1.4.3　蒙提霍尔的三门问题

让我们来看看第二个例子，它叫三门问题，又称蒙提霍尔问题，出自20世纪美国电视节目《让我们做笔交易》中主持人蒙提霍尔提出的一个问题。这个节目有一个紧张刺激的大奖选择环节：参赛者要在三扇关着的门前做出选择。门后分别藏着一辆汽车和两只山羊，如果参赛者打开了藏有汽车的门，就可以立即赢走汽车。

整个流程是这样的：首先，参赛者选择一扇门。随后，蒙提霍尔会打开剩余两扇门中的一扇，展示门后的山羊。在排除了一个错误选项后，参赛者有权选择是否换门，一旦确定换门或放弃了换门机会，被选择的门就会被打开，答案揭晓。在整个过程中，引起民众热议和讨论的就是主持人的这个问题——参赛者是否应该选择换门？改用统计学的问法：换门是否会增加赢走大奖的概率？

有人认为，既然已经打开了一扇门，那么剩下两扇门中是山羊和汽车，两者出现的概率是一样的，与节目之前的流程没有任何关系。无论怎么选择，选对的概率都是二分之一。当时持有这种观点的人不在少数，其中不乏来自数学或科学研究机构的专家和学者。

不过这个推论是错的，因为主持人开门的动作并不是一个随机事件。由于主持人提前确认过门后的信息，因此他的开门事件符合条件概率。所谓条件概率，可以理解为它是某些特定条件下的概率。在三门问题中，这个“特定条件”是由主持人造成的，他开门的动作人为地产生了影响最终结果的信息。

如果你能理解这点，那么让我们重新从参赛者最初的选择开始推演：如果参赛者一开始选中汽车，这个概率是1/3，那么他选择换门后，赢得大奖的概率是0。如果他一开始选中山羊，这个概率是2/3，那么在排除了另一扇有山羊的门后，只要选择换门，他赢车的概率就是1。因此，无论如何他都该选择换门，因为换门后他有2/3的概率赢走汽车。

关于到底是1/2还是2/3，在当时引发了民众的激烈讨论。其中的关键就是，主持人是知道门后的信息的，他一定会有意地打开背后有山羊的那扇门。在这种情况下，换门后赢得汽车的概率就不是对半开。如果主持人随机打开一扇门，碰巧看到了山羊，那么这时选择换门赢车的概率才是1/2。

这个故事还有类似的案例。法国数学家贝特朗在他关于概率的书中提到了贝特朗盒悖论。他设想有3个盒子，一个盒子中有两枚金币，另一个盒子有两枚银币，还有一个盒子中有一枚金币、一枚银币。随机抽取一个盒子，可以知道这个盒子中有两枚相同硬币的概率是2/3。但是如果我们从这个盒子里拿出一枚硬币，看后确认是金币，那么这个盒子只可能是以下两种情况之一：要么有两枚金币，要么是一枚金币和一枚银币。既然任何一个盒子被选中的概率都是相同的，那么似乎看上去，我们拿到有相同硬币的盒子的概率从2/3下降到了1/2。如果我们一开始拿出的是银币，那么也可以做出同样的推导。

原本盒子里有两枚相同硬币的概率是2/3，为何一打开盒子就改变了它的概率呢？这是因为当我们拿出金币时，其实已经确认了一些事情——知道了它是来自哪两个盒子，但这个信息是额外获得的。如果要得出盒子中两枚相同硬币的概率，就必须把取出的金币是来自哪个盒子的概率也考虑进去。从有两枚金币的盒子中拿出金币，和从有一枚金币和一枚银币的盒子中拿出金币的概率是不同的。前者随便怎么拿都能拿出金币，后者拿出金币的概率只有1/2。我们不能忽略这个额外信息背后隐藏着的条件概率。

概率关注的是未知事件发生的可能性，一旦某个事件被确认过，它就不再是未知的。面对黑盒时，我们不能确定的是两枚硬币的分布情况。而当我们拿出其中一枚硬币查看时，已经人为地把一枚不确定的硬币变成了确定状态，此时概率的“前提条件”就变了，一些未知的事件变成了已知。

概率问题之所以有时反直觉，是因为它要根据不同的前提或假设做出不同的推算。我们必须认识到，获取信息的方式和信息本身同样重要。一旦我们使用了一些非随机的方式去干预或影响本该随机发生的事件，概率也就会随之发生变化。