1.5.4 电阻等效变换法

支路电流法和节点电位法是电路分析的一般方法，适用于所有的电路分析，但是其计算过程有点复杂。针对特定的电路，还可以采用特定的分析方法，使电路分析过程变得更为简洁。比如，针对电路中电阻以串联或并联方式连接的电路或局部电路，可以采用电阻等效变换法。

电路中的电阻如果是以特定的方式连接，则可以将多个电阻等效变换为一个电阻，从而简化电路，方便计算。这里，特定的连接方式是指多个电阻以串联或并联的方式连接。下面分别介绍什么是电阻的串联，什么是电阻的并联，以及如何进行电阻的等效变换和等效变换所具有的性质。

1.电阻的串联及串联等效变换

如果电路中的多个电阻处于一个支路中，则称这多个电阻的连接方式为串联。由于一个支路中的电流处处相等，可见，处于串联连接的电阻，其上流过的电流是相等的。

以两个电阻的串联为例，电阻的串联及其等效变换如图1.33所示。其中图1.33a是电路中的一部分电路，其两端的电压为U，流过这条支路的电流为I，在这条支路上有两个电阻R₁和R₂。

图1.33所示电路中的两个电阻R₁和R₂，其连接方式是串联。可以采用等效变换的方法，将这两个电阻合并为一个等效电阻R，如图1.33b所示。这里的等效是指，变换前点a和点b间的电压和流过这条支路的电流，分别等于变换后等效电阻两端的电压和流过这条支路的电流，也即变换前后，a、b两端的电压不变，流过这条支路的电流也不变。对图1.33a电路的开口回路运用基尔霍夫电压定律可得

对图1.33b电路，运用欧姆定律可得

由于等效变换前后U和I不变，比较式（1.36）和式（1.37）可得

这就是两个电阻串联的等效变换法则，即合并后的等效电阻等于合并前各个电阻之和。

对图1.33a所示电路，由欧姆定律可得U₁＝IR₁，U₂＝IR₂，考虑到式（1.36），可知串联的各个电阻，其两端的电压与总电压的关系为

这即是串联电阻的分压公式。需要注意的是，U₁、U₂的参考方向与总电压U的参考方向要一致，如图1.33a所示，它们的“+”端都在上端。

对N（N＞2）个电阻的串联，同理可得其等效电阻R和分压公式分别为

注意，这里的U_i为对应电阻R_i两端的电压，而且U_i的参考方向与U的参考方向一致。

2.电阻的并联及并联等效变换

如果电路中的多个电阻都直接连接在电路中的两个节点之间，则称这多个电阻的连接方式为并联。由于两个节点间的电压不变，可见，处于并联连接的电阻，其两端的电压都是相等的。

以两个电阻的并联为例，电阻的并联及其等效变换如图1.34所示。其中图1.34a是电路中的一部分电路，其两端的电压为U，总电流为I，两条并联支路上的电流分别为I₁和I₂，这两条支路上的电阻分别为R₁和R₂。

图1.34所示电路中的两个电阻R₁和R₂，其连接方式是并联。可以采用等效变换的方法，将这两个电阻合并为一个等效电阻R，如图1.34b所示。这里的等效是指，变换前节点a、b间的电压和流过节点a或b的电流，分别等于变换后等效电阻两端的电压和流过等效电阻的电流，也即变换前后，a、b两端的电压不变，流过节点a或b的电流也不变。对图1.34a所示电路的节点c运用基尔霍夫电流定律可得

对图1.34b电路，运用欧姆定律可得

由于等效变换前后U和I不变，比较式（1.41）和式（1.42）可得

这就是两个电阻并联的等效变换法则，即合并后等效电阻的电导，等于合并前各电阻的电导之和。如果采用电导来表示，则式（1.43）可以表达成

对图1.34a所示电路，根据式（1.41），可知对并联的各个电阻，流过它们的电流与总电流的关系为

这即是并联电阻的分流公式。需要注意的是，并联支路电流I₁、I₂的参考方向与总电流I的参考方向要一致，如图1.34a所示，它们流向要一致。

对N（N＞2）个电阻的并联，同理可得其等效电阻R和分流公式分别为

注意，这里的电流I_i为对应电阻R_i所在支路的电流，而且I_i的参考方向与I的参考方向一致，即电流的流向一致。

3.电阻等效变换法在电路分析中的应用

串联和并联是电阻最基本的两种连接方式，串联和并联混合在一起，就称为混联电路。对于电阻的混联电路，可以用电阻等效变换法来求解。当然，除了串联和并联，电阻还有其他的连接方式，比如三角形联结，这时就不能采用电阻的等效变换法来求解，只能依据欧姆定律和基尔霍夫定律，采用基本的支路电流法或节点电位法来求解。

下面用一个例题来展示电阻等效变换法在电路分析中的具体应用。

【例题1.11】在图1.35所示电路中，求电阻R₆两端的电压U。

解答：分析该电路可知，电阻全部以串联或并联的方式连接，是电阻的混联电路，采用电阻等效变换法进行电路分析。

电路中，点c和点d之间的等效电阻R_cd＝R₄||（R₅+R₆）＝2Ω；点a和点b之间的等效电阻R_ab＝R₂||（R₃+R_cd）＝3Ω。

于是，根据分压公式可知，点a和点b之间的电压U_ab＝E＝24V；点c和点d之间的电压U_cd＝U_ab＝12V；再次运用分压公式可得电阻R₆两端的电压U＝U_cd＝4V。