2.1　机器人设计要求

在机器人设计中，设计要求是对机器人性能量化的基本保证，对机器人的设计过程起指导性作用。为了实现机器人的相关功能，需要满足一定的设计要求，如机器人运动规划、机器人定位、机器人导航及机器人受力与驱动等。

2.1.1　机器人运动规划

从理论观点看，运动规划是机器人设计的基本要求。运动规划的目的是为工业机器人找到一条从给定的初始位姿到目标位姿的运动路径。对此，机器人在作业前需要进行运动规划，通过运动要求以规划出机器人最佳的运动路径。若机器人运动不同，意味着机器人所受物理约束不同，则对应运动或路径规划的算法也不同^[1，2]。对机器人进行运动规划能够有效地避免机器人运行的奇点问题，并且降低计算复杂性。

由于机器人具有的多功能特性及多自由度结构的复杂性，经常需要在运动受到约束的场景中找到最优解，机器人运动自由度越大，路径规划算法的设计越灵活。

（1）机器人运动轨迹

工业机器人的运动轨迹，根据其运动特点可以分为点到点（point-to-point）运动和轨迹跟踪（trajectory tracking）运动。点到点运动只关心特定的位置点，而轨迹跟踪运动则关心整个运动轨迹或运动路径。

1）点到点运动　由于点到点运动只关心起始和目标位置点，对运动路径没有限制，所以在笛卡儿坐标系中，点到点运动具有多条可能的轨迹。图2-1为点到点运动的可能运动轨迹示意图，从图2-1可以看出，A点到B点可能的运动轨迹没有限制。

点到点运动是指根据目标点的机器人位姿，利用逆向运动学求取机器人各个关节的目标位置，通过控制各个关节的运动使机器人的末端到达目标位姿。在笛卡儿空间，由于对机器人末端的运动轨迹没有限制，所以机器人各个关节的运动不需要联动，各个关节可以具有不同的运动时间。

点到点运动不需要在笛卡儿空间对机器人的末端运动轨迹进行规划，它只需要在关节空间（joint space）对每个关节分别进行运动规划，以保证机器人运动平稳。这里，关节空间通常是指由机器人各关节转动形成的角度空间，机器人每个关节构形对应其角度空间中的一组角度坐标。

点到点运动的应用技术较简单，如现有技术的机械臂。当机械臂采用点到点运动的控制方法时，可采用较小的速度启动和停止来抑制振动，但是会导致运动效率低。

2）轨迹跟踪运动　轨迹跟踪运动是指机器人的末端以特定的姿态沿给定的路径运动。

为了保证机器人的末端处在给定的路径上，需要计算出路径上各点的位置，以及在各个位置点上机器人所需要达到的姿态。计算路径上各点处的机器人位置与姿态的过程，称为机器人笛卡儿空间的路径规划。根据规划出的各个路径点处的机器人位置与姿态，利用逆向运动学求取机器人各个关节的目标位姿，通过控制各个关节的运动，使机器人的末端到达各个路径点处的期望位姿。

轨迹跟踪运动以点到点运动为基础，而点到点运动的中间路径是不确定的，因此，轨迹跟踪运动只是在给定的路径点上能够保证机器人末端到达期望位姿，而在各个路径点中间不能保证机器人末端到达期望位姿。

对于机器人末端，在笛卡儿空间的期望轨迹和规划出的路径点的可能运动轨迹不同，在两个路径点之间机器人的末端轨迹具有多种可能，与期望轨迹相比存在偏差。为了使机器人末端尽可能地接近期望轨迹，在进行机器人笛卡儿空间的路径规划时，两个路径点之间的距离应尽可能小。此外，为了消除两个路径点之间机器人末端位姿的不确定性，通常对各个关节按照联动控制进行关节空间的运动规划。具体而言，就是在进行关节空间的运动规划时，要使各个关节具有相同的运动时间。

可见，轨迹跟踪运动需要在笛卡儿空间对机器人的末端位姿进行运动规划，同时还需要在机器人的关节空间进行运动规划。对于系统的空间目标轨迹，若采用平面轨迹跟踪的方法很难实现其良好的轨迹跟踪运动性能，特别是对于空间目标轨迹变化大、外界干扰严重的控制系统更是难以提高其跟踪性能。

由于轨迹跟踪使机器人的实际轨迹快速且稳定地跟踪期望轨迹，因此问题的解决即是要设计出合理的控制器，以满足机器人的性能要求，通过控制器作用使机器人跟踪一条期望轨迹，并稳定地沿着期望轨迹运行。但在实际应用中，由于机器人自身的结构和系统以及外部的不确定因素，要达到理想的轨迹跟踪效果，就显得困难重重。

轨迹跟踪是机器人运动控制中一个重要且实际的问题，根据控制目标的不同，机器人的运动控制方式不同。例如，在移动机器人运动控制的研究中，通常假设机器人在运动过程中轮子纯滚动而无滑动^[3]，但在现实环境中，路面结冰、道路湿滑和快速转弯等都会使移动机器人产生打滑，使得移动机器人的实际运行轨迹与期望轨迹间存在一定误差，移动机器人很难实现有效、精确的跟踪。文献[4]将移动机器人运动学模型离散化，设计了离散时间的滑模控制器来解决打滑状态下移动机器人的轨迹跟踪问题。上述研究均使用外部传感器（GPS或视觉传感器）实时检测机器人的状态，但是通过外部传感器获得机器人参数的方法实现起来较困难。

轨迹跟踪问题作为机器人运动控制的重要研究问题，受到研究者的广泛关注。

（2）机器人关节空间轨迹规划

机器人轨迹规划（也称机器人运动规划）被很多学者关注，基本形成了两种形式的轨迹规划方法：笛卡儿空间轨迹规划和关节空间轨迹规划。

机器人关节空间运动规划一般是指控制机器人的关节空间运动量，使关节运动轨迹平滑及关节运动平稳，关节空间运动规划简称关节运动规划。关节运动规划的内容，主要包括关节运动轨迹的选择和关节运动位置的插值。关节运动轨迹如图2-2所示。

图2-2中，某关节在t₀时刻的关节位置为q₀，希望在t_f时刻的关节位置为q_f。可见，关节运动的轨迹曲线可以有很多条，如图2-2中的轨迹1、2、3，如果机器人按照轨迹1或轨迹2运动，则机器人运动过程中会有波动，这是不希望发生的；如果机器人按照轨迹3运动，则机器人能够平稳地由初始位置运动到目标位置。因此，通常选择类似轨迹3的轨迹，经过插值后控制机器人的运动。这里的插值指关节运动位置的插值，是指对于给定关节空间的起始位置和目标位置，通过插值计算中间时刻的关节位置。常用的主要插值方法有三次多项式插值、高阶多项式插值、用抛物线过渡的线性插值及B样条插值^[5-8]等。

轨迹规划旨在满足给定机器人的动力学方程、各关节驱动力、速度、加速度和加速度变化率的约束条件下，计算机器人姿态、各关节速度、加速度和加速度变化率等相关参数，并使所规定的代价函数通常为表征时间或能量等条件的函数最小化。因此，在关节空间中对机器人末端位姿进行描述时，也需要准确的连杆参数与关节转角。对于不同类型的机器人，相同的关节构形对应的末端执行器位姿完全不同，即使是同一型号的不同机器人本体之间，相同的关节构形所对应的末端执行器位姿也存在差异。随着研究的不断深入与应用的不断扩展，轨迹规划的性能需要进一步提高，很多学者对此做出了贡献。

1）三次多项式插值　插值是根据已知数据点（条件）来预测未知数据点值。插值法是一个从已知点近似计算未知点的近似计算方法，即构造一个多项式函数，使其通过所有已知点，然后用构造的函数预测期望关节位置点^[5，9，10]。所谓三次多项式插值，是指利用三次多项式构成轨迹，并根据控制周期计算各个路径点的期望关节位置。

如图2-2所示，考虑某关节从t₀时刻的关节位置q₀运动到t_f时刻的关节位置q_f的情况。设在t₀和t_f时刻机器人的速度均为0，于是，可以得到机器人关节运动的边界条件，如式（2-1）。

　　（2-1）

令关节位置为三次多项式，则有式（2-2）。

q（t）=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³　　（2-2）

对式（2-2）求一阶导数，得到关节速度，即式（2-3）。

　　（2-3）

将式（2-1）中的边界条件代入式（2-2）和式（2-3）中，可以求解出系数a₀～a₃。

　　（2-4）

将式（2-4）中的系数a₀～a₃分别代入式（2-2）和式（2-3）中，得到三次多项式插值的期望关节位置和期望关节速度表达式，分别见式（2-5）及式（2-6）。

　　（2-5）

　　（2-6）

由于0≤t≤t_f，所以，sign表示符号函数。可见q（t）是单调上升函数。

得到三次多项式插值系数如表2-1。

三次多项式插值期望关节位置和期望关节速度如表2-2所示。

例如，对于某一旋转关节，当t₀=0，q₀=0，t_f=1s，q_f=π/4时，计算出的三次多项式插值系数如表2-3所示。

设采样周期为0.05s，得到三次多项式插值的运动轨迹，如图2-3所示。

其中，图2-3（a）所示为期望关节位置和期望关节速度，图2-3（b）所示为期望关节加速度。

过路径点的三次多项式插值是指起点与终点关节速度不为0时利用上述三次多项式进行的插值。

同样，考虑某关节从t₀时刻的关节位置q₀运动到t_f时刻的关节位置q_f的情况。设在t₀时刻的关节运动速度为，在t_f时刻的关节运动速度为。于是，可以得到机器人关节运动的边界条件即过路径点，即式（2-7）。

