1.2.1　无领航者的一致性

无领航者一致性问题是指MAS中所有个体具有同等的地位，个体通过局部信息交互实现整体状态的统一。如果这个统一的状态是静止的，则称之为会合（Rendezvous），控制目标为：

式中，x_i∈ℝp为个体i的状态，表示所有个体的集合。如果MAS的最终状态是运动的或者时变的，则称之为聚结（Flocking），其控制目标为：

从控制目标可以看出，会合是聚结的一种特殊情况。针对连续一阶积分器系统，文献［1］首先对无领航者一致性问题做出了科学的解释，设计控制算法如式（1-2）。研究表明，MAS能否实现一致性和通信拓扑有很大的关系，文献［10］利用一种构造方法，证明了如果通信拓扑图含有一个有向衍生树，则MAS可实现渐进一致性。对于一阶积分器系统的无领航者一致性研究主要集中在通信拓扑切换和时延上，如文献［11-15］等。另外，文献［16］对同时含有时变时延和网络切换的情况进行了研究，得到了实现一致性的充分条件。对于离散系统，文献［1］、［12］和［13］等分别进行了研究，控制协议可归纳为：

　　（1-3）

式中，β_ij［k］=1，β_ij［k］>0，∀j∈_i［k］∪{i}。其实质是利用个体当前状态和其相邻个体状态的均值来更新下一时刻的状态，如果个体在某一时刻没有相邻个体与之通信，则保持原来状态不变，最终通过迭代使系统状态趋近于由x₁=x₂=…=x_n刻画的空间。

文献［14］和［15］等将一阶积分器系统的结果推广到了二阶积分器系统，如式（1-4）所示：

　　（1-4）

设计的分布式控制器为：

　　（1-5）

研究表明，对于二阶积分器系统，通信拓扑中含有有向衍生树这一单一条件并不能保证无领航者一致性的实现［15］。在此基础上，文献［17］基于频域分析方法，给出了进一步的结果：通信拓扑的Laplacian矩阵，尤其是Laplacian矩阵特征值的实部和虚部对于系统的稳定性发挥了重要的作用。同时，该文献给出了控制器实现一致性的充分条件。不仅要求通信拓扑中至少包含一个有向衍生树，而且对协调算法式（1-5）中的参数α和β有如下要求：

　　（1-6）

式中，I_m和R_e分别表示特征值的虚部和实部；μ_i为Laplacian矩阵的非零特征值，i=2，…，n。对于同时含有时延和网络切换的情况，文献［18］设计了如下分布式协调算法：

　　（1-7）

式中，k>0，>0为恒定时延，并运用LMI方法得到了一致性的充分条件，该条件依赖于各时刻通信拓扑的构型和时延的大小。

在线性一阶和二阶积分器MAS系统研究成果基础上，文献［19-22］等对更为一般的线性MAS系统进行了研究，即

　　（1-8）

式中，A、B、C为满足一定条件的常数矩阵，对于此类系统的研究焦点集中在设计反馈控制律使得输出状态y_i达到一致性。容易发现，一阶或二阶积分器系统是式（1-8）的特殊形式。

对于非线性系统的无领航者一致性问题，也有很多文献进行了研究，比如，针对非线性振子［23］：

　　（1-9）

式中，θ_i∈ℝ和w_i∈ℝ分别为振子i的相位和频率，K为控制增益。研究表明，通常情况下，K的取值对系统的稳定性有重要的影响。

文献［25］、［24］和［26］等针对非完整移动机器人的聚结问题进行了研究，其动力学方程为：

　　（1-10）

式中，［x_i，y_i］为个体i的位置信息；w_i和u_i为系统的转动速度和平动速度。由于此类系统有三个状态、两个输入，动态方程为欠驱动系统，所以给一致性算法的设计和分析带来了困难。

针对更为一般的复杂非线性网络系统，如式（1-11）所示：

　　（1-11）

式中，x_ι∈ℝp为个体i的状态；f：ℝn→ℝn为非线性向量函数；=（a_ij）为外部关联邻接矩阵，如果个体i和个体j相连通，则a_ij=1，否则a_ij=0。Γ表示系统内部各状态分量之间的铰链关系，文献［27-29］等对此类问题进行了深入的讨论。

另外，对于本书的研究对象，即非线性EL系统（动力学模型将在第2章给出），其无领航者的一致性问题也受到了广泛的关注，文献［35-40］等运用无源性理论、收缩理论、Matrosov理论和Lyapunov稳定性理论等对该问题进行了研究。

需要指出的是，文献［30-34］等研究了信号均值跟踪问题，这类问题假设每个个体都有一个时变的参考量信号，用r_i（t）表示，个体i的状态用x_i（t）表示。均值跟踪问题的控制目的是所有个体状态x_i（t）趋向这些参考量信号的均值，即

本书也将此类问题归为无领航者一致性问题。