绪论 数学源于生活
历史上的数学故事
一个国家只有数学蓬勃发展，才能展现出它国力的强大。
——拿破仑
提起数学，很多人都承认它的重要性，但同时又有一种畏惧心理，认为数学是抽象的、难学的。那么，数学是不是真的高高在上、拒人于千里之外呢？其实不然。俄罗斯数学家罗巴切夫斯基曾说：“不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用到这实际世界上。”我国数学家华罗庚也曾说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”这些话精彩地描述了数学与生活的密切联系。
实际上，数学很亲民。数学源于生活，高于生活，又回归生活。生活中处处都有数学的踪影。既然这样，那为什么许多人仍会觉得数学高高在上呢？归根结底，还是因为我们的数学教育与生活联系得不够密切。虽然我国新制定的《义务教育数学课程标准》十分强调数学与现实生活的联系，指出“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据，进行计算、推理和证明”，但是，在应试的压力下，目前的数学教育还是以刷海量的、与生活缺乏联系且枯燥的题目为主。
好奇心是一切学习活动的内驱力和催化剂。如果我们在生活中注意观察，少一点儿想当然，多一点儿好奇，并在此基础上对孩子加以适当引导，让孩子在日常生活中感受数学的奥妙与数学之美，对提升孩子的数学学习兴趣和启发孩子的数学思维能起到非常积极的作用。
事实上，历史上数学的发展也与人们的生活密不可分。几何学的诞生就是一个很好的例子。相传4000年前，埃及的尼罗河每年洪水泛滥，总是淹没两岸的土地，水退后，土地的界线变得不分明。当时，埃及的劳动人民为了重新测出被洪水淹没的土地的地界，每年都要进行土地测量，因此积累了许多测量土地方面的知识，从而产生了几何学的雏形。
下面我要介绍的三则历史上的数学故事都与生活紧密相关。第一个是许多人都熟知的七桥问题，第二个是拿破仑巧用几何学打胜仗的逸事，最后一个则是曾经的世界著名数学难题之一 ——“四色问题”。
七桥问题与图论的诞生
图论诞生的故事为人们所津津乐道，其原因之一就在于它来源于生活。相传，哥尼斯堡有一条河，河上有两个小岛，岛上有7座桥，其中，有6座桥连接着岛与河岸，最后一座桥则连接着两个岛。岛上有古老的哥尼斯堡大学和教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像。城中的居民（尤其是大学生们）经常沿河过桥散步。有一天，一个好奇的人提出如下问题：
一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点？
这就是著名的七桥问题。它看似简单，然而很多人做了不懈的尝试却始终未能找到答案。因此，一群大学生就写信给当时在圣彼得堡科学院任职的二十多岁的天才数学家欧拉，请他分析一下这个问题。孰料，这一请教影响深远，开创了图论这一数学分支。
欧拉用简单的几何图形来表示陆地和桥，如下图所示，于是七桥问题就转变为能否一次且仅一次遍历图中所有的边。经过一番研究后，他得出了一个图形能达到该要求（或称图形能一笔画）的充要条件：
①图形必须是连通的；
②图中的“奇点”（也就是一个顶点连接的边数为奇数）个数是0或2。
如果图中的奇点个数为0，则该图可以一笔画，并且可以回到起点，对应的路径也称为欧拉回路。而如果图中的奇点个数是2，则图是可以一笔画的，但无法回到起点，所对应的欧拉路径一定是以图中的一个奇点为起点，而以另一个奇点为终点。
七桥问题为何无解？原因在于它存在4个奇点。直观地想一下，要经过图中所有边而不重复，那么所有既非起点又非终点的节点所连的边数必定为偶数（一进一出必须相匹配），因此4个奇点的图形是不能一笔画的。
其实，我们在写汉字的时候也会碰到一笔画问题。有兴趣的读者可以尝试一下，如日、中、串、木、虫等汉字能否一笔画？英文中也有类似问题，如26个大写的英文字母能否一笔画？
欧拉是数学史上公认的最伟大的4位数学家之一，其余3人分别是阿基米德、牛顿和高斯。欧拉不仅在数学上做出了伟大的贡献，而且把数学用到了整个物理领域。他是科学史上最多产的数学家。据统计，他一生的专著和论文有800多种。他在数学上的贡献覆盖了从数论、函数、微积分到图论等多个领域。正因为他的贡献太多，以至于谈到欧拉公式时，我们都不禁要追问一句：慢着，你说的是哪个欧拉公式？
酷爱数学的拿破仑
数学与人们的日常生活密不可分，甚至能左右一场战斗的胜负。拿破仑是法兰西第一帝国的缔造者。提起拿破仑，很多人都会对这位军事家的杰出才能啧啧称赞，也有人为他的滑铁卢之败深感惋惜，还有人对他与约瑟芬的旷世爱情唏嘘不已……但鲜为人知的是，拿破仑是一位极具天赋的数学爱好者，他为法国数学事业的发展做出了巨大贡献，他的数学天赋为他取得战场的胜利立下了汗马功劳。
