2.6　阵列天线的统计模型

2.6.1　前提及假设

信号通过无线信道传输的情况是极其复杂的，其严格数字模型的建立需要有物理环境的完整描述，但这种做法往往很复杂。为了得到一个比较有用的参数化模型，必须简化有关波形传输的假设[3]。

关于接收天线阵的假设：接收阵列由位于空间已知坐标处的无源阵元按一定的形式排列而成。假设阵元的接收特性仅与其位置有关，而与其尺寸无关（认为其是一个点），并且阵元都是全向阵元，增益均相等，相互之间的互耦忽略不计。阵元在接收信号时将产生噪声，假设其为加性高斯白噪声，各阵元上的噪声相互统计独立，且噪声与信号是统计独立的。

关于空间源信号的假设：假设空间信号的传播介质是均匀且各向同性的，这时空间信号在介质中将按直线传播；同时又假设阵列处于空间信号辐射的远场中，所以空间源信号到达阵列时可被看成一束平行的平面波，空间源信号到达阵列各阵元在时间上的不同时延，可由阵列的几何结构和空间波的来向所决定。空间波的来向在三维空间中常用仰角θ和方位角φ来表征。

此外，在建立阵列信号模型时，还常常要区分空间源信号是窄带信号还是宽带信号。本书讨论的大多是窄带信号。所谓窄带信号是指相对于信号（复信号）的载频而言，信号包络的带宽很窄（包络是慢变的）。因此，在同一时刻该类信号对阵列各阵元的不同影响仅仅在于因其到达各阵元的波程不同而导致的相位差异。

2.6.2　阵列的基本概念

令信号的载波为，并以平面波形式在空间沿波数向量k的方向传播，设基准点处的信号为，则距离基准点r处的阵元接收的信号为

式中，k为波数向量；α=k/|k|为电波传播方向，单位向量；|k|=ω/c=2π/λ为波数（弧度/长度），其中c为光速，λ为电磁波的波长；(1/c)rTα为信号相对于基准点的延迟时间；rTk为电磁波传播到离基准点r处的阵元相对于电波传播到基准点的滞后相位。θ为波传播方向角，它是相对于x轴的逆时针旋转方向定义的，显然，波数向量可表示为

电波从点辐射源以球面波向外传播，只要离辐射源足够远，在接收的局部区域，球面波就可以近似为平面波。雷达和通信信号的传播一般都满足这一远场条件。

设在空间有M个阵元组成阵列，将阵元从1到M编号，并以阵元1（也可选择其他阵元）作为基准或参考点。设各阵元无方向性（全向），相对于基准点的位置向量分别为。若基准点处的接收信号为，则各阵元上的接收信号分别为

在通信里，信号的频带B比载波值ω小得多，所以s(t)的变化相对缓慢，延时，故有，即信号包络在各阵元上的差异可忽略，称为窄带信号。

此外，阵列信号总是变换到基带再进行处理，因而可将阵列信号用向量形式表示为

上式中的向量部分称为方向向量，因为当波长和阵列的几何结构确定时，该向量只与到达波的空间角向量θ有关。方向向量记作a(θ)，它与基准点的位置无关。例如，若选第一个阵元为基准点，则方向向量为

式中

实际使用的阵列结构要求方向向量a(θ)必须与空间角向量θ一一对应，不能出现模糊现象。当有多个（如K个）信源时，到达波的方向向量可分别用a(θ)表示。这K个方向向量组成的矩阵A=[a(θ1), a(θ2),…,a(θK)]称为阵列的方向矩阵或响应矩阵，它表示所有信源的方向。改变空间角θ，使方向向量a(θ)在M维空间内扫描，所形成的曲面称为阵列流形。

阵列流形常用符号A表示，即有

其中，Θ=[0,2π)是波达方向θ所有可能取值的集合。因此，阵列流形A即阵列方向向量（或阵列响应向量）的集合。阵列流形A包含了阵列几何结构、阵元模式、阵元间的耦合、频率等影响。

2.6.3　天线阵模型

设有一个天线阵列，它由M个具有任意方向性的阵元按任意排列构成。同时设有K个具有相同中心频率、波长为λ的空间窄带平面波（M>K）分别以来向角入射到该阵列，波达方向如图2-1所示。其中，。、分别是第i个入射信号的仰角、方位角，、，则阵列第m个阵元的输出可表示为