　　（2-7）

将式（2-7）中的边界条件代入式（2-2）和式（2-3）中，可以求解出系数a₀～a₃，即式（2-8）。

　　（2-8）

将式（2-8）中的系数a₀～a₃代入式（2-2）和式（2-3）中，得到过路径点三次多项式插值的期望关节位置和期望关节速度表达式，分别记为式（2-9）和式（2-10）。

　　（2-9）

　　（2-10）

例如，对于某一旋转关节，当t₀=0，q₀=0，t_f=1s，q_f=π/4，时，计算出过路径点的三次多项式插值系数如表2-4所示。

设采样周期为0.05s，可以得到过路径点的三次多项式插值的运动轨迹，如图2-4所示。

其中，图2-4（a）所示为期望关节位置和期望关节速度，图2-4（b）所示为期望关节加速度。比较图2-4与图2-3可以发现，在同样的起始点位置与同样的目标位置的情况下，过路径点的三次多项式插值比点到点的三次多项式插值的加速度小，即所需力矩小。

通常，路径点的关节速度可以根据工具坐标系在直角坐标空间中的瞬时线速度和角速度确定，也可以在直角坐标空间或关节空间中采用适当的启发式方法由控制系统自动选择。一般地，在选择路径点的关节速度时，要保证在每个路径点的加速度是连续的。

2）高阶多项式插值　当考虑机器人关节空间的起始点和目标点的加速度时，需要采用高阶多项式插值^[11，12]。设某关节在t₀和t_f时刻的关节位置为q₀和q_f，关节运动速度为和，关节运动加速度为和。可以得到机器人关节运动的边界条件，即式（2-11）。

　　（2-11）

由于式（2-11）有六个条件，所以高阶多项式需要具有六个系数。因此，令关节位置为式（2-12）所示的五次多项式。

q（t）=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+a₄t⁴+a₅t⁵　　（2-12）

对式（2-12）求导数，得到关节速度和加速度，分别为式（2-13）和式（2-14）。

　　（2-13）

　　（2-14）

若将式（2-11）代入式（2-12）～式（2-14）中，则求解得到系数a₀～a₅，即式（2-15）。

　　（2-15）

将式（2-15）中的系数a₀～a₅代入到式（2-12）和式（2-13）中，得到五次多项式插值的期望关节位置、期望关节速度和期望关节加速度表达式，即式（2-16）～式（2-18）。

　　（2-16）

　　（2-17）

　　（2-18）

例如，对于某一旋转关节，当t₀=0，q₀=0，t_f=1s，q_f=π/4，，时，计算出高阶多项式插值系数如表2-5所示。

设采样周期为0.05s，得到高阶多项式插值的运动轨迹，如图2-5所示。

其中，图2-5（a）所示为期望关节位置和期望关节速度，图2-5（b）所示为期望关节加速度。

3）抛物线过渡的线性插值　抛物线过渡的线性插值，即插值时，其中间段利用直线插值，两端则利用抛物线过渡，如图2-6所示。

一般，关节加速度为已知，需要求取的是抛物线与直线的过渡点位置。

图2-6中，由直线段可以求出关节速度，即式（2-19）。

　　（2-19）

式中，t_h是时间中间点，t_h=（t₀+t_f）/2；q_h是关节初始位置和目标位置的中间点，q_h=（q₀+q_f）/2；t_b是抛物线向直线过渡的时刻。

根据抛物线的方程，t_b时刻的关节位置可以用式（2-20）表示。

　　（2-20）

由式（2-20），可以得到t_b时刻的关节速度，即式（2-21）。

　　（2-21）

将式（2-20）和式（2-21）代入式（2-19）中，经整理得到t_b的一元二次方程，即式（2-22）。

　　（2-22）

式（2-22）的解，即式（2-23）。

　　（2-23）

图2-6中，抛物线过渡的两端是对称的，即起始段的过渡时刻为t_b，结束段的过渡时刻为t_f-t_b。当时，t_b=t_f/2，无直线段。加速度越大，抛物线过渡段越短。另外，为了保证有直线段，加速度也不应太小。其路径轨迹见式（2-24）。

　　（2-24）

抛物线过渡的线性插值的运动轨迹平滑，速度和加速度易于实现。由于抛物线过渡线性插值的运动特性好，易于实现，所以它在运动控制系统中得到了广泛采用。目前，抛物线过渡的线性插值是运动控制系统中应用最多的一种规划方法。

过路径点的抛物线过渡线性插值，即利用抛物线过渡折线路径点的线性插值，将相邻路径点利用直线连接，而在路径点附近利用抛物线过渡，如图2-7所示。

对于给定的路径点q_j和q_k，持续时间为t_jk，加速度的绝对值为，计算过渡域的持续时间t_j和t_k。

对于过渡域时间的求取，可以分为第一路径段、中间路径段和最后路径段三种情况，分别进行讨论。

对于中间路径段，假设相邻的3个路径点的关节位置分别为q_j、q_k和q_m，如图2-7所示。于是，路径点q_j和q_k之间直线段的速度和抛物线段的加速度见式（2-25）。

　　（2-25）

式中，是路径点q_j和q_k之间直线段的速度；t_jk为路径点q_j和q_k之间持续运动时间。

抛物线段的过渡时间与直线段的运动时间计算见式（2-26）。

　　（2-26）

式中，是路径点q_k和q_m之间直线段的速度；t_jkl为路径点q_j和q_k之间直线段的运动时间。

利用式（2-25）和式（2-26），结合用抛物线过渡的线性插值方法，容易得到期望运动轨迹的数学表达式。

对于第一路径段，路径点q₁和q₂之间，直线段的速度和抛物线段的加速度见式（2-27）。

　　（2-27）

式中，是路径点q₁和q₂之间直线段的速度；t₁₂为路径点q₁和q₂之间持续运动时间。

第一段抛物线与直线切换点处的速度等于直线的速度，故式（2-28）成立。

　　（2-28）

根据式（2-28），可以计算出抛物线段的过渡时间与直线段的运动时间，即式（2-29）。

　　（2-29）

式中，t_12l为路径点q₁和q₂之间直线段的运动时间。

对于最后路径段，路径点q_n-1和q_n之间直线段的速度和抛物线段的加速度见式（2-30）。

　　（2-30）

式中，是路径点q_n-1和q_n之间直线段的速度；t_（n-1）n为路径点q_n-1和q_n之间持续运动时间。

最后一段抛物线与直线切换点处的速度等于直线的速度，故式（2-31）成立。

　　（2-31）

根据式（2-31），可以计算出抛物线段的过渡时间与直线段的运动时间，即式（2-32）所示。

　　（2-32）

式中，t_（n-1）nl为路径点q_n-1和q_n之间直线段的运动时间。

对于图2-6所示的抛物线过渡的线性插值，规划出的轨迹没有经过路径点。如果希望规划出的轨迹经过路径点，可以采用过路径点的抛物线过渡线性插值方法进行规划。

4）B样条插值　B样条（B-spline）是样条曲线一种特殊的表示形式，它是B样条基曲线的线性组合。所有针对现有的区间型数据的插值样条模型的讨论，均基于传统的多项式样条^[13，14]。B样条曲线用B样条基函数代替伯恩斯坦多项式（Bernstein polynomial），改变了曲线的一些特征，从而使曲线具有了局部性，曲线次数也不再与控制点相关，从而在算法设计时能够方便地获得拟合曲线，且计算过程更加简单。

设m为样条的次数，在（m+1）个子区间以外的其他子区间上，B样条的取值都为0。B样条函数可以采用递归的方式进行定义。

假设对于自变量x，有（m+2）个点。x_i，x_i+1，…，x_i+m+1，构成（m+1）个子区间[x_i，x_i+1），[x_i+1，x_i+2），…，[x_i+m，x_i+m+1）。首先定义式（2-33）所示的0次B样条函数，然后根据第（m-1）次B样条函数定义在区间[x_i，x_i+m+1）的第m次B样条函数，即式（2-34）。

　　（2-33）

式中，N_i，0（x）是0次B样条函数；[x_i，x_i+1）是0次B样条函数的非0区间。

　　（2-34）

式中，N_i，m（x）是m次B样条函数；N_i，m-1（x）是（m-1）次B样条函数。

B样条曲线具有局部控制性、凸包性、变差缩减性和自动连续性，由于其有多阶导数连续和局部支撑性的特点，被广泛用于工业机器人关节空间的轨迹规划。例如，根据式（2-33）和式（2-34）的B样条函数定义，可以得到1次、2次和3次B样条函数，分别见式（2-35）～式（2-37）。

　　（2-35）

　　（2-36）

式（2-36）为2次B样条函数，很明显建立的模型是一个有限二次凸优化问题，可以直接采用现有的优化算法和软件进行计算。

　　（2-37）

式（2-37）为3次B样条函数，同样是一个有限凸优化问题，与2次模型具有相同的优势，也可以直接采用现有的优化算法和软件进行计算。

根据式（2-35）～式（2-37）可得到1次、2次和3次B样条函数的曲线形态。

为了保证运动轨迹的平滑性，一些学者也尝试用多项式样条曲线、B样条曲线在笛卡儿空间对复杂轮廓进行拟合，通过对拟合得到的曲线参数方程进行离散，然后逆解到关节空间进行运动控制。

m次B样条函数具有通用性，对于自变量，在区间[x₀，x_k]内的任意函数，可以表达为利用第m次B样条函数作为基函数的加权和，即式（2-38）。

　　（2-38）

式中，f（x）是区间[x₀，x_k]的任意函数；a_i是m次B样条函数N_i，m（x）的加权系数。

在式（2-38）中，包含了（k+m+1）个参数，即a_-m，a_-m+1，…，a_k。在每一子区间上，最多为（m+1）个B样条函数的加权和。在进行曲线插值或拟合时，需要确定这（k+m+1）个参数。在利用3次B样条进行插值时，在一个子区间上，可以有4个B样条函数起作用。

