1.11　高维弦论的经典不稳定性

现在来看1.10节的问题：形如的经典时空的稳定性问题，其中是小尺度的紧致空间。尽管我的论证并不十分确定空间的性质，我还是用为紧致6维空间（即著名的卡丘流形，我将在1.13和1.14节细说）形式的弦论来说明，那么为10维时空。其中涉及一些超对称的元素（1.14节），但它们在我下面的经典讨论（可认为适用于系统的“体”部分）中不起任何作用，所以我现在擅自将超对称忽略不计，到1.14节再考虑它。实际上，我要的，基本上说只需要满足至少是2维的，这当然也是当下弦论的倾向，尽管我要的时空应满足一定的场方程。

我在前面提过（1.10节），根据弦论，确实应该存在某些场方程适于高维空间的度规。在一级近似下，我们可以考虑满足的方程组就是爱因斯坦真空方程10G = 0，10G是从的10维度规构造的爱因斯坦张量。这些方程是加给时空的，弦必须处于那个时空才能避免反常——即1.6节所指的那种令理论家们提高时空维度的反常。实际上，在10G = 0中的“10G”只是小量α'的幂级数展开的第一项。这个α'叫弦常数，是一个极小的面积参数，通常认为只是略大于普朗克长度（见1.5节）的平方：

α'≈10-68m2.

于是，我们有某种幂级数形式的的场方程（A10）:

0＝10G + α'H + α'2J + α'3K +…，

其中H，J，K等应从黎曼曲率及其各阶导数来构造。然而，由于α'非常小，高阶项在特定形式的弦论中通常都是忽略不计的（不过这种做法的有效性还存疑，因为没有关于级数收敛性和最终行为的信息，参见A10和A11节）。特别是，前面所说的卡丘空间（见1.13和1.14节）可以明确认为满足6维空间方程6G = 0，只要假定标准的爱因斯坦真空方程对也成立（对物质场的真空“基态”来说，这是合理的），这就引出对应的乘积空间的方程10G = 0。[7]根据上面的讨论，我们假定真空方程10G = 0确实适合空间。我们感兴趣的是，假如对“额外维”空间（即卡丘空间）进行小扰动，会发生什么呢？需要说明的是，关于我考虑的扰动的性质，有一点很重要。在弦论群体中，有很多关于扰动的讨论，它们通过改变模（将在1.16节出现）将一个卡丘空间变形成为另一个略微不同的空间，在特殊的拓扑类型下定义了特定形式的卡丘流形。我们在1.10节提过的零模式，就属于改变那种模的数值的扰动。在这一节，我不特别考虑这类变形，它们不会超出卡丘空间族。在传统弦论中，通常认为必须留在这个空间族里，因为这些空间在超对称性准则（限制6个额外空间维来构造这种流形）下才是稳定的。然而，这些“稳定性”考虑旨在说明卡丘空间是满足超对称准则的唯一的6维空间。通常的稳定性概念是说，偏离卡丘空间的小扰动还会回到那样的空间，却没考虑这样的可能：如此扰动也许会离开那个空间族，最终导致奇异空间，不存在光滑的度规。实际上，正是后一种向奇异空间的“逃亡演化”才是以下论证的显然结果。

为研究这一点，我们先明确一个基本情形，不受扰动，即，这里是狭义相对论的平直闵可夫斯基4维空间（1.7节）。因为平直，可以另表达为乘积空间

（见A4图A8，这等于是将坐标x，y，z，t分组，先是（x，y，z），然后是t）。3维欧几里得空间是普通空间（坐标x，y，z），1维欧几里得空间是普通时间（坐标t），后者不过是实直线的复本。有了这种形式的，整个（未扰动的）10维时空可以表达为（和是的因子空间）

这不过是将坐标重新分组，其中是7维时空

（的坐标是先时间t，然后是的坐标）。

我将考虑在t =0时将6维空间（如卡丘空间）变成新空间的一个小（但非无穷小）扰动，这里我们可将其看作沿确定的时间方向的传播（时间坐标t），这就得到一个演化的7维时空。眼下，我假定扰动只对，额外的3维欧氏空间保持不变。这与演化方程是完全一致的，但因为扰动肯定会随时间以某种方式改变的6维几何，我们并不指望会保持如的乘积形式。的精确的7维几何取决于爱因斯坦方程7G = 0。然而，整个时空在演化中还会保持乘积，因为只要满足7G = 0，则完全的爱因斯坦方程10G = 0依然为乘积空间所满足（因为平直空间当然满足3G = 0）。