其中，为入射到阵列的第i个源信号，为第m个阵元的加性噪声，为来自方向的源信号投射到第m个阵元时相对于选定参考点的时延。并记为

另外，s(t)为K×1维列向量

A(Θ)为M×K矩阵的方向矩阵

矩阵A(Θ)中任一列向量a(Θi)是阵列在空间源信号中一个来向为Θi的方向向量，且是M×1维列向量

因此，如用矩阵描述，即使在最一般化的情况下，阵列信号模型可简炼地表示为

很显然，矩阵A(Θ)与阵列的形状、信号源的来向有关，而一般在实际应用中，天线阵的形状一旦固定就不会改变了。所以，矩阵A(Θ)中任何列总是和某个空间源信号的来向紧密联系的。

2.6.4　阵列的方向图

阵列输出的绝对值与来波方向之间的关系称为天线的方向图。方向图一般有两类：一类是阵列输出的直接相加（不考虑信号及其来向），即静态方向图；另一类是带指向的方向图（考虑信号指向），当然信号的指向是通过控制加权的相位来实现的。从前面的信号模型可知，对于某一确定的M元空间阵列，在忽略噪声的条件下，第l个阵元的复振幅为[4]

式中，g0为来波的复振幅，τl为第l个阵元与参考点之间的延迟。设第l个阵元的权值为ωl，那么所有阵元加权的输出相加，得到阵列的输出为

对上式取绝对值并归一化后可得到空间阵列的方向图G(θ)为

如果式中ωl=1，l=1,2,…,M，式（2-103）即静态方向图G(θ)。

下面考虑均匀线阵的方向图。假设均匀线阵的间距为d，且以最左边的阵元为参考点；另假设信号入射方位角为θ，其中方位角表示与线阵法线方向的夹角，与参考点的波程差为，则阵列的输出为

式中β=2πd sinθ/λ，λ为入射信号的波长。

当式（2-104）中ωl=1（l=1,2,…,M）时，式（2-104）可以进一步化简为

可得均匀线阵的静态方向图

当式（2-104）中，时，式（2-104）可简化为

于是可得指向为θd的阵列方向图

另外，其他阵列的方向图见参考文献[4]。

2.6.5　波束宽度

线阵的测向范围为[-90°, 90°]，而一般的面阵如圆阵的测向范围为[-180°, 180°]。为了说明波束宽度，下面只考虑线阵。由式（2-106）可知，M个阵元的均匀线阵的静态方向图

式中，空间频率

对于天线静态方向图主瓣的零点，由可得零点波束宽度为

由可得半功率点波束宽度，在Md≫λ的条件下有

在本书中一般考虑的是静态方向图的半功率点波束宽度，即对于均匀线阵而言，其波束宽度为

式中，D为天线的有效孔径，λ为信号的波长，rad表示弧度单位。对于M阵元的等距均匀线阵，阵元间距为λ/2，则天线的有效孔径为D=(M-1)λ/2，所以对于ULA阵，阵列的波束宽度的近似计算公式为

关于波束宽度，有以下几点需要注意。

（1）波束宽度与天线孔径成反比，在一般情况下，天线的半功率点波束宽度与天线孔径之间有如下关系：

（2）对于某些阵列（如线阵），天线的波束宽度与波束指向有关系，如波束指向为θd时，均匀线阵的波束宽度为

（3）波束宽度越窄，阵列的指向性越好，也就说明阵列分辨空间信号的能力越强。

2.6.6　分辨率

在阵列测向中，某方向上对信源的分辨率与在该方向附近阵列方向向量的变化率直接相关。在方向向量变化较快的方向附近，随信源角度变化，阵列快拍数据变化也较大，分辨率也较高。定义一个表征分辨率D(θ)：

D(θ)越大则表明在该方向上的分辨率越高。

对于均匀线阵

说明信号在0°方向分辨率最高，而在60°方向分辨率已降了一半，所以一般线阵的测向范围为-60°～60°。其他阵列的分辨率详见参考文献[4]。