例如，对于时间区间[0，4]，某关节的位置为q（0）=2，q（1）=2.8，q（2）=1.2，q（3）=2.2，q（4）=0.9。利用式（2-38）进行3次B样条插值。

取时间间隔1s构成子区间。对于5个期望位置点，而式（2-38）中有8个未知B样条函数系数a_-3～a₄。但是N_4，3（4）=0，a₄不起作用。所以，式（2-38）中有7个未知B样条函数系数a_-3～a₃。为便于求解，很自然地考虑取a_-3=a_-2=0。此时，由3次B样条的定义及式（2-38），得到含有系数a_-1～a₃的方程，即式（2-39）。

　　（2-39）

利用3次B样条函数式（2-37）计算出N_0，3（0）和N_1，3（1）等，代入式（2-39）中，整理后得到式（2-40）。

　　（2-40）

经计算，得到系数a_-1～a₃的值。a_-1=12，a₀=-7.2，a₁=14.4，a₂=-4.8，a₃=2.4。对应的插值函数表达式为式（2-41）。

f（x）=12N_-1，3（x）-7.2N_0，3（x）+14.4N_1，3（x）-4.8N_2，3（x）+2.4N_3，3（x）　　（2-41）

利用式（2-41）函数，在工作区间[0，4]内间隔0.1s可以得到插值曲线。

从上述3次B样条函数的特征可以看出，由控制点确定的曲线段并不通过控制点，而是存在一定的距离，且距离随控制点的变化而变化。

通常，B样条是一种广泛使用的样条，对局部的修改不会引起样条形状的大范围变化是其主要特点。换言之，修改样条的某些部分时，不会过多地影响曲线的其他部分。B样条拟合曲线不通过任一控制点，若要使其通过给出的位置-时间序列点，须将位置-时间序列点作为型值点去反算控制点，反算过程需要求解多元线性方程组。B样条模型具有很多优势，使得具有局部性和连续性的优化问题能转化为带有更简洁的表达式和更简单的求解过程的有限凸优化问题。因此，B样条插值被广泛应用于机器人运动轨迹的插值。目前很多运动控制卡采用3次B样条插值，实现运动轨迹的插补。

以上仅从理论方面介绍机器人关节空间路径规划，但实际的机器人运动控制中，当机器人进行快速运动且运动时间确定时，受到驱动机构性能等因素的制约，机器人进行运动路径规划时，须考虑角加速度约束、角速度约束和角度约束。工业机器人在不同约束下进行轨迹规划，其轨迹规划的可行性方法有很多学者做了研究，在此不再进行展开。

（3）机器人笛卡儿空间路径规划

机器人笛卡儿空间路径规划就是计算机器人在给定路径上各点处的位置与姿态。在笛卡儿空间路径规划中，须保证每个关节的运动平滑性，在进行位置、速度及加速度规划的环节中，常通过梯形速度曲线方法及样条曲线加减速方法等，在笛卡儿空间内实现直线、圆弧及曲线路径的规划。

1）位置规划　位置规划用于求取机器人在给定路径上各点处的位置，以保证机器人末端沿给定的路径从初始位置均匀运动到期望位置。主要有直线运动和圆弧运动的位置规划。

①直线运动　对于直线运动，假设起点位置为P₁，目标位置为P₂，则第i步的位置可以为式（2-42）。

P（i）=P₁+ai　　（2-42）

式中，P（i）为机器人在第i步时的位置；a为每步的运动步长。

假设从起点位置P₁到目标位置P₂的直线运动规划为n步，则步长为

a=（P₂-P₁）/n　　（2-43）

②圆弧运动　对于圆弧运动，假设圆弧由P₁、P₂和P₃点构成，其位置记为

P₁=[x₁y₁z₁]^T，P₂=[x₂y₂z₂]^T，P₃=[x₃y₃z₃]^T。

首先，确定圆弧运动的圆心。如图2-8所示。

圆心点为3个平面Ⅱ1～Ⅱ3的交点。其中，Ⅱ1是由P₁、P₂和P₃点构成的平面，Ⅱ2是过直线P₁P₂的中点且与直线P₁P₂垂直的平面，Ⅱ3是过直线P₂P₃的中点且与直线P₂P₃垂直的平面。Ⅱ1平面的方程为式（2-44）。

A₁x+B₁y+C₁z-D₁=0　　（2-44）

其中，，，，D₁=。

Ⅱ₂的平面的方程为式（2-45）。

A₂x+B₂y+C₂z-D₂=0　　（2-45）

其中，A₂=x₂-x₁，B₂=y₂-y₁，C₂=z₂-z₁，。

Ⅱ₃的平面的方程为式（2-46）。

A₃x+B₃y+C₃z-D₃=0　　（2-46）

其中，A₃=x₂-x₃，B₃=y₂-y₃，C₃=z₂-z₃，。

求解式（2-44）～式（2-46），得到圆心点坐标，即式（2-47）。

　　（2-47）

其中，，，，。

圆的半径为

　　（2-48）

图2-9所示是圆心角的求取与圆弧规划示意图。

延长P₁O与圆交于P₄点。三角形P₂OP₄是等腰三角形，所以。三角形P₁P₄P₂是直角三角形，所以β₁可以按式（2-49）计算。

　　（2-49）

同样，β₂可以由式（2-50）计算。

　　（2-50）

图2-10所示是圆心角的求取与圆弧规划示意图。

将OP_i沿OP₁和OP₂方向分解，得到式（2-51）和式（2-52）。

OP_i=OP'₁+OP'₂　　（2-51）

　　（2-52）

式中，β_i为第i步的OP_i与OP₁的夹角，β_i=（β₁/n₁）i；n₁为P₁P₂圆弧段的总步数。

于是，由式（2-51）和式（2-52），得到矢量OP_i，即式（2-53）。

　　（2-53）

式中，。

P₁P₂圆弧段的第i步的位置，由矢量OP_i与圆心O的位置矢量相加获得，即式（2-54）。

　　（2-54）

同理，P₂P₃圆弧段的第j步的位置，即式（2-55）。

　　（2-55）

式中，；；β_j为第j步的OP_j与OP₂的夹角，β_j=（β₂/n₂）j；n₂是P₂P₃圆弧段的总步数。

③连续轨迹实验方程　在笛卡儿空间轨迹规划中，分配到关节空间的位置-时间序列依然需要每个关节去协调控制，以保证每个关节的连续轨迹和运动平滑性^[15]。工业机器人控制中一般采用直线插补或圆弧插补的方式对插补周期内的轨迹进行插补，即取插补周期等于运动控制周期或运动控制周期的整数倍，并将插补周期内的位移按时间进行等分。

下面以机械臂为例进行分析。

a. 直线轨迹实验　机械臂末端运动轨迹方程，可表示为式（2-56）。

　　（2-56）

当机械臂末端沿着轨迹以定速运行，在运行时间内分为多个分点时（例如25个分点），可以得到直线运动轨迹。

机械臂末端运动轨迹为一空间直线，起始位置P_S的坐标为（P_Sx，P_Sy，P_Sz），姿态为（S₁，S₂，S₃）；结束位置P_E的坐标为（P_Ex，P_Ey，P_Ez）。机械臂末端位于起始位置P_S处时，从基座到末端执行器，六个关节转角依次为（θ₁，θ₂，θ₃，θ₄，θ₅，θ₆）。机械臂可以在MATLAB中试验或仿真。

上述一条直线轨迹的实现需要六个关节联动来完成。某机械臂试验直线运动过程中，所有关节的关节转角随时间的变化曲线均为曲率较小的曲线，近似的可当作直线。从关节运动方向可知，在运动过程中，各个关节转角运动方向保持恒定，这使得关节控制系统不受关节运动间隙的影响。

b. 圆弧轨迹实验　对于机械臂末端运动轨迹方程，可表示为式（2-57）。

　　（2-57）

机械臂末端沿着轨迹以定速运行，将运行路径按运行时间内分为若干个分点（例如20个分点），对各个离散点进行运动学反解得到六个关节转角，然后控制各个中间节点的运动，可以得到圆弧运动轨迹。

2）姿态规划　为了保证机器人的末端沿给定的路径从初始姿态均匀运动到期望姿态，需要计算出路径上各点的位置，以及在各个位置点上机器人所需要达到的姿态，即需要位置规划与姿态规划。

机器人姿态可以通过旋转矩阵表示。假设机器人在起始位置的姿态为R₁，在目标位置的姿态为R₂，则机器人需要调整的姿态R为式（2-58）。

　　（2-58）

利用通用旋转变换求取等效转轴与转角，进而求取机器人第i步相对于初始姿态的调整量，即式（2-59）。

　　（2-59）

式中，f=[f_x　f_y　f_z]^T为通用旋转变换的等效转轴；θ_i为第i步的转角，θ_i=（θ/m）i，θ为通用旋转变换的等效转角，m为姿态调整的总步数；versθ_i=1-cosθ_i。

