点，读者从图3-4的实测资料可以清楚地看出。②在式（3-16）中，如果温度不变（因而v不变），当粒径增大时，属于滞性阻力的因素会逐渐减小，等到粒径d超过一定限度（临界值），则滞性因素将小到可以完全忽略不计，只有紊动阻力的因素起着决定作用。当粒径d减小时，情况便适得其反。如果温度为15℃，粒径d的前一个临界值可视为4mm，后一个临界值可视为0.1mm。

在滞流区（即Re_d＜0.5，或在常温下d＜0.1mm）力的平衡方程式简化为：

由此得：

在紊流区（即Re_d＞1000，或在常温下d＞4mm），力的平衡方程式简化为：

由式（3-17）及式（3-18）所得结果与式（3-16）所得结果是十分接近的。表3-1系根据式（3-16）～（3-18）制成。

式（3-16）与鲁比（W.W.Rubey）沉速公式的结构形式是完全一致的，但系数不同，在鲁比公式中，C₁＝6，C₂＝2/3。这一公式当用于细颗粒时，实际上就是斯托克斯的球体沉速公式，而用于粗颗粒时，即使是对天然沙，所得沉速也显著偏小。

关于泥沙的沉降速度，中外学者还提出了不少计算公式。例如：

1.冈恰洛夫（В.Н.Гончаров）公式^[7]

1）滞流区（d＜0.15mm）

2）紊流区（d＞1.5mm）

3）过渡区（0.15＜d＜1.5mm）：冈恰洛夫对比了滞流区沉速公式的结构形式，认为对过渡区来说，几个主要变量的方次，应介于滞流区和紊流区之间。故d的方次为1，（γ_s-γ）/γ的方次为2/3，v的方次由-1逐渐增至0，考虑到量纲法则，取过渡区沉速公式的结构形式为：

式中，β为无量纲系数，是表征粒径和温度变化改变粘滞性影响的一个附加因素。冈恰洛夫整理阿尔汉格里斯基试验资料，得到：

此处T为水温，以℃计；d₀为选定粒径0.15cm；计算时d与d₀的单位应一致。

式（3-19）及式（3-20）的计算结果与式（3-16）或式（3-17）、（3-18）的计算结果是相当接近的。只是由由于冈恰洛夫对过渡区作了截然划分而不是逐渐转化的处理，遂使式（3-21）与式（3-16）有较大的差别。

2.窦国仁公式

窦国仁在研究过渡区泥沙的沉降规律时^[8]，同样采取了滞性阻力和紊动阻力的叠加原则，得到了如下形式的阻力F的表达式：

等号右侧第一项为滞性力。它是采用奥辛的球体滞性阻力表达式3πρvdω（1＋㊣），并乘以4/3转换为泥沙的滞性阻力。表达式中的θ为绕流出现离解时的分离角，如图3-5所示。（1＋cosθ）为分离角范围以外的球冠的表面积与整个圆球的表面积的百分比。这就是说，在过渡区中，仅分离角范围以外的球冠的表面积承受滞性阻力。

等号右侧的第二项为紊动阻力。C_ω为阻力系数，对泥沙来说取为1.2。dsinθ为分离角范围内上冠的投影面积的直径。这就是说，在过渡区内紊流阻力仅作用在这一部分截面上，当θ＝0时，sinθ＝0，紊动阻力不复存在；当θ＞㊣时，投影面积不再增大，sinθ＝1。

分离角θ的大小，被认为与沙粒雷诺数有关，并存在如下形式的关系：

式中，γ为弧度。这个关系式是假定分离角的变率dθ/dRe_d成反比，即假定dθ/dRe_d＝A/Re_d（此处A为常数），并通过试验观察到的两个边界条件（即Re_d＝0.25时，θ＝0；Re_d＝350时；θ＝π）解这个微分方程式而得来的。

有了阻力F的表达式，取其与球体的水中重量W相等，就得到过渡区的沉速公式：

尽管天然泥沙，特别是较细颗粒的泥沙与球体相差甚远，分离角及与此相联系的几何关系，与实际情况出入甚大，但式（3-24）作为对过渡区阻力物理实质的探讨还是可取的。这个公式的主要问题是过于繁琐，并须经过试算，除非制成表格，否则难以在实践中应用。

3.沙玉清公式^[9]

沙玉清在研究过渡区球体沉降规律时，为了避免利用式（3-9）求解沉速ω时的试算麻烦，引进了两个新的判数，即沉速判数S_a和粒径判断φ。使S_a仅包含一个未知数ω，φ仅包含一个未知数d，且二者均为沙粒雷诺数Re_d的函数。这样，只要找出两个判数之间的函数关系，便可从d求出ω或从ω求出d，而无须进行试算。

为此，经过对球体沉降规律的分析，在双对数纸上绘出了S_a与φ的关系曲线，认为在过渡区曲线为一圆弧，从而建立了过渡区球体沉速的公式：

对于非球体（泥沙）沉降，则应考虑形状因素的影响，对球体沉速判数加以修正，乘以沉速比率K，即令

式中，S′_a为泥沙的沉速判数；S_a为球体的沉速判数。根据泥沙的实测资料，求出滞流区和过渡区的K值为0.75，紊流区的K值为0.65。将式（3-28）代入式（3-25），最后即可求得过渡区泥沙的沉速公式为：

沙玉清滞流区（d＜0.1mm）的沉速公式为：

紊流区（d＞2mm）的沉速公式为：

沙玉清公式基本上与冈恰洛夫公式属于同一类型，但对过渡区的处理比较合理。

我国原水利电力部规范推荐的泥沙粒径与沉速的关系式为：在滞流区（d＜0.1mm），直接采用斯托克斯公式；在紊流区（d＞1.5mm），采用冈恰洛夫紊流区公式；在过渡区（0.15＜d＜1.5mm），采用冈恰洛夫早期过渡区公式：

式中，T为水温，以℃计；d以mm计；ω以cm/s计。滞流区与过渡区之间空白部分（0.1mm＜d＜0.15mm）按直线内插。

根据水利部最近（1994年）发布的行业标准《河流泥沙颗粒分析规程》^[10]中的规定，当选用沉降分析法时，应按下列规定计算泥沙颗粒的沉降粒径：

1）当粒径等于或小于0.062mm时，采用斯托克斯公式（3-5）；

2）当粒径为0.062～2.0mm时，采用沙玉清的过渡区公式（3-25）。

泥沙沉速是泥沙的一个十分重要的特性。在许多情况下，它反映着泥沙在与水流交互作用时对机械运动的抗拒能力。组成河床的泥沙沉速越大，则沉淀的倾向越强。因此，在关于河道演变的分析工作中，与泥沙沉速无关的课题是很少的。

尽管泥沙沉速有这样重要意义，但是关于泥沙沉速的试验研究工作仍然进行得不够充分。计算沉速的公式虽然不少，但不是精度不高，就是结构繁琐。从实用观点来看，在现阶段，式（3-16）是可用的。它特有的优点是以一个统一方程式表达三种状态，在某些工作要求下（如模型设计选沙），比较方便。自然，随着实际观测资料的进一步丰富，公式的系数也可能要作一些调整。应该指出，滞流区与紊流区的沉速公式，现有各家的结构形式是完全一致的，只是系数上略有差异。这里存在的主要问题是，已有实测资料的取舍和更精确的实测资料的收集问题。至于过渡区，则不但在实测资料的取舍和收集方面存在同样问题，而且关于公式结构形式，既要有理论根据，符合实际资料，又要便于计算，有待进一步研究改进之处更多。