6维空间为演化的初值曲面（图1.33）。这时，方程7G=0沿时间未来方向（由t＞0决定）传播扰动。在上还应满足一定的约束方程，要用严格的数学语言来确保这些约束方程在整个紧致空间的每一处都得到满足，多少还是一个微妙的问题。不过，我们为的如此初始扰动赋予的函数自由度还是

表达式中的“28”来自将n=7代入n（n-3），这是在一个初始（n-1）维曲面上的每一点的独立初始数据分量，对爱因斯坦张量为零的n维空间来说，“6”是初始6维曲面的维度［Wald1984］。这既包括了本身的内在扰动，也包括了嵌入的外在扰动。当然，这个经典的自由度远远超过了函数自由度，即我们对适用于寻常3维世界活动的物理理论所预期的自由度。

但问题远比这复杂，因为世界上所有这样的扰动都将导致的奇异演化（见图1.34）。大致说来，这意味着额外维肯定会皱起来，曲率变成无穷大，于是经典方程的演化变得不复可能了。这个结论来自20世纪60年代末证明的数学的奇点定理——特别是霍金和我在70年代前夕确立的奇点定理［Hawking and Penrose1970］。定理特别强调，几乎任意包含（n-1）维紧致类空曲面（这里即6维卡丘空间）但不包含闭合类时线圈的n维时空（n≥3），必然演化到一个时空奇点，只要时空的爱因斯坦张量nG满足一个叫强能量条件的（非负）能量条件（这里当然是满足的，因为在整个上7G = 0）。“几乎”与不包含“闭合类时线圈”的附带条件，在这里可以忽略，因为这些可能情形即使发生，也仅在自由度远低于的一般扰动的例外条件下。

还要做一点技术性说明。奇点定理并不是真的断言曲率一定发散到无穷大，而只是说，在一般情形下，演化不可能超出某个点。尽管原则上可能发生例外情形下的其他事情，依然可以预料，演化不能延续的一般原因还是曲率确实会发散［Clarke1993］。与此有关的是，这里假定的强能量条件，尽管为7G = 0自动满足，但当我们考虑前面所说α'的幂级数的高阶项行为时，它却并不是理所当然的。不过，时下多数弦论似乎都在忽略α'高阶项的水平上考虑其行为，直把作为卡丘空间。奇点定理告诉我们的是，只要额外维的扰动可以经典地处理——这是我们前面1.10节的考虑得出的明确结论，当然是合理的做法——我们就必须预想到，6个额外空间维会出现暴烈的不稳定性，皱起来趋向一个奇点态。而在奇点之前，却必须认真把α'的高阶项甚至量子效应考虑进来。依赖于这个扰动尺度，我们满可以料想时间会“皱”成“一刹那”，这里我们要记住，普朗克时间（光经过普朗克长度的时间，见1.5节）不过是10-43秒！不论额外维皱成什么，我们看见的物理也不一定非受它的破坏。弦论家们为我们宇宙孜孜以求的这幅10维时空图景，几乎是不会令人满意的。

这里还有一个问题需要指出，即以上考虑的扰动仅影响6个额外维，而宏观维（即3维欧氏空间）不变。实际上，在整个9维空间中，扰动的函数自由度远多于只影响的扰动，它们的自由度是。上面的论证似乎可以修正（不过方式很复杂），使同一个定理［Hawking and Penrose 1970］依然成立，得出同样的奇点结论，不过这时是针对整个时空［《通向实在之路》注31.46，932页］。除此以外，我们还清楚地知道，如果宏观4维空间的任何扰动相当于以上考虑的额外6维空间的扰动，对寻常物理来说一定是一个灾难，因为像空间那么小的曲率简直不可能在我们看得见的现象中感知。这确实引出一个棘手的问题，在任何情形下，现代弦论都对它无能为力：如此异乎寻常的曲率尺度如何与我们共存却互不相干呢？在2.11节我们会重提这个问题。