引语
爱丽丝笑着说：“根本不用试试看，没人会相信不可能的事。”
白棋王后说：“我敢说，你没怎么练习。我像你这么大时，每天都要练习半个钟头。有时候，光是早餐之前，我就可以相信六件不可能的事。”[1]
——刘易斯·卡罗尔，《爱丽丝镜中奇缘》1
1王安琪译本。——译者注
“一切皆有可能。”家长、教练、励志演讲人，还有政治家们都会使用这句老生常谈。夸张的新闻媒体总是在提醒我们，有些人做到了不可能的事。这也是很多人的人生信条。
1904 年 6 月 24 日，后来发明了液体燃料火箭的罗伯特·戈达德在他的高中毕业典礼上做了如下的告别演讲 [2]：
“在科学中，我们意识到自己还过于无知，所以并不能轻易宣扬某事是不可能的。同样，对于个人来说，因为我们不知道一个人的极限所在，所以很难言之凿凿，说他一定可以或不可以做到某事……昨天的梦想，常常被证明是今天的希望，以及明天的现实。”
不过，某些事的确是不可能的。数学可以证明这一点。无论一个人有多聪明，有多不屈不挠，或是有多少时间，有些事情就是做不到。本书讲述的故事和四个不可能问题有关，它们被称为“古典问题”：化圆为方、倍立方、作正多边形和三等分角。它们称得上是数学史上最著名的问题。
在几何课上，学生们会学习使用欧几里得工具：用来画圆的圆规，和用来画线的直尺（图 I.1）。
图 I.1 圆规和直尺
他们会学习很多基本作图，例如作角平分线、作等边三角形或者作中垂线。古典问题乍一看就和这些问题一样简单，但实则不然。作角平分线需要用圆规画三条弧，然后用直尺画一条线；图 I.2 展示了如何把一个 120°角分为两个 60°角。但是用相同的工具画出三等分 120°角的两条射线却是不可能的，无论是多么聪明的几何学家也不可能在此基础上作出一个 40°角。因此，（1）三等分任意角是不可能的。一个九条边都相等的九边形，也叫作正九边形。因为正九边形的中心和两个相邻顶点构成的角是 360°/9 = 40°，所以尺规作正九边形也是不可能的。因此，（2）尺规作任意正多边形也是不可能的。
图 I.2 尺规可以二等分 120°角，却不能三等分它。因此，尺规作正九边形是不可能的
类似地，（3）已知线段 
，我们不可能作出线段 
，使得边长为 长度的立方体体积是边长为 长度的立方体体积的两倍；亦即，倍立方问题是不可能的。最后，（4）化圆为方也是不可解的：给定任意圆，不可能作出和其面积相同的正方形。
值得一提的是，这四个问题都不是实际问题。没有人需要一个作 40°角或是正九边形的方法。几何课的学生完全可以用他们书包里的量角器来画 40°角。制图工或者数学家也有别的工具来解决这些问题。聪明的工匠更是发明了无数的技巧来获得尽可能精确的近似解。
事实上，这些问题不仅不是实际问题，甚至都不是实际存在的问题。它们都是理论问题。比起作图方法，更重要的是证明这些作图方法正确地完成了它们的任务。我们如何才能知道作出的角平分线真的二等分了一个角呢？这就需要理论数学来解答了。公元前 300 年的巨著——欧几里得的《几何原本》，是古希腊时代乃至之后数百年间几何学的第一手资料。欧几里得在《几何原本》中以五条公设为基础构建了全部的几何学。头三条公设都是与尺规相关的公理。第一公设阐明，我们可以用线段连接任意两点。第二公设则称我们可以向端点外延伸这条线段。第三公设认为给定圆心和圆上一点可以作圆。欧几里得写道 [3]：
有如下公设：
- 从任意一点到另外任意一点可作直线；
- 一条有限直线可以任意延长；
- 给定任意中心及任意距离可以作圆。
因此，欧几里得的几何学就是以直线和圆为基础的。尺规则被用来实践书中的几何方法。
古典问题对于古希腊人来说极富挑战性。当时最顶尖的数学家们对此进行了大量的研究。数学史学家托马斯·希思爵士称这些问题“至少在三个世纪中都是（古希腊）数学家们的焦点”。[4]
古希腊人知道，只要能改变规则，这些问题就是可解的。如果除了尺规，他们还可以用抛物线，或者双曲线，抑或是某种新型机械作图工具呢？这类变种还有很多。例如，阿基米德（约公元前 287—公元前 212）证明，如果直尺上有两个刻度，他就可以三等分任意角。我们会在后文中介绍许多使用额外工具的新颖解法。
