2.1.2　飞秒脉冲的色散与啁啾

下面，考虑脉冲在色散介质中线性传输的过程。有一个在色散介质中传播的光脉冲，它可以表示成单色平面波叠加的形式

介质的色散特性由色散曲线描述，色散曲线是由材料的物理特性决定的，与入射脉冲无关。假设色散曲线的形式为，如图2-2所示，设入射脉冲的中心频率为，我们假设它的频谱宽度极窄的情况，那么在附近的极小的区域内，色散曲线可以用线性函数近似表示为

其中，。代入式（2-5），则

该式由两项组成

（1）一个快速变化项，即光学载波，以相速度传播；

（2）一个慢变包络项，包络传播速度为，定义该速度为群速度，。可以看到，频谱宽度极窄的光脉冲在色散介质中以群速度传播，且在传播过程中不扩散。如果介质没有色散，那么相速度等于群速度。而在色散介质中，载波与包络以不同的速度传输。

下面考虑脉冲包络具有一定频谱宽度的情况，这时线性近似显得太粗糙，需要对色散曲线进行泰勒展开

这里，

由于群速度与频率有关，因此，脉冲的不同频率成分在介质中的延迟不同。定义群速度色散

称为正常色散，称为反常色散。由于群速度色散的影响，不同频率成分的光在介质中的时间延迟不同，会导致传输过程中脉冲展宽或压缩。

从时域考虑，脉冲电场在介质中传输时，其复振幅满足偏微分方程

其中，T是在以脉冲群速度（T=t−z/）运动的参照系下测量的时间。

考虑一个初始高斯脉冲作为入射场的情形，可以得到介质中任意位置z处的脉冲复振幅

可以看出，高斯脉冲在色散介质中传输时保持脉冲形状不变，其脉冲宽度随传输距离z增加，变为

其中，，定义为色散长度。显然，介质的群速度色散展宽了脉冲，展宽的程度取决于色散长度。对于入射高斯脉冲，色散长度表示光脉冲宽度展宽为初始脉宽的倍所需要的介质长度。

通过把式（‎2-12）的振幅项与相位项分离，可以得到

式中，

把脉冲的相位项求一阶导数，可以得到脉冲的瞬时频率

可以看出，通过在色散介质中的线性传输，将高斯脉冲的瞬时频率演化成时间的线性函数，称脉冲获得了线性的频率啁啾。在群速度色散的作用下，脉冲的不同频率成分在色散介质中具有不同的传输速度，引起了频率啁啾并展宽了脉冲。由式（‎2-16）不难推断，使这一啁啾脉冲经过一段长度相同，但是色散符号相反的介质，频率啁啾可以完全补偿，从而使脉冲压缩回初始宽度。对于变换极限的脉冲（初始啁啾为零），在正常色散的介质中传输，积累正的频率啁啾；而在反常色散的介质中传输，积累负的频率啁啾。线性啁啾的宽光谱超短激光脉冲可以实现调频连续波（FMCW）测距、光谱干涉测距等测距机制，在第6章、第7章中会详细介绍。