2.3 旋转机械的平衡
2.3.1 旋转机械的阶次
描述结构的固有频率或模态时通常用阶，而描述旋转机械时通常用阶次。阶次是结构旋转部件因旋转造成的振动或（和）噪声的响应，阶次响应与转速和转频之间有对应关系。确切来说，阶次是转速或转频的倍数，对转速保持不变。独立于轴的实际转速，是参考轴转速的倍数或者分数。而结构的振动噪声响应通常出现在转速的倍数或者分数处，也就是阶次处。
阶次一定是针对旋转结构而言的，只有当结构处于旋转激励时才谈阶次，也经常将阶次简称阶，但并非描述结构固有属性所说的阶。确切来讲，频率是指振动噪声每秒发生的次数，而阶次是指旋转机械中结构的振动噪声每旋转一周所发生的次数。
在计算阶次时，将实际测量的转速设置为第1阶次，其他旋转部件的阶次通过结构之间的转速传递关系（传动比）确定阶次数。假设参考轴的转速为R（r/min），阶次数为K，K阶次的频率为fK，则有如下关系
2.3.2 单面平衡
由于加工误差而造成装在轴上的圆盘形零件的质心偏离转动轴时，称零件是静不平衡的。要确定零件是否平衡，应首先将转动轴安装在两个低摩擦轴承上，如图2.8a所示。转动圆盘，经过一段时间停下来后用粉笔在轮缘的最低点处做上标记。重复上述过程，如果圆盘是平衡的，则标记点在轮缘上是随机分布的；如果圆盘不平衡，这些标记将是重合的。
静不平衡可以通过在粉笔标记处去除质量或在其间隔180°处增加质量来消除。因为要去除或增加的质量都是针对一个平面进行的，这种方法称为单面平衡。如图2.8b所示，圆盘角速度为ω，测量轴承上的反作用力F1和F2，可以求出不平衡量m和其到圆盘中心的距离r：
图2.8 单盘转子的平衡
图2.9说明如何借助振动分析仪进行单面平衡，图中旋转轴承支承于A处，由电动机驱动以恒定的角速度ω转动，端部固定一个砂轮（圆盘）。
图2.9 利用振动分析仪对单盘转子进行平衡评定
如图2.10所示，测量之前分别在转子和支座上面做参考标记。将拾振器与轴承相连（见图2.9），调整振动分析仪的频率和转动角速度一致。转子的不平衡产生的振动信号（位移幅值）由分析仪表盘读出，频闪观测光被振动分析仪以转子的转动频率射出。当转子以角速度ω转动时，转子上的参考标记在频闪观测光的照射下看起来就会固定在某一位置不动，但由于响应的相位滞后，它与定子上的相位标记有一个夹角θ，如图2.10b所示。这样由初始不平衡产生的相角θ和振幅Au都被振动分析仪测得。然后关闭电动机，待转子停止转动后，在转子上加上一个已知的实验载荷W（见图2.10b），再测量由于原始不平衡和实验载荷产生的新的相角ϕ和振幅Au+w，如图2.10c所示。
图2.10 参考标记线
可以通过矢量图来确定圆盘平衡所需校正质量的大小和位置。如图2.11所示，对应初始不平衡的矢量为Au，方向任意，长度为Au。初始不平衡和实验载荷对应的矢量为Au+w，其与Au夹角为ϕ-θ，长度为Au+w。则Aw=Au+w-Au对应W产生的不平衡量。Aw的大小为
已知实验载荷W的大小及其相对于初始不平衡的方向（见图2.11中的α），则初始不平衡量与实验载荷的夹角为α，如图2.10d所示，由余弦定理得
图2.11 由于实验载荷W引起的不平衡
初始不平衡量的大小为W0=（Au/Aw）W，到圆心的距离与实验载荷相同。初始不平衡量的位置和大小确定之后，就可以添加校正质量使砂轮平衡。
2.3.3 双面平衡
如果转子的形状为图2.12所示的一个细长刚体，那么沿转子长度的任何一部分都有可能有不平衡。可在任意两个平面上增加平衡质量使转子平衡，通常选择两个端面。
图2.12 转子的双面平衡
如图2.13a所示，在距右端面l/3处有一不平衡量m的情况。当转子转速为ω时，不平衡量产生的离心力为F=mω2R（R为转子的半径）。不平衡量m可以转化为转子端面上的两个等效质量m1和m2，如图2.13b所示。m1和m2在转子上产生的离心力与力F等效，且两种情况下的力矩等效，则
故m1=m/3,m2=2m/3。因此任何不平衡量都可以由两转子端面上的等效质量来替代。
下面讨论如何使用振动分析仪来实现双面平衡。图2.14中，用左、右两个端面上的不平衡量UL和UR来代替转子总的不平衡量。当转子以速度ω转动时，在轴承A和B上测量由初始不平衡量产生的振幅和相位，结果分别记作VA和VB。矢量的大小表示振幅，方向是通过示速器观测到的相角（与定子上标记线的夹角）的负值。矢量VA和VB可以表示为
式中，Aij为平面j（j=L,R）处的不平衡对轴承i（i=A,B）处振动的影响系数。
在左端面上确定的角度上增加已知载荷WL，当转子转速为ω时在两轴承上测量振动的振幅和相位。将测得的数据表示为矢量形式：
图2.13 用两个等效不平衡质量代替一个不平衡质量
图2.14 双面平衡
从式（2-111）中分别减去式（2-110），化简后得
去掉WL，并在右端面确定的角度位置增加已知载荷WR，转速为ω时测量由WR引起的振动为
将式（2-113）分别减去式（2-110），化简得
只要矢量算子Aij已知，就可以由式（2-110）求出矢量UL和UR：
这样，转子就可以通过在不同的平面上增加等值反向的平衡质量来实现平衡。在左、右两平面上需要增加的平衡量可以用矢量表示如下：
BL=-UL,BR=-UR