49.天平和沙漏

【题目】如图42，在没有外力干预的情况下，将一个5min的沙漏摆放在精度很高的天平一端，对其进行称重。

现将沙漏倒置，那么5min内天平会出现何种变化？

【题解】可以这样认为：沙漏中，从上部分正在下落且没有接触沙漏底部的沙子不会对沙漏底面施加压力，所以说这五分钟之内天平的沙漏一边会变轻。然而真正的试验中出现的现象并非如此：天平的沙漏一边只会在刚开始的一瞬间向上晃动一下，之后很长一段时间都会保持平衡，直到5min的末尾那个瞬间，天平的沙漏一边会向下沉，天平再次平衡。

图42　天平上的沙漏

既然没有到达沙漏底的沙子并未施加压力给沙漏底，那么为何天平会保持平衡？

原因就是，因为除了第一时刻，之后有多少沙子离开沙漏颈，就有同样多的沙子落在了沙漏底。因为沙子总量并没有变，如果离开沙漏颈的沙子和落在沙漏底的沙子数量不同的话将产生矛盾。那么只有在空中的沙子才是失重的。

假设沙子落下的高度h，重力加速度g，根据可以得出沙子从沙漏颈落到沙漏底的时间。沙子在这个时间t内不会对沙漏底施加压力。这个时间段内，由于沙子离开了沙漏颈，则其会对沙漏有一个向上的力，即重量p。

求得此力冲量J1为：

同样的，有同样多的沙子落在了沙漏底，对沙漏产生了向下的力。在刚刚接触底部时其速度为，则此时此力动量J2为：

可见J1=J2。这也就是说，两个动量大小相同，所以天平依旧平衡。

高精度的天平只会在5min的开头和末尾出现不平衡。如果精度不高则观察不到此现象。

开始时，一部分沙子离开了沙漏颈，但并未落到沙漏底。此时天平的沙漏一边会上扬。同理，在5min快要结束时，不再有沙子离开沙漏颈，但是仍有沙子落在沙漏底。于是天平的沙漏一边下沉。之后，当所有的沙子都落到漏斗底时，天平会再次平衡。