26.麦克斯韦滚摆

【题目】有一种玩具名叫“悠悠球”，它由线轴和活动的带子组成。当“悠悠球”落下后会再次返回。这并非什么新鲜事，很久以前，《荷马史诗》中的名人们就曾尝试过。

按照力学的角度，“悠悠球”只不过是麦克斯韦滚摆的变体（图12）。飞轮下落，带动着连接它的线，获得了一个比较大的旋转力。当飞轮到底时，连接线还会继续旋转，将飞轮再次带上去。飞轮上升时动能转化为重力势能，飞轮的速度慢慢放缓，之后为0，继续下落。由于连接线和飞轮的摩擦，导致一部分能量转化成了热能而消散，所以这个上升下落的过程持续几次后就会停止。

图12　麦克斯韦滚摆

图13　弹簧秤会如何显示

现在提出一个问题：

若将麦克斯韦滚摆的轴线挂在弹簧秤上，当小飞轮运动时，弹簧秤的示数怎样变化？

【题解】计算而得的结果让人惊讶：飞轮向下时，连接线并未全部承受飞轮重力，弹簧秤示数不会上升，仅仅是稍微有一点翘起。这一过程将持续到飞轮到达最高点。当然，在飞轮位于最低点时，那一瞬间弹簧秤示数减小，但之后便恢复。

飞轮向下为匀加速运动，其受到的加速度恒定（由于摩擦力的关系其加速度小于重力加速度）现在根据能量守恒定律推论一下。设飞轮质量m，重力加速度g，飞轮下落高度h。渐进运动速度v，旋转运动角速度ω，飞轮惯性力矩K。此时重力势能将转化为转动动能以及平动动能：

因转动动能是平动动能的几分之一，我们可将等式右边用qmv2表示。q由惯性力矩K决定，不会在飞轮的运动中改变。如此：

则：

自由落体的公式为：

和上边的式子对比，发现飞轮在每个点的速度恒等于自由落体的一部分：

由于，那么。飞轮匀加速向下，其加速度为a，即。由于q＞1，则a必然小于g。同理，飞轮向上的匀减速运动中的加速度同样为a，方向大小一致。

根据此加速度可以求得飞轮在上升、下落两个阶段所受的拉力。由于a＜g，那么此时，F即为连接线对飞轮的拉力。

由于飞轮向上向下是加速度都为a，则不论上升还是下降其受到的拉力均为F，弹簧秤示数不变。这个式子在飞轮上升到最高点时同样适用，只有在飞轮降到最低点时不适用。此时，连接线不仅支持着飞轮的重量，同样有飞轮轴的离心力。