3.1 时域分析的基础

为了获得控制系统输出量的时域表达式，必须确定系统的闭环传递函数以及系统的输入信号。然而，系统的输入信号具有不确定性，因此需要选取几个基本形式的输入信号，以便进行分析和设计。这些基本形式的信号称为典型输入信号。典型输入信号是将控制系统常见的输入信号理想化后的输入函数。在控制系统中，典型的输入信号有阶跃函数、斜坡（亦称速度）函数、单位脉冲函数、加速度（亦称抛物线）函数和正弦函数。

3.1.1 典型输入信号

1. 阶跃函数

阶跃函数如图3-1a所示，其时域表达式r（t）和复数域表达式R（s）分别为

式中，A为常系数。当A=1时则称为单位阶跃函数1（t）。

2. 斜坡函数

斜坡函数如图3-1b所示，其时域表达式r（t）和复数域表达式R（s）分别为

式中，A为常系数。当A=1时称为单位斜坡函数。

3. 单位脉冲函数

单位脉冲函数如图3-1c所示，其时域表达式r（t）和复数域表达式R（s）分别为

在实际应用中，单位脉冲函数是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。

4. 加速度函数

加速度函数如图3-1d所示，其时域表达式r（t）和复数域表达式R（s）分别为

式中，A为常系数。

5. 正弦函数

正弦函数如图3-1e所示，其时域表达式r（t）和复数域表达式R（s）分别为

式中，A为常系数。

在分析控制系统时，究竟选用何种信号作为系统的输入信号，应视所研究系统的实际而定。若系统的输入信号是一个突变的量，则以阶跃信号为宜；若系统的输入信号是随时间线性增长的函数，则应选斜坡信号；若系统的输入信号是一个瞬时冲击的函数，则以脉冲信号最为合适。同一系统中，不同形式的输入信号所对应的输出时间响应是不同的，但对于线性控制系统来说，它们所表征的系统性能是一致的。通常以单位阶跃函数作为典型输入信号，从而可在统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。

为了评价线性系统时间响应的性能指标，需要研究控制系统在典型输入信号作用下的时间响应过程。

3.1.2 典型时间响应

初始状态为零的系统，在典型信号作用下的输出，称为时间响应。任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。动态过程又称为过渡过程和暂态过程，是指系统在典型输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到最终状态的响应过程。在不同的系统结构和参数条件下，动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡。控制系统必须是稳定的，因此动态过程必须是衰减的。动态过程所提供的系统信息，称为系统的动态性能。稳态过程是指系统在典型输入信号作用下，当t→∞时，系统输出量的表现方式。稳态过程所提供的系统信息，称为系统的稳态性能。

下面介绍三类典型输入信号所对应的系统输出时间响应。

1. 单位阶跃响应

系统在单位阶跃输入信号作用下的时间响应即为单位阶跃响应，用c（t）表示。已知系统的传递函数为Φ（s），系统单位阶跃响应c（t）的拉普拉斯变换为

有

2. 单位斜坡响应

系统在单位斜坡输入作用下的时间响应即为单位斜坡响应，用c_t（t）表示。已知系统的传递函数为Φ（s），系统单位斜坡响应c_t（t）的拉普拉斯变换为

有

3. 单位脉冲响应

系统在单位脉冲输入作用下的时间响应即为单位脉冲响应，用k（t）表示。已知系统的传递函数为Φ（s），系统单位脉冲响应k（t）的拉普拉斯变换为

有

综上所述，上述三类响应所对应的拉普拉斯变换之间的关系为

三类响应相应的时域表达式之间的关系为

由此可知，只要求得其中任意一类典型输入所对应的系统输出响应，即可通过式（3-19）求得其他典型输入所对应的系统输出响应，从而简化计算。

3.1.3 时间响应的性能指标

系统的性能指标包括动态性能和稳态性能。其中，动态性能通常在阶跃函数作用下进行测定或计算，稳态性能通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。下面介绍几类重要的性能指标。

控制系统典型的单位阶跃响应曲线c（t）如图3-2所示，其主要的动态性能指标如下。

1）延迟时间t_d：指响应第一次达到终值c（∞）的一半所需的时间。

2）上升时间t_r：一般是指响应从终值c（∞）的10%上升到90%所需的时间。而对于有振荡的系统，上升时间是指响应从零第一次上升到终值c（∞）所需的时间。

3）峰值时间t_p：指响应超过终值c（∞）到达第一个峰值所需的时间。

4）调节时间t_s：指响应达到并保持在终值c（∞）的±5%（或者±2%）内所需的最小时间。

5）超调量σ%：指响应的最大输出量c（t_p）超出终值c（∞）的百分比，即

6）振荡次数N：该指标仅适用于系统的响应曲线呈现衰减振荡的情况。振荡次数指在调节时间t_s内，系统的输出响应曲线c（t）在系统终值c（∞）附近上下波动的次数。

7）衰减比n：该指标仅适用于系统的响应曲线呈现衰减振荡的情况。此时，两个相邻同方向幅值的比值称为衰减比，其计算公式为

式中，B表示系统响应曲线的前一个振荡幅值；B′表示系统响应曲线的后一个振荡幅值。

衰减比n是衡量系统稳定性的指标。若衰减比n＜1，则系统的响应曲线呈发散振荡，系统为不稳定的；若衰减比n=1，则系统的响应曲线呈等幅振荡，系统为临界稳定的；若衰减比n＞1，则系统的响应曲线呈衰减振荡，系统为稳定的。通常在工程实用中，衰减比n=4～10为宜。

8）稳态误差e_ss：指时间t→∞时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即

前7个性能指标用于描述系统的动态过程，常称为动态或暂态性能指标。在实际应用中，t_r和t_p评价系统的初始响应速度；σ%评价系统的阻尼程度，σ%和振荡次数N均可反映系的平稳性，两者越小则系统平稳性能越好；t_s是同时评价响应速度和阻尼程度的综合指标；衰减比n是反映系统稳定性的指标；e_ss是描述系统稳态特性即准确性的指标。需要提醒的是，σ%、t_s及e_ss仅适用于阶跃响应，对于非阶跃输入，只有稳态误差e_ss而没有σ%和t_s。