在笛卡儿空间运动规划中，将机器人第i步的位置与姿态相结合，得到机器人第i步的位置与姿态矩阵，即式（2-60）。

　　（2-60）

上述笛卡儿空间路径规划是计算机器人在给定路径上各点处的位置与姿态。笛卡儿空间中机器人也可以从任何方向运动到指令位姿，但是，关节反向运动会产生反向误差。从而引起末端位置误差。这种由运动方向变化引起的位置误差，即多向重复定位误差说明了机器人定位的不确定性，目前国内外对此亦有相应的研究。

（4）机器人路径规划

路径规划要解决机器人在环境中如何运动的问题。路径规划是机器人导航的核心内容之一，在机器人开发中具有重要作用，是移动机器人能够进行自主决策的基础。对于一个点、一条线段、一个面或一个三维形体，从一个位置到另一个位置，必然经过一个连续的路径，因此，执行器的工作空间至少由一条路径构成，即至少有二维或三维工作空间。如果是平面机器人，就要有两个自由度；如果是空间机器人，就要有三个或三个以上的自由度。

无论是在一个二维空间还是三维空间，路径一般都不是唯一的。理论上讲，二维空间或三维空间内的曲线数量是无穷大的，而且是二级无穷大。在路径的某一个位置上，都要有确定的姿态、确定的速度、确定的加速度、确定的惯性及确定的力等，这都是路径规划需要解决的问题。

路径规划是对高级机器人进行开发的前提，也是对其进行控制的基础。

根据环境信息的已知程度，路径规划可以分为三种类型：第一种是基于环境先验完全信息的路径规划；第二种是基于传感器信息的不确定环境的路径规划；第三种是基于行为的路径规划方法。

1）基于环境先验完全信息的路径规划

基于环境先验完全信息的路径规划也被称为全局路径规划，能够处理完全已知环境下的移动机器人路径规划。当环境发生变化时，如出现未知障碍物时，这种方法就无能为力了。该方法主要包括可视图法、栅格法和拓扑法等。

①可视图法　可视图法（visibilitygraph）^[15]是将机器人视为一点，把机器人、目标点和多边形障碍物的各个顶点进行连接，要求机器人和障碍物各顶点之间，目标点和障碍物各顶点之间以及各障碍物顶点与顶点之间的连线，都不能穿越障碍物，这样就形成了一张图，称之为可视图。

由于任意两连线的顶点都是可视的，显然移动机器人从起点沿着这些连线到达目标点的所有路径均是无碰路径。对可视图进行搜索，并利用优化算法删除一些不必要的连线以简化可视图，缩短了搜索时间，最终就可以找到一条无碰最优路径。

②栅格法　栅格法（grids）^[16]是将移动机器人工作环境分解成一系列具有二值信息的网格单元，多采用二维笛卡儿矩阵栅格表示工作环境，每一个矩形栅格都有一个累积值，表示在此方位中存在障碍物的可信度。

用栅格法表示格子环境模型中存在障碍物的可能性，通过优化算法在单元中搜索最优路径。由于该方法以栅格为单位记录环境信息，环境被量化成具有一定分辨率的栅格，因此栅格的大小直接影响环境信息存储量的大小以及路径搜索的时间，因此在实用上受到一定的限制。

③拓扑法　拓扑法是根据环境信息和运动物体的几何特点，将组成空间划分成若干具有一致拓扑特征的自由空间，然后根据彼此间的连通性建立拓扑网，从该网中搜索一条拓扑路径。

该方法的优点在于因为利用了拓扑特征而大大缩小了搜索空间，其算法复杂性只与障碍物的数目有关，在理论上是完备的。但建立拓扑网的过程是相当复杂且费时的，特别是当增加或减少障碍物时，如何有效地修正已经存在的拓扑网络以及如何提高图形搜索速度是目前亟待解决的问题。但是针对一种环境，拓扑网只需建立一次，因而在其上进行多次路径规划就可期望获得较高的效率。

2）基于传感器信息的不确定环境的路径规划

环境完全未知情况下的路径规划问题是机器人研究领域的难点，目前采用的方法主要有人工势场法（artificial potential field）^[17，18]、栅格法^[19]、可视图法、遗传算法、粒子群算法及人工神经网络算法等^[1，20-22]。

人工势场法最初由Khatib提出^[23]，这种方法由于具有简单性和优美性而被广泛采用。其基本思想是把机器人在周围环境中的运动看作是一种虚拟的在人工受力场中的运动，目标点对机器人产生引力作用，障碍物对机器人产生斥力作用，引力和斥力的合力控制机器人的运动。该方法结构简单，易于实现。但也存在着一些缺点，由于人工势场法存在局部最优点，不能保证路径最优且有时无法到达目标点；存在陷阱区，在相近的障碍物前不能发现路径，在障碍物前产生振荡以及在狭窄通道中摆动，等等。

栅格法在复杂的大面积环境中容易引起存储容量的激增；可视图法在路径的搜索复杂性和搜索效率上存在不足；遗传算法搜索能力和收敛性较差；粒子群算法易出现早熟、搜索速度慢的问题；人工神经网络算法易陷入局部极小点，而且学习时间长，求解精度低，等等。

虽然这些路径规划方案各有优点，但这些方法也存在一些不足，仅能够在一定程度上解决问题。

3）基于行为的路径规划方法

基于行为的路径规划方法中最具有代表性的是美国MIT的R.Brooks的包容式体系结构^[24]。所谓基于行为的路径规划方法是把移动机器人所要完成的任务分解成一些基本的、简单的行为单元，这些单元彼此协调工作。每个单元均有自己的感知器和执行器，二者紧密耦合在一起，构成感知动作行为，机器人根据行为的优先级并结合本身的任务综合做出反应。

该方法的主要优点在于每个行为的功能较简单，因此可以通过简单的传感器及快速信息处理过程获得良好的运行效果。但该方法主要考虑机器人的行为，而对机器人所要解决的问题以及所面临的环境没有任何的描述，只是通过在实际的运行环境中机器人行为的选择，达到最终的目标。如何构造和优化机器人行为控制器是成功与否的关键。

因此，机器人路径规划的验证仍然是一项十分有挑战性的工作。现实中的机器人要同时考虑很多因素，如环境不确定性、测量元件误差、执行元件误差及算法实时性等。

目前，现有机器人技术中融入了很多统计和概率的算法，如机器学习算法、神经网络算法及深度学习算法，基于栅格环境建模和基于人工势场法是可以针对非结构化环境及路径规划进行研究的方法。这些方法均需要建立环境模块，在非结构化环境中能够简单地生成规则的静态障碍物和动态障碍物，在其位置坐标均不知道的情况下可以进行两种仿真。例如，一是使机器人漫游一遍环境，用激光雷达将环境中的静态障碍物的位置记录下来并传递给环境建模模块，当机器人将整个环境漫游一遍时，将数据库中的数据调出来与原来的全局地图对比并更新，然后在基于人工势场法中规划路径，以取得较好的效果；二是使机器人直接局部建模，即边运动边规划路径，当机器人将激光雷达和超声波传感器测试的数据传递给建模模块时，根据栅格法进行局部环境的建模，然后再进行路径规划。

综上所述，路径规划也是机器人研究领域的一个重要分支，其任务是在一定性能指标的要求下，在机器人运动环境中寻找出一条从起始位置到目标位置的最优或次优无碰撞路径^[25]，例如机器人避障、机器人运动规划与运动能力、路径及运动规划仿真等。

①机器人避障　机器人避障是指机器人遵循一定的性能要求，如最优路径、用时最短及无碰撞等寻求最优路径。避障规划的定义即为从起始点到目标点选择一条路径，使得机器人能够安全、快速到达目标点，或者更严格地表述为已知机械臂的末端轨迹，在完成末端期望轨迹跟踪的同时，能保证机器人不与障碍物发生碰撞。

机器人避障时常会遇到定位精度问题、环境感官性问题以及避障算法问题等^[26，27]。例如，双机械臂运动规划问题比普通的单机械臂运动要复杂得多，在运动规划中首先要考虑的就是双臂之间的碰撞，在避障策略中最经典的算法就是虚拟力算法，可以实时地计算各关节所受的力，从而调整方向来防止碰撞以实现目标的抓取^{[26，28，29]}。但是虚拟力算法存在局部最小值的问题，当机械臂在某一位置达到吸引力和排斥力相等时，双机械臂将停止向目标位置运动，可能导致运动规划失败^[30]。

关于避障路径规划的研究方法种类繁多，根据国内外现状，主要有模糊逻辑、人工神经网络、遗传算法、梯度投影法及这些方法的混合方法等^[31，32]。例如，当采用遗传算法时可以使机器人满足工作空间的可达性、环境避障、线性误差及角度误差等要求^[17-19，33]。机器人避障也包括利用多种传感器^[34]，如超声波传感器、红外传感器等感知外界环境。其中超声波传感器成本较低，但是无法在视觉上感知障碍物，并且测距精度受环境温度影响；红外传感器反射光较弱，需要使用棱镜并且成本较高；激光雷达虽然可以获取较多外界环境信息，但是成本较高。

从目前的路径规划方法来看，大多倾向于二维平面的算法研究，而对三维环境下的路径规划算法研究较少。但是，大多数的机器人是在三维环境下进行作业的^[35]，因此，加强对三维环境下的路径规划方法研究将是未来的研究方向之一。

