任务1.2 认识数据的逻辑运算

数制是指用一组固定的符号和一套统一的规则来表示数值的方法。其中，按照进位方式计数的数制称为进位计数制。

（1）十进制数

日常生活中常用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数码组成的数码串来表示数字，逢十进一。10就是基数，推而广之，设R表示基数，则称之为R进制，使用R个基本的数码，其加法规则为“逢R进一”。在R进制中，数码所表示数的大小不仅与基数有关，而且与其所在的位置有关，Ri就是位权。对于任意一个具有n位整数和m位小数的R进制数N，按位权展开式可表示为

（N）_R=a_n-1Rn-1+a_n-2Rn-2+…+a₁R1+a₀R0+a_-1R-1+…+a_-mR-m

式中，a_i表示数位上的数码，其取值范围为0～（R-1），R为基数，i为数位的编号。

【例1-1】 按位权展开十进制数521.34。

521.34=5×102+2×101+1×100+3×10-1+4×10-2

（2）二进制数

将基数R的值取2，就是二进制。二进制只有0和1两个数码，所以只需要两种稳定状态，如高或低、有或无来表示二进制。而十进制则要有10种稳定状态物理现象，相比二进制就比较困难。

二进制运算规则简单，加法规则为“逢二进一”，即

0+0=0，1+0=1，0+1=1，1+1=10

乘法规则为：有0出0，全1出1，即

0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1

采用二进制的符号“1”和“0”来表示一个数的时候，其位数要比用十进制长得多，书写和阅读都非常不方便，也不便理解，所以又采用了十六进制来弥补二进制的不足。

（3）十六进制数

十六进制的基数是16，采用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F共16个数码，加法规则是“逢十六进一”。通常进制之间的对应关系见表1-1。

各种进制的表示通常有两种方法。一种方法是采用括号括起来，在括号下角写上基数用来表示相应的数值。例如：（520）₁₀表示十进制数，（520）₁₆表示十六进制。另一种方法是在数的后面加不同的字母来表示不同的进制，其中D表示十进制，B表示二进制，Q表示八进制，H表示十六进制。如100101B表示二进制数，100101H则表示十六进制数。

（4）进制之间的转换

非十进制数转成十进制数的方法为，把非十进制数按位以对应的权值展开，然后累加求和。

【例1-2】 将二进制数1011.011转成十进制数。

1011.011B=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3=11.375D

【例1-3】 将十六进制数D52A转成十进制数。

D52AH=13×163+5×162+2×161+10×160=54570D

当然在数据恢复的实践中，一般不需要手工计算，可以直接调用计算机系统里自带的计算器（calc.exe），如图1-4所示，选择菜单“查看”→“程序员模式”命令，在相应的进制里输入一个数，再单击想要切换的进制即可。

二进制的算术运算与十进制数的运算相似，也有加、减、乘、除四则运算，相对于十进制数的运算，二进制的运算要简单得多，在存储器内部基本上是加法运算，其他的运算一般是采用加法和移位实现，逻辑运算包括“与”“或”“非”“异或”等操作。

数据恢复中，一般文件中毒的破坏就是将数据进行有关运算，只有了解相关的运算后才能对该类型的问题进行相应的处理。

1.2.1 逻辑或

“或”运算又称为逻辑或，用符号“∨”表示，运算口诀为：有1出1，全0出0。当几个数值相或时，只要有一个是1，其他不管是多少，结果都为1，只有当几个数值全为0时，结果才是0。

假设数值1为A，数值2为B，输出为Y，则逻辑表达式为

Y=A∨B

逻辑或真值表如表1-2所示。

1.2.2 逻辑与

“与”运算又称为逻辑与，用符号“∧”表示，该运算口诀为：有0出0，全1出1。当几个数值相与时，只要有一个是0，其他的不管是多少，结果都是为0，只有当几个数值全为1时，结果才是1。逻辑与的表达式为

Y=A∧B

逻辑与真值表如表1-3所示。

1.2.3 逻辑非

“逻辑非”指本来值的反值，用符号“！”表示，该运算输出相应的反值，即！1=0，！0=1，逻辑非真值表如表1-4所示。

1.2.4 逻辑异或

异或（exclusive OR，XOR），数学符号为“⊕”，计算机符号为“XOR”。其运算法则为Y=A⊕B=（！A∧B）∨（A∧！B）

参与异或运算的两个数，如果两个相应二进制位数值相同，则结果为0，否则为1。通俗地讲，异或就是相同的出0，不同的出1，其真值表如表1-5所示。