1.2　溢出的鬼脚图

1.2.1　计算数量

“这次换我来出题。”我说。

鬼脚图的总数

5 条竖线的鬼脚图总共有几种？

“什么意思？”

“计算数量对数学爱好者来说是基本功。既然提到鬼脚图，自然要思考一下它的总数吧。”

“鬼脚图不是有无数种画法吗？因为不管加几条横线都行啊……”

“不不不，尤里。”我苦笑，“你说的没错，但计算横线画法不同结果却相同的鬼脚图没有意义。例如刚才提到的

这 3 种鬼脚图。虽然横线的画法不同，但我们要把它们看成一样的鬼脚图。因为不管哪张图，结果都是 5, 2, 3, 4, 1。我们可以把这 3 个鬼脚图命名为 [52341]。”

“这样啊。”

“如果下方结果的排列模式一样，就算成一种。毕竟鬼脚图的本质不是横线的画法，而是结果的排列模式。”

“我懂了！不愧是要考大学的人。”

“别挖苦我。”

我读高三，马上要考大学了。

暑假，应该是高三学生定胜负的关键时期 3。我一直都很喜欢数学，所以数学考试没什么问题，但这个暑假我得把重点放在其他科目上了。虽然为了准备考试，我不能学习自己喜欢的科目，但为了考上大学也只好如此——不，我仍然很难接受，我想继续钻研数学。

3日本新学期一般在每年 4 月开始，来年 3 月左右结束，而高考一般在每年 2 月左右。——编者注

期末考试结束后便是结业仪式，接着是暑假。为了保持学习的节奏，我计划参加面向应届考生的补习班假期课程。一天的课程结束后，我会在学校的图书室努力做练习题，用补习班的模拟测验卷来确认自己的实力。高三的假期要做的事非常多。

“计算鬼脚图的总数，也就是求出情况的数量，对吗？”尤里问。

“没错。”

“这样的话就很简单了，总数为 120 ！”

“回答正确！5 条竖线的鬼脚图一共有 120 种。了不起。那你可以说说这个数字是怎么算出来的吗？”

“可以呀。思考鬼脚图结果的排列方式就可以了。降到最左边的数有 1、2、3、4、5 这 5 种可能。这 5 种可能各自会有以下情况：排除降到最左边的那个数，降到左数第 2 个位置的数有 4 种可能，以此类推，最后降到最右边的数只有 1 种可能。只要把它们全部乘起来就可以了，也就是 5 的阶乘，答案是 5!。”

“没错，没想到你还会强调‘各自’呢。”

“嘿嘿，这不是你以前教我的嘛。‘情况的数量’，因为要注意顺序，所以是排列。”

“没错。”

1.2.2　尤里的疑问

“哥哥，等一下！”尤里栗色的头发闪着金色的光芒，“鬼脚图的总数真的是 120 吗？”

“对啊。5条竖线的鬼脚图，所有情况的总数是 5 的阶乘，120。”

“可是——”她说，“我们真的可以画出鬼脚图所有的排列模式吗？没有画不出来的模式吗？”

我略为一惊。

不愧是尤里。她很善于发现条件的欠缺之处和逻辑方面的漏洞。

“原来如此，尤里的疑问我懂了。确实是这样，必须好好思考一下所有模式是否都能画出来。鬼脚图有一个限制条件——只能在相邻的两条竖线之间画横线。加上这个限制条件后还能画出120种鬼脚图才算正确。”

“对对对，虽然我觉得所有的排列模式都能画出来，但还是要确认一下。是我表达得不够清楚。”

“要回答你的疑问其实并不难。”

“是吗？可是我完全不懂。”

“我知道，我们一起想想看吧。”

“嗯！”尤里戴上眼镜。

“孩子们！要喝凉的吗？”厨房传来妈妈的呼喊声。

“我要喝！”尤里迅速起身，拉着我的手说，“哥哥，我们一边喝果汁一边画吧！”