②机器人运动规划与运动能力　对于机器人运动规划与运动能力的研究，常用的方法是首先了解机器人构型特点，尤其是对于多形态复杂结构机器人；然后，基于运动学和动力学相关理论建立末端轨迹与关节空间之间的数学关系；最后，规划末端轨迹并将其映射到关节空间^[36，37]。

下面主要针对模块化机器人运动规划与运动能力进行分析。

对于模块化机器人的运动规划，可以根据其模块组成构型的特点，借鉴相对成熟的机器人关节规划理论与技术，例如蛇形机器人、四足机器人及六足机器人等的步态与关节规划方法^[38-40]。对于模块化机器人的节律运动而言，核心技术为关节间的配合。从规划的角度分析，即设计驱动函数及其参数。

常用的驱动机器人节律运动的关节控制是采用中枢模式发生器（Central Pattern Generator，CPG），中枢模式发生器是一种不需要传感器反馈就能产生节律模式输出的神经网络。有研究表明，即便缺少运动和传感器反馈，CPG仍能产生有节律的输出并形成“节律运动模式”。也可以采用关节姿态法，该方法也常被应用于节律运动规划，即通过分析机器人各个运动阶段的整体姿态，计算关键姿态的关节角度，然后使用一些插值算法来实现机器人的连续运动。

从控制角度分析，模块化机器人协调运动可分为集中式和分布式两种。集中式控制可以采用控制器协调机器人所有模块的关节转动，即受控于中央大脑的规划；分布式控制中各个模块作为一个独立个体，根据局部交互信息自主规划产生下一个动作。但无论是集中式还是分布式，机器人的整体节律运动控制器归根结底是一系列字符串表达式，表达式的形式和参数的设计选择决定了机器人的运动模式。所以从该角度出发，模块化机器人整体协调运动自动规划的关键技术可以划分为以下三个层次。

a. 控制器表达式设计与参数设计结合　基于机器人形态特征来建立模型，根据不同环境和任务人为地设计控制器表达式和参数选择规律，该过程称为基于模型的运动规划。

b. 控制器表达式设计与参数搜索结合　基于机器人形态特征人为设定控制器表达式，但利用计算机对参数进行优化搜索，从而得出满意的运动效果，该过程称为基于参数搜索的运动能力进化。

c. 控制器表达式自动生成与参数搜索结合　基于给定的机器人形态使计算机自动分析生成控制器表达式，并且通过运动进化获取控制参数，该过程称为机器人自建模运动能力进化。

从实现角度分析，机器人运动过程中需要保证各个关节在某个时间点旋转到设定的角度位置，或者根据整体的姿态实时动态地调整关节角度^[41]。例如，机器人的关节电机应跟随规划的角度函数进行运动，在实际应用中需要将各个关节的驱动函数进行离散化。

对于复杂结构机器人、链式或者混合式模块化机器人，其组成构型可以看成是一个超冗余自由度关节型机器人，由于组成构型千变万化，如何使机器人实现有效的协调运动是一个重要问题。

对于任意构型的机器人，可以预设构型的运动关节和控制器参数，即确定哪些关节需要运动，并且确定控制参数间的关系，以减少开放进化参数个数^[42]。如果没有预设或者难以预设，则需要对机器人控制器进行自建模，即确定自身的运动模型。

对于节律运动而言，就是自动分析和确定机器人构型的驱动关节、关节间的节律信号关联性等。例如，一些研究者对模块化可重构机器人的运动学及动力学自建模进行了研究，为机器人组成链式操作臂等需要进行末端笛卡儿空间到关节空间的映射处理和控制提供了便利。

研究者曾采用了一种分布式控制器，各个控制器的参数调整方向是独立的，从而实现了一种分布式的形态不相关运动学习过程。为了提高机器人的进化速度，将先验知识和关节关联性定义为构型识别规则，通过拓扑分析可以实现机器人的自建模过程。

研究人员曾定义了模块化机器人的肢体和驱动关节的识别规则，从而实现了对任意构型机器人的简化，避免了人工设置进化参数。例如，将构型表达为一个无向图，通过制定的规则识别出肢体和躯干，以及确定用来运动的关节。缺点是其规则不具有通用性，针对不同构型的机器人需要重新定义规则，并且没有考虑功能子结构的控制器模型嵌入。

在机器人任意构型的运动控制器自建模方面，部分研究者已引入了拓扑解析和角色分类的研究方法，但是没有考虑机器人同构子结构关节配置对机器人构型协调运动的作用，从而限制了机器人新型运动模式的涌现。

③路径及运动规划仿真　路径规划不同于轨迹规划，路径规划一般是对机器人的几何信息即位置、方向信息给出描述，不限定机器人的角速度和线速度。路径及运动规划需要解决的重要问题是机器人的节律运动规划与运动能力进化^[43]。

首先，传统动力学仿真软件无法适应机器人构型多样、自由度冗余的特点，所以需要一个适应机器人特征的仿真软件平台，而且机器人运动能力进化涉及大量的运动仿真评价。因此，要求软件平台具有较高的计算效率，从而大幅减少机器人运动能力进化的时间^[44]。

其次，当前通用的机器人仿真软件平台很少，所以有必要针对固有样机开发专用的进化仿真软件平台^[45]。

目前，在人工规划控制器方面，具有特定结构的模块化机器人构型可以归纳出运动模型，尤其是最常见的一类链式构型，但还没有统一的多模式运动规划方法；在基于参数搜索的运动控制器设计方面，当前的研究皆以机器人运动性能为直接导向，搜索结果容易陷入局部最优，而且缺乏多模式运动发掘的研究。由于仿真结果与实际机器人之间存在着“现实鸿沟（reality gap）”，对此，进化仿真得出的运动步态应进行有效性验证。考虑到机器人构型与步态结果的多样性，应建立虚拟仿真机器人与实际机器人的步态映射和同步控制机制，便于对进化步态进行快速的执行和有效性验证。

以运动控制器为核心的机器人节律运动规划及其运动能力进化，目前仍存在一些待研究的问题。

2.1.2　机器人定位

机器人定位是指通过机器人传感系统实时获得其所在的位置和航向信息，是机器人完成复杂实际任务的基础。机器人定位是机器人通过自身感知系统从所在环境获取与定位相关的信息数据，然后再经过一定的算法处理，进而对机器人当前的位姿进行准确估计的过程。因此机器人定位又被叫作位姿估值或者位姿跟踪。

定位问题一直是机器人研究领域的基础和关键技术之一^[46-48]，这里主要介绍定位能力、基于数理基础的定位方法及智能移动机器人定位。

（1）定位能力

机器人定位能力也是机器人最基本的感知能力，几乎所有机器人在运动或者抓取任务中，都需要知道机器人距离目的地或者物体之间的位置信息。机器人在环境中的位姿信息通常无法直接被传感器感知到或者测量到，因此，机器人需要根据地图信息和机器人传感器数据计算出机器人的位姿。实际上，机器人需要综合之前的观察才能确定自身在当前环境中的位置，由于环境中通常存在着很多相似的区域，仅凭当前的观察数据很难确定其具体位置，这也是机器人定位问题中存在的歧义性。

根据先验知识的不同，机器人定位可以分为位姿跟踪、全局定位及绑架问题等，位姿跟踪、全局定位及绑架问题是机器人定位能力的重要方面。

位姿跟踪是指假设机器人在环境中的初始位姿已知或者大概已知。机器人开始运动时其真实位姿和估计位姿之间可能存在偏差，但是偏差通常比较小。这种偏差为位姿的不确定性，通常是单峰分布函数。另外机器人在环境中运动的同时也需要不断地更新自己的位姿，这类问题也叫作局部定位。

全局定位是指假设机器人在环境中的初始位姿未知，机器人有可能出现在环境中的任意位置，但是机器人自身并不知道。这种位姿的不确定性，通常是均匀分布或者多峰分布。

全局定位通常比局部定位要困难。例如，在水下机器人定位方法的应用上，根据机器人是否已知和自身位置相关的先验信息可分为两大类：位置跟踪和全局定位^[49-52]。位置追踪又称为相对定位，是指机器人在已知初始位置的条件下确定自己的位置，是机器人定位过程中最广泛的研究方法；全局定位又称为绝对定位，要求机器人在未知初始位置和没有任何对于自身位置的先验信息的情况下确定自己的位置。

绑架问题是指机器人全局定位的变种问题，比全局定位问题更复杂，其假设一开始知道机器人在环境中的位姿，但是在机器人不知道的情况下被外界移动到另一个位姿。因为在全局问题中机器人不知道其在环境中的位置，而在绑架问题中机器人甚至不知道自己的位姿已经被改变，机器人需要自己感知这一变化并能够正确处理。

目前，机器人的定位主要有基于自身携带加速度计、陀螺仪等传感器的自定位法，通过激光测距、超声测距、图像匹配的地图定位法、基于视觉与听觉的定位方法及网络环境平台等^[53]。

1）定位方法受感知能力的影响　在应用中只有机器人位置状态已知的情况下，才能更有效地发挥传感器的监测功能。虽然机器人机动性能突出，但感知能力在某些环境下还存在一定的局限性，只有在适宜的环境下，传感器节点才可以根据目标传感信息，自动地感知目标实时位置，从而实现定位跟踪。

例如，学者将WSN（Wireless Sensor Network）节点作为动态路标，组成局部定位系统以辅助机器人定位，该方法与自定位等传统方法相比具有较好的定位精度。

为了提高机器人的定位精度和稳定性，基于EKF（Extended Kalman Filter）的定位方法使得定位精度得到了大幅提高，通过使用异质传感器信息融合的粒子群定位算法，不仅有效提高了定位精度，也改善了定位的收敛速度。

