神秘读心术背后的奥妙

思维自疑问和惊奇开始！

——亚里士多德

吉卜赛读心术

爱因斯坦曾说：“人类的一切经验和感受中，以神秘感最为美妙，这是一切真正艺术创作及科学发明的灵感源泉。”巧合最富有神秘感，而且它在生活中无处不在。下面是吉卜赛人一个古老的神秘读心术，它能测算出你内心的感应，百试不爽，非常神奇。

读心术是这样的：首先，你在心中从10～99之间任意挑选一个数，并用这个数减去它自己的十位数字与个位数字之和，得到最终的数。然后，从下面给出的图中（左图）找出最终数对应的图形，并把这个图形牢记心中。最后，点击水晶球，出现的竟然就是你刚刚在心里记下的那个图形（右图）！

水晶球真的能读懂你的内心吗，抑或仅仅是巧合？碰到如此神秘的事情，孩子的好奇心会被完全激发出来。水晶球当然不能读懂你的内心，背后必有蹊跷。到底是怎么回事呢？不妨再玩一次。重新点击开始，看看会发生什么。

在看似杂乱无章的图案中，你有没有发现什么？如果还没有什么发现，那么可以观察一下下面图形中我用红色方框标出来的位置。这下你肯定明白了：原来在9的倍数的地方都是一样的图案啊！

不过，这个发现和读心术游戏有什么关系呢？不妨随便找几个数来试一下（按照前面说过的方法进行计算：将这个数减去它自己的十位数字与个位数字之和，得到最终的数）：

咦，最后的结果都是9的倍数啊。如果任意选一个数，按上述操作，结果都是9的倍数的话，那我们只需要事先在9的倍数的位置摆上相同图案，在不是9的倍数的地方摆上随机图案，则水晶球就一定能猜出你心中所想，除非……除非你算错了！

那为什么按上面的操作，最后的结果就是9的倍数呢？

以69为例：

69–6–9=（6×10+9）–6–9

　　　　=6×10+9–6–9

　　　　=6×10–6

　　　　=6×（10–1）

　　　　=6×9→9的倍数

那么，如果任意给一个两位数，则：

9a为9的倍数。

9的倍数

判断一个两位数是否为9的倍数，只要看它的十位、个位数字之和是否为9的倍数。

对这一结论，很多小学生都知其然而不知其所以然。如果问他们，他们会回答说老师就是这么教的，从而就认为这个结论是对的。

人类文明发展了数千年，苹果亘古不变地从树上落下，但只有牛顿对它的合理性进行了质疑和研究，从而引领了物理学史上的第一次飞跃。生活中，也有很多我们认为理所当然而不去深究背后原因的现象。如果我们稍微发扬一下牛顿刨根问底的精神，真相也许会让我们豁然开朗或大吃一惊。

让我们再来观察一下刚才的过程：

69–6–9=6×9

69=6×9+6+9

6×9一定是9的倍数，但是6+9=15不是，所以69也不是9的倍数。

45–4–5=4×9

45=4×9+4+5

4×9一定是9的倍数，而4+5=9也是9的倍数，所以45也是9的倍数。

一般来说，我们有，因此是否为9的倍数等价于（a+b）是否为9的倍数。

这个结论可以推广到多位数，例如对于3位数：

因此能不能被9整除等价于（a+b+c）能不能被9整除。

同样，根据上面的推导，我们还有下面的推论：一个数除以9的余数与这个数的各位数字之和除以9的余数是一样的。

如果一个数比较大，那么上面的过程还可以迭代进行。比如99999999988888888777777766666655555，各位数字之和为9×9+8×8+7×7+6×6+5×5=255。

255能被9整除吗？我们可以重复上面的过程。

255的各位数字之和为2+5+5=12，12不能被9整除，所以255不能被9整除，进而原数99999999988888888777777766666655555不能被9整除（事实上，我们还可以继续迭代，因为1+2=3，所以12不能被9整除）。由于12除以9的余数是3，从而255除以9的余数也是3，因此原数除以9的余数也是3。

在上面的拆分基础上，我们可以进一步得出下面的推论：一个数能否被3整除也等价于这个数各位数字之和能否被3整除。

如果更深究一步，我们还可以推导出被11整除的数的特征：一个数能被11整除等价于这个数的奇数位与偶数位的差的绝对值能被11整除。

这里，给大家玩一个神奇的游戏：

首先，让你的朋友选择一个6位数x，不要让他告诉你；然后，你让他把x的各位数字重新排列一下，得到一个更小一点儿的数y，并把x减去y，得到（x－y）的值；

接着，你让他将得到的这个差值乘以任意一个数，把乘积告诉你（除了其中的某一位数）；

最后，出乎他的意料，你竟然能很快说出他用“?”替代的这位数是几。

请问：在上面的例子中，你朋友告诉你的7244?1816这个结果中，“?”应该代表几，为什么？（答案和解题思路可在作者公众号“昍爸说数学与计算思维”中获取）