拿破仑是炮兵学院出身，在校期间，他潜心研究过弹道学。拿破仑的专业技术非常厉害，在土伦战役中，他指挥炮兵部队一打一个准，十分惊人，他也从此脱颖而出。后来他在军队中积极推广先进的数学方法，如三角函数、微分方程等。拿破仑对炮兵和海军军官工程师提出了很高的要求，以至于他的大炮打到哪里，工程师的图就得画到哪里。拿破仑在几何学上颇有造诣，甚至有专门以拿破仑命名的“拿破仑定理”和“拿破仑问题”。
拿破仑的数学才华对他在战场上屡创奇迹起到了至关重要的作用。据传，1805年，拿破仑率军与普鲁士、俄国联军在莱茵河南北两岸对阵。两军都想向对方阵地开炮，但是不知宽度的莱茵河成为双方的阻碍，没有精确射程的炮击成了浪费弹药的竞赛。在这种情况下，谁能率先测量出河的宽度，谁就能占得先机。
为了解决这个难题，拿破仑每天远眺莱茵河，在岸边来回踱步。有一次，他偶然发现，对岸的边线（北岸线）恰巧擦着自己戴的军帽檐，于是，计上心来。他在这个地点做了一个记号，然后沿着莱茵河的垂直方向一步一步往后退，一直退到莱茵河南岸线也擦着自己军帽檐的地方，停下来又做了个记号。拿破仑让部下丈量出这两个记号之间的距离，并告诉部下：“这就是莱茵河的宽度。”
当天傍晚，法军大炮向对岸敌军阵地射击。炮弹就像长了眼睛般，纷纷飞入敌营。敌军顿时大乱，全线溃败，而法军凭借拿破仑的数学才华大获全胜。
这则逸事是理论联系实际在战场上的最佳体现。为什么拿破仑所说的那两个点之间的距离就是莱茵河的宽度呢？利用小学的平面几何知识就能证明这一点。如下图所示，A、B分别是莱茵河的南岸和北岸。第一次，拿破仑的眼睛C、军帽檐与北岸B呈三点一线，即图中所示的BC；第二次，拿破仑后退到D的位置，眼睛、军帽檐与法军这一侧的南岸A呈三点一线，即图中的AD。由于两次的直线平行，ABCD构成了平行四边形，因此，莱茵河AB的宽度与CD的长度相等。
拿破仑非常重视法国的数学教育，他曾说：“一个国家只有数学蓬勃发展，才能展现出它国力的强大。”他认为，人才培养的关键是教育。从1802年至1808年，他颁布了一系列法令，确立了法国精英制大学校的高等教育模式，旨在培养理论联系实际、既有知识又有应用技术的人才。实际上，目前法国最好的两所精英大学——巴黎高等师范学院（École normale supérieure de Paris）和巴黎综合理工学院（École Polytechnique），就是在拿破仑时代组建的。拿破仑极为珍惜人才。1814年，当反法联军兵临城下，法国兵员短缺，有人提议调巴黎理工学院的学生参加战斗，但是拿破仑说：“我不愿为取金蛋而杀掉我的老母鸡。”这句名言后来被镌刻在巴黎综合理工学院梯形大教室的天花板上。
地图着色与四色定理
生活不仅为数学提供了用武之地，而且为数学提供了广泛的素材。可以说，离开了生活，数学就成为无源之水。
儿子的昍床头挂着一幅中国地图，该地图用了5种颜色来对每个省份着色，确保任何两个相邻的省份拥有不同的颜色。
相信每个人都看过地图，只不过大部分人对地图的颜色并不关心。但是，真的需要用5种颜色来着色吗？
一个半世纪以前，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里在一家科研机构做地图着色时，发现了一种有趣的现象：每幅地图最多使用4种颜色着色，就可以使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。[1]
弗南西斯·格思里没有想到的是，他的这一发现连当时的数学家哈密尔顿爵士都未能证明，最终“四色猜想”成为与费马大定理和哥德巴赫猜想并列的世界近代三大数学难题之一。可见，只要我们善于观察、思考和发现，世界数学难题就在我们身边。也许你就是下一个世界数学难题的提出者。
一个多世纪以来，数学家们为了证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的发展。四色问题的证明也出现多次乌龙，好几次证明方案最后都被证明是错的，不过这些错误都为后续证明提供了宝贵的经验。
20世纪70年代，计算机功能的提升使穷举法如虎添翼。直到1976年，人们才利用计算机强大的计算能力，用了1200多个小时，作了100亿个判断，最终证明了四色定理。
有人专门为四色问题的历史写了本书，叫《四色足够》（Four Colors Suffice）。但是，简单的四色问题采用这种暴力穷举的证明方法，完全丧失了数学本该有的简洁与美。如今，四色定理依然期待着一个与其问题描述本身相匹配的优雅证明。
[1] 这个结论有个前提条件，就是这些国家或地区不能像曾经的“日不落帝国”英国一样有海外飞地，也就是说一个国家的版图必须连在一起。