2）超声波定位及误差分析　超声波测距是超声波定位的基础，超声波测距时引起机器人不同距离下响应时间不同的因素有很多，一般主要归结为超声波模块计算误差、检测电路灵敏度产生的误差、启动计时和启动超声波发射之间的偏差等。

基于超声波定位的智能跟随小车，利用超声波定位和红外线避障，能够对特定移动目标进行实时跟踪。该定位技术具有体积小、电路简单、价格低等优势，在小范围定位方面得到越来越广泛的应用。利用超声波定位技术和跟随性技术，可以根据不同场合的跟踪要求设置小车的跟踪距离和跟踪速度等参数，以实现对运动目标的准确跟踪，但是机器人的载物能力以及避障能力较弱。

当跟随机器人采用超声波和无线模块定位技术时，其机械结构设计巧妙，不但能够准确定位承载能力较强的物体，而且具有无正方向及零转弯半径等特点。

3）网络环境平台　为了使机器人的定位更加准确，通常需要建立网络环境平台，如无线传感器网络环境平台。通过平台可以实现机器人与周边环境节点的信息交互，从而使自身的定位更加准确。

例如，在机器人机身上安装阅读器使信标节点分布在作业区域内，机器人对全局环境信息的了解便通过机器人机身上节点对环境信标节点进行读取来实现。

（2）基于数理基础的定位方法

依据理论和应用的不同，定位方法可以有多种分类。基于数理理论基础可以分为基于贝叶斯滤波理论的方法和基于模糊理论的方法。

1）基于贝叶斯滤波理论的定位方法　为处理机器人获取的不确定性信息，提取能够用于定位的数据，提出了许多基于贝叶斯滤波理论的机器人定位算法，取得较好的定位效果。这类算法主要有卡尔曼滤波器（KF）、扩展卡尔曼滤波器（EKF）、无迹卡尔曼滤波器（UKF）、多假设跟踪（MHT）、马尔可夫（Markov）定位（ML）及粒子滤波定位（PF）法。根据不同算法间的相关性，这些算法又可分为基于卡尔曼滤波器的机器人定位算法和基于马尔可夫理论的机器人定位算法。

①基于卡尔曼滤波器的机器人定位算法　卡尔曼滤波器是一种获取状态最优估计的算法，该算法用于线性系统能够取得最优的滤波效果。实际的机器人定位中，卡尔曼滤波器用于线性系统取得了较好的定位效果和精度。但是，实际机器人系统模型和观测模型均带有非线性，受机器人自身及各种外界因素的影响，真实的系统噪声和观测噪声不完全是高斯白噪声，无法满足卡尔曼滤波器的前提要求，使得其在机器人定位领域的应用受到一定限制。

②基于马尔可夫理论的机器人定位算法　马尔可夫定位法^[54]基于观测值独立性假设及运动独立性假设，能够表示任意形式的概率分布，可以较好地解决机器人位姿跟踪及全局定位问题。马尔可夫定位算法，主要有基于栅格地图的实现^[55]和基于拓扑地图的实现^[56]等。基于拓扑地图的定位算法计算效率高，但定位精度低，应用范围较窄；相对于拓扑地图算法，基于栅格地图的定位算法因为具有较高的鲁棒性和精度而被广泛应用。

2）基于模糊理论的机器人定位方法　模糊理论主要包括模糊集合理论、模糊逻辑、模糊推理等方面的内容。模糊理论为描述和处理事物的模糊性及系统的不确定性提供了新的思路，在一定程度上模拟了人类所特有的模糊逻辑思维功能，为将人类思维模式运用到智能系统领域开辟了新的视角。由于模糊理论能够较好地处理不确定性信息及适应能力强的特点，该理论被引入到机器人定位领域，以解决机器人感知信息不确定的问题。目前，主要是将模糊理论与已有的定位算法进行融合并加以改进，形成更加有效的定位算法。

①基于模糊理论的路标定位法　路标定位法主要包括人工路标定位法和自然路标定位法两种。自然路标定位法是指利用自然环境路标进行检测和识别，根据明显特征匹配产生的偏差信息进行定位，该方法计算复杂，鲁棒性不强且实用性差。人工路标定位法是通过机器人识别获取路标的位置，根据路标位置获取机器人位置，具有较高的定位精度。但是，在对人工路标进行识别的过程中，可能存在因为阈值设置不合理导致识别失败的问题^[57]。

②基于模糊卡尔曼滤波的机器人定位法　常规的扩展卡尔曼滤波器算法能够较好地实现移动机器人局部位姿跟踪，但其所能达到的定位效果与模型的准确程度和对噪声的统计特性的估计有密切的关系，如果系统噪声协方差和观测噪声协方差提供的信息不准确，会导致扩展卡尔曼滤波器的状态估计精度降低，严重时会导致滤波器发散。

为了增强扩展卡尔曼滤波器的适应性和鲁棒性，可以将模糊理论和扩展卡尔曼滤波器结合起来，采用基于模糊卡尔曼滤波的机器人定位法。

③基于模糊神经网络的机器人定位方法　基于模糊神经网络的机器人定位方法主要利用模糊理论对模型或参数带有不确定性问题的良好的处理能力和神经网络对非线性函数有力的逼近效果，解决机器人定位过程中存在感知信息带有不确定性的问题，二者的结合同时也避免了模糊理论中隶属函数的建立依赖于专家经验的不足。

综上所述，根据数理基础不同，其定位方法有较大区别。目前的定位方法大多致力于改进机器人的定位精度、提高定位的实时性及降低定位过程中对计算资源的需求。由于贝叶斯滤波理论基于认知进行实践，通过实践指导认知，为有效处理带有不确定性的信息提供了理论基础和方法论，因此将贝叶斯滤波理论应用到感知信息带有不确定性的移动机器人定位领域具有一定的现实意义。但是，由于基于贝叶斯理论的方法对模型的要求较高，基于模糊理论的方法中隶属函数的建立严重依赖经验和专家知识，使得这两种方法的进一步发展都存在制约因素。同时，近年来小型机器人的迅速发展对机器人定位的实时性、计算速度、能源供应也提出了挑战。

（3）智能移动机器人定位

智能移动机器人必须具有定位的能力，其目的就是确定机器人在运行环境中相对于世界坐标系的位置及航向。

定位方法分为以下几类。

1）卫星定位　卫星定位主要用于室外无遮挡时的机器人定位。但是在城市、隧道、室内等环境下，因卫星信号被遮挡而无法应用。可采用双天线卫星定位系统获得航向，航向精度与基线长度有关。

2）惯性定位　惯性定位是指通过对固联在载体上的三轴加速度计、三轴陀螺仪进行积分，获得载体实时、连续的位置、速度、姿态等信息，但惯性误差经过积分之后会产生无限的累积，因此惯性定位不适合长时间的精确定位。

3）基于里程计的航位推算　基于里程计的航位推算是指通过车轮上安装光电编码器对车轮转动圈数进行记录，来计算载体的位置和姿态。由于是一种增量式定位方法，其定位误差会随时间累积。对于非轮式机器人或者机器人行驶在崎岖路面轮子存在打滑的情况，基于里程计的航位推算可采用视觉方法获得里程信息。

4）电子地图匹配　电子地图匹配是指利用图像处理技术，将实时获取的环境图像与基准图进行匹配，从而确定载体当前的位置。匹配的特征可以为设定的路标、特定的景象或是道路曲率。电子地图匹配特别适用于对机器人系统长时间的定位误差进行校准。

以上定位方式中，惯性定位以及基于里程计的航位推算为相对定位方式，可以获得连续的位置、姿态信息，但存在累积误差；卫星定位和电子地图匹配等定位方式为绝对定位，可以获得精确的位置信息，但难以获得连续姿态信息。因此，相对定位与绝对定位方式存在着较强的互补性，通常采用将两者结合的组合定位方法，以相对定位为主导航方式，以卫星、里程及地图信息等为辅助手段。

定位是移动机器人导航最基本的环节，也是完成导航任务首先必须解决的问题。实现快速精确的定位是提高机器人性能的关键。

2.1.3　机器人导航

机器人导航是指机器人通过传感器感知环境和自身状态，实现在有障碍物的环境中面向目标的自主状态，主要包括机器人导航的目的、导航的基本任务及导航方式^[58，59]等。

2.1.3.1　导航的目的

机器人导航的目的是让机器人具备从当前位置移动到环境中某一目标位置的能力，并且在这过程中能够保证机器人自身和周围环境的安全性。其核心在于解决所处环境是什么样，当前所处的位置在哪里，怎么到达目的地等问题。

为了使机器人导航行为能够被接受，机器人导航行为应具备舒适性、自然性及社交性等特性^[60]。舒适性是指机器人的导航交互行为不会让人感觉到惊扰或者紧张，舒适性包括机器人导航强调的安全性，但并不限于安全性。自然性是指机器人的导航交互行为能够和人与人之间的交互行为相似，这种相似性体现在对机器人的运动控制上，例如运动的加速度、速度及距离控制等因素。社交性是指机器人的导航行为能够符合社交习惯，从较高层次来要求机器人行为，例如避让行人、排队保持合适距离等。

机器人导航是机器人领域的一项基本研究内容，在所处环境中能够自主运动是机器人能够完成其他复杂任务的前提^[61]。近年来，随着机器人技术和人工智能技术的不断发展，以及整个社会对机器人日益增长的使用需求，学术界和工业界都投入了大量的资源对机器人导航技术进行深入研究和应用探索，使得机器人的导航技术日趋成熟^[62，63]。

