自然数＞＞
几千年来，人类都在尝试建立数与物的对应关系，现代对数字的定义便是建立在这种实践之上。一旦人类学会计数，这种实践就显得“自然而然”了。或许正因如此，我们才把自然数称作“自然”数。
事实上，数字的概念一点也不“自然”。最早出现的语言中并没有表示抽象数字的名词，只有表示相同数量的名词。生活在亚马孙森林里的一些民族，比如皮拉罕人，他们仅有一些表示近似数的概念，他们能数到2，遇到更大的数目，就只能用一个表示“很多”的词语。再比如蒙杜鲁库人，他们有表示1到5的词语，但是都被当作形容词来使用，计数时，他们会用“少”和“多”来表示。
自然数是如此不“自然”，因此，19世纪末20世纪初的数十年里，对于自然数的定义，一些最伟大的数学家和逻辑学家莫衷一是，众说纷纭。比如，1887年，身为数学家和生理学家的赫尔曼·冯·亥姆霍兹[1]认为，计数是“一种完全基于心理因素的行为”。在分析从一个数字过渡到下一个数字时，他发现这个过程依靠的是一个心理因素，“当一系列有意识的行为相继发生时，我们能够记住这个顺序”。接着，亥姆霍兹还谈到康德，“时间顺序构建了我们内在直觉的必然形式”。在他看来，数字的概念建立在这种时间顺序上。
逻辑学家戈特洛布·弗雷格[2]的想法则恰恰相反。弗雷格提出异议：“算术与感觉没有丝毫关系，跟脑中的图像也没有多大关系。”亥姆霍兹的观点会“把一切都主观化”，最终会“破坏真相”。在弗雷格看来，算术根本不是什么主观科学，而是“一种发达的逻辑”。只有用“纯逻辑的规律”才能定义自然数，这种规律中也体现了一一对应的关系。弗雷格将数学逻辑化的立场，在20世纪得到了罗素的继承和系统化的发展。
《数是什么？数应当是什么？》是另一个数学家——理查德·戴德金[3]1888年出版的一本小册子的书名，也是他从那时起就一直在思考的问题。他给出的回答是：“数是人类心灵的自由创造。”数学家只是在研究数的特性。
戴德金认为，数字科学依靠的是人类可以“使事物与事物之间产生联系”的能力，如果没有这种能力，“人类通常就无法思考”，就连天数也计算不了，或许只能像鲁滨孙在荒岛上那样算日子。戴德金首先讨论了元素的系统和系统的映射，以表现自然数的序列特点。他认为，思维中的不同事物可以在头脑中发生联系，形成一个系统，反之亦然，系统中的每一个元素都明确联系着思维中的一个图像、一个事物。通过讨论系统的概念和性质，戴德金用四个条件（或者说公理[4]）推导出了自然数的结构特征，以公理的形式建立了自然数的序列。
第二年，数学家、逻辑学家朱塞佩·皮亚诺[5]用拉丁语发表了《算术原理：用一种新方法的说明》（1889年）。在这本书中，他介绍了一个自然数的公理集合。他本人也承认，这个公理集合与戴德金的公理大致重合，尽管这个研究成果是他独立获得的。不同之处在于，戴德金将系统的概念和一一对应关系作为出发点，而皮亚诺将集合或者说特性、自然数、1和后继数的概念作为讨论的基点。一个自然数a的后继数指的是按自然顺序排在a后面的数字。因此1的后继数是2，2的后继数是3，以此类推。皮亚诺公理如下：
因此，皮亚诺并没有给出自然数的定义，而是用一个公理的集合规定了自然数序列的重要特性。这些公理至今仍被数学家们所采用。
可是，你们不觉得少了点什么吗？你们也许会注意到，在皮亚诺公理中，在刻有古巴比伦数字的黏土板上，在中文数字、罗马数字、古印度的婆罗门数字和笈多王朝使用的数字中，自然数序列的起始数字，并非我们如今会习惯性想到的0，而是1。皮亚诺后来也发现了这一点。这似乎暗示着0扮演了一个特殊的角色，正如独特的历史迎来宿命的时刻——0登上了数学的舞台。
注释：
[1]赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz，1821—1894），德国物理学家、数学家、生理学家、心理学家。
[2]戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，1848—1925），德国数学家、数理逻辑学家，是数理逻辑奠基人之一。
[3]理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831—1916），德国数学家，近代抽象数学的奠基人。
[4]公理，即根据经验，而不是逻辑推导获得的结论。
[5]朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano，1858—1932），意大利数学家、逻辑学家、语言学家。