古典问题令数学家们无法自拔。两千多年间，许多最重要的数学进展都和这些问题有直接或间接的关联。如果要列举对古典问题的研究做出贡献的数学家，那就要写出一本数学界的名人录了。关于化圆为方问题，欧内斯特·霍布森在 1913 年写了下面这段话 [5]。当然，这段话也适用于其他古典问题。
当我们回顾往事，回顾这一问题的整个历史，才能领会到它的困难。在每一个时代，受限于当时可用的手段，我们也只能推进到某一程度。我们可以看到，当新的技术被发明时，新一代的思想家们是如何从新的角度来进一步研究这一问题的。
尽管千百年来人们都在研究这些问题，但它们直到 19 世纪才被证明不可解。人们花费了两千多年才得出证明，有如下几个原因。首先，数学家们必须先意识到它们不可解，而不是很难解。其次，他们必须明白，证明一个问题不可解这件事是可能的。这听上去有些令人惊讶，但我们可以用数学来证明某事在数学上是不可行的。最后，数学家们必须要发明出能证明不可能性的数学工具。这四个古典问题都是几何问题，但它们不可能性的证明却并非源自几何。这些证明需要代数以及对于数的性质的深刻理解。这里的数不仅是整数，还包括有理数、无理数、代数数、超越数和复数。而直到古希腊时代结束之后很久，人们才有了代数，并且对实数和复数有了足够的理解。
随着代数进一步发展，数学家们开始把它应用到古典问题中。弗朗索瓦·韦达（1540—1603）、勒内·笛卡儿（1596—1650）还有卡尔·弗里德里希·高斯（1777—1855）都为解决古典问题做出了贡献。但是在这四个不可能性证明中，三等分角、化圆为方和作正多边形问题的解决都要归功于同一个人。令人悲哀的是，这个人英年早逝，知名度也远不如上述几位数学家。他就是法国数学家皮埃尔·汪策尔（1814—1848）。1837 年，他在一篇 7 页长的论文中证明了一些初步性的结论，然后把这些结论应用到了古典问题中。最后，他在可能是数学史上最伟大的一页中，证明了这三个问题均不可解。
而第四个问题化圆为方，就有些与众不同了。它是古典问题中最著名的一个，也是最后一个被证明不可解的。尽管几何和代数都取得了足够的进展，能够证明其他三个问题的不可能性，化圆为方却仍有一个问题亟待解决，那就是对 
的本质的理解。如果一个圆的半径是 1 厘米，那么它的面积是 
平方厘米。要化圆为方，几何学家就必须作一个面积是 的正方形。就这样，我们的故事很大程度上都基于这个著名的、神秘的数字的历史。最终，费迪南德·冯·林德曼（1852—1939）于 1882 年证明了化圆为方问题不可解；他利用了汪策尔的结论以及 的超越性。后者的证明需要微积分和复分析。
因为这四个问题长久以来都闻名遐迩，所以完整介绍它们的历史恐怕需要数卷的篇幅。此外，即便它们得到了解决，对于它们的研究仍在继续。这些研究后来被并入了更高等的领域，例如抽象代数和伽罗瓦理论。我们选择一笔带过这些推广性的研究，因为这部分数学对于本书的目标读者来说过于艰深，也因为我们不想让本书变得冗长。
本书的结构如下：所有章节按这些迷人问题的历史来编排——从古希腊人对这些问题的引入，到两千多年后的最终解答。这些章节基本遵循了时间顺序。我们会介绍古典问题的美妙历史、解决它们的其他方法，以及为了解决它们而开拓出新领域的由来。
关于这些问题还有许多有趣且令人愉快的逸事，所以我们在正式章节中间插入了叫作“闲话”的迷你章节。例如，我们会介绍美国印第安纳州通过的一项法案，该法案为 指定了一个错误的值；我们还会展示一系列的独特解法，比如使用折纸、一种叫作“战斧”的绘图工具、牙签或是时钟；我们会讨论列奥纳多·达·芬奇的美妙贡献，以及 
与 之争的始末。
[1] 卡罗尔（1917，81 页）。
[2] 转引自克拉里（2004，19 页）。
[3] 另两个公设分别为：“4. 所有直角都互相相等。5. 一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角和小于两个直角的和，那么两条直线无限延长后在这一侧相交。”第四公设在平面给出了一个统一的标准（“直角”），而第五公设就是著名的“平行公设”（希思，1908a，154 页）。
[4] 希思（1931，137 页）。
[5] 霍布森（1913，12 页）。