2.1.3.2　导航的基本任务

机器人导航的基本任务包括地图构建、定位及规划控制等。地图构建是指机器人能够感知环境信息、收集环境信息及处理环境信息，进而获取外部世界环境在机器人内部的模型表示，即地图构建功能。定位是指机器人在其运动过程中能够通过对周围的环境进行感知及识别环境特征，并根据已有的环境模型确定其在环境中的位置，即定位功能。规划控制是指机器人需要根据环境信息规划出可行的路径，并根据规划结果驱动执行机构来执行控制指令直至到达目标位置，即规划控制功能。

要实现机器人导航的基本任务，必须有配置信息、服务器维护信息及运行信息等支撑^[64]。当机器人执行任务时，其运行所需的配置信息应集中存放在机器人服务器上，机器人运行时需要从服务器获取最新的信息。服务器维护信息主要分为运行信息、配置信息及交互信息等。通常，运行信息必须包括机器人当前的位置、任务状态和硬件状态。配置信息主要包括地理及地图信息。交互信息则主要包括用户交互时的文本信息及语音信息等。

2.1.3.3　导航方式

依据不同的理论和应用，导航方法可以有多种分类。例如惯性导航、路标导航、电磁导航、光电导航、磁带导航、激光导航、检测光栅导航及视觉导航等。

（1）惯性导航

惯性导航是指利用陀螺仪和加速度计等惯性敏感器，通过测量加速度和角速度而实现的自主式导航方法。它是通过描述机器人的方位角和根据从某一参考点出发测定的行驶距离来确定当前位置的方法。该导航方式是通过与已知的地图路线比较进而控制机器人运动方向和距离，使机器人实现自主导航。陀螺仪是机器人惯性导航的一种非常重要的工具，在进行分析测试的时候，可以用其补偿传感器所产生的位姿误差，该导航方式的优点是不需要外部的参考，但随时间的积累，在对其进行积分之后，就算是一个很小的常数，它的误差也将无限增大。

（2）路标导航

按照路标类型不同，路标导航可分为人为路标导航和自然路标导航。路标是机器人从其内部传感器输入信息，并且所能识别出的特殊环境的标志，路标本身具有固定的位置，可以是数学中的几何形状，如三角形、圆形和锥形等。人为路标导航是通过事先做好标记，给安装在环境中专用的机器人进行导航设计，该方式较容易实现，价格低廉，而且还能提供额外的信息，主要缺点是人为地改变了机器人行走的环境。自然路标导航是不对原有环境进行改变，而是通过对周围环境进行自然特征的识别来实现导航，该方式灵活且不改变工作环境。但是路标要经过认真选择、使其容易识别，如此才能将其特征存入移动机器人的内存中并利用其实现导航。

（3）电磁导航

电磁导航是较为传统的导引方式之一，电磁导航是在自动导引车（Automated Guided Vehicle，AGV）的行驶路径上埋设金属线，并在金属线上加载导引频率，通过对导引频率的识别来实现AGV的导引。电磁导航引线隐蔽，不易污染和破损，导引简单可靠，对声光无干扰且成本较低，但是电磁导航致命的缺点是路径难以更改扩展，对复杂路径的局限性大，电磁导航AGV线路埋设时，会对地面造成一定的破坏，即在地面开槽，然后回填，对施工技术要求严格，才能恢复原地面美观要求。电磁导航、光电导航及磁带导航要求传感器与被检测金属线（磁带）的距离必须限制在一定范围内，距离太大将会使传感器无法检测到信号。

（4）激光导航

激光导航是利用激光的不发散性对机器人所处位置进行精确定位以指导机器人的行走。激光导航是伴随激光技术不断成熟而发展起来的一种新兴导航应用技术，适用于视线不良情况下的运行导航、野外勘测定向等工作，将它作为民用或军用导航手段是十分可取的。

在机器人领域，激光雷达传感器被用于帮助机器人完全自主地应对复杂、未知的环境，使机器人具备精细的环境感知能力。经过不断优化，激光雷达传感器目前已经基本实现了模块化和小型化。

例如，激光头安装在机器人的顶部，每隔数十毫秒旋转一周，发出经过调制的激光。收到经调制的反射光时，经过解调，就可以得到有效的信号。通过激光头下部角度数据的编码器，计算机可以及时读入激光器的旋转速度。

在机器人的工作场所需预先安置具有一定间隔的反射板，其坐标预先输入计算机。激光导航需要有很高的水平度要求，否则会影响其精度。

（5）检测光栅

检测光栅是通过安全光幕发射红外线以形成保护光幕，当光幕有物体通过导致红外线被遮挡时，装置会发出遮光信号，从而控制潜在危险设备停止工作或者报警，以避免安全事故的发生。检测光栅导航可以在凹凸不平路面上实现机器人自动导航。

除了上述导航，还有利用颜色传感器导航，颜色传感器是通过将物体颜色同前面已经示教过的参考颜色进行比较来检测颜色，当两个颜色在一定的误差范围内相吻合时输出检测结果，颜色传感器对检测距离的范围有要求。

（6）视觉导航

视觉导航是指计算机视觉导航。由于计算机视觉拥有信息量丰富，智能化水平高等优点，所以近年来被广泛应用于机器人导航中。计算机视觉导航技术关键在于完成路标、障碍物的探测和辨识。主要的优点是其探测信号范围广泛，获取信息完整。计算机视觉导航技术可以从环境地图事先已知、同时定位与地图构建及无环境地图等方面来分类理解。

1）环境地图事先已知

①环境地图的表示方法　目前，环境地图的表示方法多采用栅格地图、几何地图、拓扑地图和混合地图构建环境地图信息。

a. 栅格地图　栅格地图是指将栅格图像视为一矩形，均分为一系列栅格单元，将每个栅格单元赋予一个平均概率值，并利用传感信息估计每个单元内部障碍物的概率。构建栅格地图的优点是其地图表达形式直观，创建和维护比较容易；但当划分的栅格单元数量不断增多时，实时性就会慢慢变差；当划分的栅格单元越大时，环境地图的分辨率越低。

b. 几何地图　几何地图是指利用几何特征如点、直线、平面等来构成环境主要框架，且需要知道这些特征在环境中具体位置的信息，所以几何地图通常使用其对应的三维空间坐标来表示。几何地图构建过程相对简单，保留了室内环境的各种重要信息，是基于计算机视觉的定位与地图构建算法中最常用的一种表示方式。但是为了完成环境的建模需要标记大量的特征，从而计算量也非常大，降低了实时性，重建的地图也容易出现与全局不一致的情况。

c. 拓扑地图　拓扑地图是指用许多节点和连接这些节点的曲线来表示环境信息。其中，每个节点对应真实环境中的特征点，而节点之间的曲线表示两个节点对应的地点是相连通的。拓扑地图把环境信息表示在一张线图上，不需要精确表示不同节点间的地理位置关系，图像较为抽象，表示起来方便且简单。机器人首先识别这些节点，进而根据识别的节点选择节点与节点间的曲线作为可作业的路径。

d. 混合地图　混合地图主要包括栅格-几何地图、几何-拓扑地图以及栅格-拓扑地图等。混合地图是指采用多种地图表示，可结合多种地图的优势，与单一的地图表示相比更具有灵活性、准确性和鲁棒性，但不同类别的地图结合起来管理会比较复杂，难以协调，增加了地图构建的难度。

②环境地图事先已知导航　在环境地图事先已知的导航中，路标信息保存在计算机内存的数据库中，视觉系统中心利用图像特征直接或间接向移动机器人提供一系列路标信息，一旦路标被确定后，通过匹配观察到的图像和所期望图像，机器人借助地图实现自身精确定位和导航。

目前，环境地图事先已知导航技术多依赖于环境地图信息。提前对外界环境特征进行提取和处理，建立全局地图，并将地图信息存储在机器人内存数据库中，在导航的时候实时进行地图匹配，即预存环境地图。

该导航技术过程可分为以下步骤^[65]。

a. 图像获取　图像获取是指通过摄像头获取其周围的视频图像。

b. 路标识别及检测　路标识别及检测是指利用相关图像处理算法对图像进行一系列预处理，如进行边缘检测和提取、平滑、滤波及区域分割等。

c. 路标匹配标志　路标匹配标志是指在观察到的图像和所期望图像之间进行匹配，搜索现有的路标数据库进行标志路标。

d. 位置计算　位置计算是指当有特征点进行匹配时，视觉系统会根据数据库中的路标位置进行自身精确定位和导航。

2）同时定位与地图构建　同时定位与地图构建（Simultaneous Localization And Mapping，SLAM）是指在自身位置不确定的情况下，根据自身的摄像头获取周围未知环境信息，在作业时逐步构建周围的环境地图，根据构建的增量式地图自主实时定位和导航^[66，67]。同时定位与地图构建即不知起点、不知地图。

3）无环境地图　在无环境地图系统中，机器人不需要依赖任何的环境地图信息，机器人的活动取决于其当时识别和提取出来的环境信息，不需要知道这些环境元素的绝对位置。无环境地图的导航技术包括基于光流的导航技术、基于外观信息的导航技术、基于目标识别的导航技术和基于目标跟踪的导航技术等。

①基于光流的导航技术　光流是三维空间运动物体在观测成像面上的像素运动的瞬时速度，也是图像亮度的运动信息描述。基于光流的机器人导航，其最基本的思想就是测量两侧“眼睛”拍摄到画面场景变化速度之差，从而对机器人的位置进行判断和分析。

②基于外观信息的导航技术　基于外观的机器人导航技术，不需要构建真实的地图导航，机器人通过自身所携带的摄像头和传感器感知周围目标的外观信息进行自主定位和导航。其中，所述的外观信息多为目标的颜色、亮度、形状、空间大小和物理纹路等。机器人在导航时存储连续视频帧的环境图像信息，并将连续视频帧与控制指令相关联，再执行指令规划有效路径到达目的地。

③基于目标识别的导航技术　目标识别是指一个特殊目标（或一种类型的目标）从其它目标（或其它类型的目标）中被区分出来的过程。它既包括两个非常相似目标的识别，也包括一种类型的目标同其他类型目标的识别。为了达到目标点或是识别目标，机器人很多时候只能获取少量的图像信息。基于目标识别导航技术是指用符号代替导航各个位置的赋值方法。该导航技术的难点在于是否可以准确实时地进行路标识别。

④基于目标跟踪的导航技术　基于目标跟踪的导航技术是指为机器人构造一个虚拟地图，机器人通过摄像头获取连续的视频序列来确定一个跟踪的目标，以达到对目标的精确定位和实时跟踪。

2.1.4　机器人受力与驱动

机器人关节受力与驱动负载，从根本上取决于机器人机构及结构形式。如何控制机器人的各个关节并使其末端表现出一定的力或力矩是机器人进行自动加工的基础。

（1）机器人机构

机器人机构是指由转动副、移动副以及圆柱副等组成的串联、并联和混联机构，其常用结构类型有数十种之多。以串联机器人为例，当串联机器人为固定构型时，通常为特定的工作设计，如高精度的工业生产、大量的重复性工业作业等，在工作阶段固定构型机器人的结构不再发生改变，但其受力、整体刚性及工作灵活性受到很大限制。

如图2-11所示为串联机器人机构示意图，该机器人为四自由度、重载型。串联机器人机构具有工作空间大、结构紧凑、灵活性好等优点，但机械臂的串联形式也使其整体刚性存在不足，并且当机器人末端负载完全由关节处的伺服电机分担时，增加了机械臂的驱动功率及能耗。对此，机器人大臂和小臂常放弃实体固定结构，而采用平行四边形活动框架结构。当机器人大臂和小臂均采用平行四边形框架及对角线驱动的结构形式时，平行四边形框架则可以起到平衡外部弯矩的作用^[68]。

图2-11中机器人本体包括回转单元、大臂、小臂及腕部等部分。机械臂可以实现水平和竖直方向两个自由度运动，机械臂及腕部可绕立柱回转，机器人腕部具有俯仰及摆动两个自由度，用于调整机器人末端姿态。与机械臂实体结构形式不同，该机器人大臂和小臂均采用平行四边形活动框架结构，由对角线电动缸驱动的结构形式，通过控制平行四边形对角线上的电动缸的伸缩运动，实现机械臂的水平和竖直运动。

1）大臂　大臂关节的位置和姿态影响着机械臂末端的受力与驱动。大臂推杆的结构如图2-12所示。

图2-12中，电动缸由伺服电机经安全离合器驱动滚珠丝杠做回转运动，滚珠丝杠经预压型双螺母将旋转运动转换为螺母及推杆的直线运动，通过缸体内壁加工的导向槽限制螺母的回转自由度。电动缸中的滚珠丝杠传动副采用双螺母预加载荷的方式来消除反向传动间隙并提高滚珠丝杠的刚度。

2）基座　机器人操作过程中，电机启动会引起基础部件振动、基础部件带动基座产生弹性振动等。由于基座与臂杆间存在着耦合关系，所以易造成末端轨迹偏差。为了提高机器人精度，设计基座结构时应加以考虑，基座提供回转运动，如图2-13所示。

图2-13中的两台伺服电机与蜗杆分别对称布置在蜗轮的两侧并共同驱动蜗轮转动，蜗轮通过回转轴带动机器人立柱完成回转动作。采用双电机驱动的结构形式，可通过双电机主动消隙控制来消除蜗轮蜗杆副的传动间隙，以提高回转运动精度。此外，通过蜗轮蜗杆的大传动比可以实现减速的功能。当考虑基座的传动误差时，可采用级联控制法，抑制关节空间机械臂基座与关节的双重振动。

3）腕部　腕部的结构决定了腕关节的活动空间，是衡量腕关节工作性能的重要指标。其结构示意图如图2-14所示。

腕部结构基于差动原理设计，其传动示意图如图2-15所示。

图2-15所示传动原理主要由第一差动输入、第二差动输入及差动输出三个部分组成。第一差动输入包括蜗杆、蜗轮及锥齿轮；第二差动输入与第一差动输入关于U形支承对称并安装于U形支承件的外侧；差动输出部分主要包含锥齿轮及摆轴。

通过控制两侧蜗轮的转动使得腕部实现俯仰轴及摆轴两个自由度的回转运动，也可以采用消隙控制实现无间隙传动。由于腕关节机构本身的结构特点，使得运动受到约束，为实现腕部传动部件的合理布置并保证传动零部件工作在封闭空间内，支承件内外两侧锥齿轮与蜗轮分别通过传动轴和中空传动轴连接，其轴向位置均可通过套筒进行调整。

针对机器人各关节，应设计必要的防护环节。例如，机械臂做相对回转运动的大臂、小臂等杆件间均通过密封圈实现密封；关节转动副外部采用端盖密封，以实现对回转关节内部轴承的防护；电动缸的推杆伸出部分可采用褶皱保护罩进行完全防护，以有效地避免推杆暴露在外导致污物、异物等进入电动缸，影响滚珠丝杠的使用寿命。

（2）机器人受力及功率分析

机器人驱动为机器人发出动作提供动力。以串联机器人为例，分析机械手臂的驱动功率，其串联机器人结构及工作空间布置如图2-16所示。

该机器人采用平行四杆机构，刚性好，负载能力强。参数要求包括：机器人小臂运动角度，小臂对角线上电动缸与水平方向倾斜角，大臂与水平方向的俯仰运动夹角，大臂对角线上电动缸与水平方向倾斜角及机器人水平方向可以到达的距离或空间范围等。机器人结构及工作空间的主要参数如图2-16所示。

1）机器人大臂和小臂与外部载荷关系　机器人大臂和小臂对角线电动缸所受载荷F_DE、F_AC与外部载荷关系可表示为式（2-61）。

　　（2-61）

式中，θ₁、θ₂、θ₃、θ₄为杆件之间夹角；G为重力负载。

平行四边形框架杆件的受力与外部载荷关系为式（2-62）。

　　（2-62）

式中，F_i为杆件i作用力；M_e为外部弯矩；L_AB为杆件AB长度。

由式（2-61）可得到大臂和小臂电动缸／电机驱动转矩T_DE、T_AC与外部载荷的关系，为式（2-63）。

　　（2-63）

式中，p_AC，p_DE分别为小臂和大臂的丝杠导程；η₁，η₂分别为小臂和大臂的丝杠传动效率。

2）机器人大臂和小臂的驱动功率　机器人大臂和小臂的驱动功率可以表示为式（2-64）。

　　（2-64）

其中

　　（2-65）

式中，v_B，v_S分别为大臂和小臂电动缸伸缩速度；ω_B，ω_S分别为大臂和小臂的角速度；L_DF，L_AD分别为大臂和小臂的长度。

3）机器人驱动能耗　上述串联机器人，若忽略功率损失等因素，在连续工作时间段（0～T₀）内，机器人驱动能耗可以表示为式（2-66）。

　　（2-66）

当该机器人具体参数给定时，则可以据此公式得出相应数值。

4）机器人驱动功率　以四自由度机器人为例讨论其驱动功率的计算。设四自由度机器人结构如图2-17所示。

图2-17中机器人为四自由度，多用于搬运、码垛等场合，当用于重载时需考虑其大小臂驱动与承受能力。

根据图中机器人的结构关系，对应其小臂及大臂的驱动转矩可以表示为式（2-67）。

　　（2-67）

式中，l₁，l₂分别为大臂和小臂长度；φ₁，φ₂为杆件之间夹角。

小臂及大臂的驱动功率可以表示为式（2-68）。

　　（2-68）

式中，n_S，n_B分别为小臂和大臂的转速。

机械臂驱动负载所需消耗的驱动能量为式（2-69）。

　　（2-69）

当该机器人具体参数给定时，则可以根据式（2-69）得出相应数值。

需要说明的是，计算机器人关节受力及驱动时不要忽视机器人结构的影响，即由机器人结构带来的误差影响。

①平行四杆机构误差　在进行分析时将四杆机构作为理想的平行四边形，但由于杆件加工装配误差，四杆机构并不是理想的平行四边形，对于非理想的平行四边形结构，关节的实际转角与模型将存在偏差。同时，机器臂的自重也将造成关节的转角误差。因此，对于含平行四杆机构的机器人，关节处的转角误差既包含四杆机构的传动误差，又包含杆件自重及外加负载导致的柔性误差。

②传动误差　由于各杆件在加工装配时存在误差，实际的平行四杆机构与理想模型存在着偏差，因此被动转角与主动转角的关系也将存在偏差。而且，由于被动关节转角是通过主动关节转角计算得到，主动关节的转角误差也将传递至被动关节的转角上。

③柔性误差　杆件自重的力矩作用在关节转轴上引起柔性误差。

④末端关节误差。