2.2.3　脉冲序列的定时抖动

定时抖动用于描述飞秒激光器的脉冲序列的时域短期稳定性，对于大多数飞行时间绝对测距系统都有重要的影响，因此有必要单独讨论。

被动锁模光纤激光器内的多种噪声源都可以引起脉冲序列的定时抖动，包括经典噪声源，如光纤折射率的随机变化、机械振动、增益的波动等，以及量子噪声源——增益介质的自发辐射噪声。经典噪声源引起的定时抖动具有有限的带宽，可以利用反馈控制原理消除。相较于有限带宽分布的经典噪声，对于非压缩态的光脉冲序列来说，在较宽频谱范围内均匀分布的量子噪声决定了飞秒激光器输出光脉冲序列的最低时间噪声水平。这是由于量子噪声来源于光固有的粒子性，无法通过外部反馈完全抑制。量子噪声对飞秒激光器时间噪声的影响一般是通过激光腔内增益介质的放大自发辐射和线性损耗波动，耦合到激光腔内传输的光脉冲，从而引起脉冲包络位置偏离理想的周期时刻。这种时间噪声一般称为量子极限的定时抖动，它决定了飞行时间测距的精度极限‎[13]。因此本节主要考虑量子极限的定时抖动。

H.Haus等人对于量子极限的定时抖动进行了详细理论分析，通过对描述锁模激光器动力学过程的非线性薛定谔方程进行微扰处理，得到了孤子锁模激光器中由量子噪声导致的脉冲序列定时抖动的解析表达。量子噪声的来源主要包括增益介质中存在的放大自发辐射（Amplified Spontaneous Emission，ASE）和散粒噪声（Shot Noise）。为了更加直观地呈现量子噪声的影响并拓宽适用的激光器类型，以下将量子噪声耦合到光脉冲定时抖动的过程简化为对腔内循环的光脉冲施加半经典随机噪声扰动，进而引起脉冲重心位置变化，产生脉冲的定时抖动。

量子噪声耦合到光脉冲时间噪声的机制可以分为三种：散粒噪声对脉冲位置的直接扰动，腔内ASE噪声及损耗对脉冲位置的直接扰动，以及ASE噪声通过腔内色散耦合到脉冲时刻的间接扰动，以下将分别进行讨论。

首先，散粒噪声会导致激光器输出的光脉冲强度发生起伏，进而引起脉冲包络位置的时刻发生变化。假设无噪声时，脉冲包络的归一化复振幅为。对于非压缩态的光脉冲来说，散粒噪声可以由半经典模型描述，即引起复振幅产生高斯分布的随机起伏δA(t)，其自相关函数为，其中为光子能量，h为普朗克常量。当存在散粒噪声时，脉冲功率为，其中为无噪声时光脉冲的平均功率，为功率波动（强度噪声），其自相关函数为

由式（‎2-19）可得到强度噪声的功率谱密度为。强度起伏会引起光脉冲包络形状发生变化，引入的光脉冲重心位置偏移的方差为

其中为脉冲的均方根（rms）宽度。对于重复频率为的脉冲序列来说，散粒噪声引入的定时抖动对于腔内不同周期循环的光脉冲来说互不相关，导致的定时抖动为白噪声，其功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）为

假设脉冲包络为脉冲宽度的高斯函数，代入式（2-21）并做简化后可得功率谱密度为。对于工作在1 550 nm波段的脉冲序列，设其平均功率为10 mW，脉冲宽度为1 ps，散粒噪声引起的定时抖动量级为2.3×10−12fs2/Hz，因此实际上由散粒噪声引入的定时抖动量级非常低。从下文介绍中可以得知，在低频部分其他噪声引入的定时抖动量级远远高于这一水平，导致其通常难以被探测，只有在高频部分有可能达到这一噪声水平。

其次，腔内循环的光脉冲在每次通过增益介质时，都会受到ASE和损耗的扰动。在稳定运转状态下，激光器的增益和损耗相互平衡，引入的噪声水平相近，因此只考虑增益中ASE对定时抖动的影响。ASE噪声可由其自相关函数描述，即，其中G为脉冲在腔内的强度增益系数，为增益介质中粒子数不完全反转引入的增强系数。ASE噪声的功率谱密度为。与式（‎2-20）类似，脉冲在腔内循环的每个周期内，ASE耦合到脉冲强度所引起的脉冲重心位置偏移的方差为，此时Ep为腔内脉冲能量。与散粒噪声不同，由于脉冲在腔内循环的每个周期均受到ASE扰动，因此光脉冲重心位置的偏移随着时间不断增加，即。由此得到ASE噪声直接引入的脉冲定时抖动的PSD为

根据式（‎2-22）可知，ASE直接作用产生的定时抖动具有特征斜率，这是随机游走（Random Walk）的典型特征，对应于频率白噪声。由于自由运转的锁模激光器中不存在回复力，脉冲位置相对于理想时刻的偏差随着观察时间的增加不被束缚地无限增长，最终呈现发散特性，即脉冲位置的方差随观察时间的增加而线性增加，如图2-13所示。同时，对于较窄脉冲宽度和较高脉冲能量的脉冲序列来说，ASE引入的定时抖动较低。这可以理解为ASE对于较窄时间窗口内的较大能量脉冲扰动能力的下降。

最后，ASE噪声还会引起脉冲中心波长变化，并由腔内色散以及脉冲啁啾间接地耦合到脉冲的定时抖动中。与时域中推导过程类似，腔内光脉冲每个循环周期由ASE导致的光谱中心频率波动的方差为。同样，中心频率的波动随着时间会不断增加。但是与时域中的无束缚状态不同，由于增益带宽的限制，ASE引起的中心频率的波动不会无限扩散。当偏离时，有限的增益带宽将提供回复力，迫使其回到参考位置。

此时的PSD为

其中为增益带宽对应的弛豫时间常数。在腔内的每个循环周期，脉冲中心频率的波动通过腔内二阶色散D引入的群速度差，耦合到脉冲位置的时间波动为。进而得到ASE通过腔内色散间接引起的脉冲序列定时抖动功率谱密度为

因此，当激光器腔内存在较大色散且光谱宽度较宽时，脉冲序列的定时抖动会显著增加，且定时抖动功率谱密度在高频处呈现的特征斜率。

值得注意的是，上述分析过程中没有使用到锁模脉冲的成形机制（是否包含孤子形成效应或可饱和吸收作用），因此适用于不同锁模机制产生的超短脉冲。由于以上三种量子噪声引入的定时抖动之间互不相关，因此最终飞秒激光器输出脉冲序列的量子极限定时抖动可以表示为以上三种量子噪声综合作用的结果，即

通过以上分析可知，飞秒激光器的时间噪声水平与谐振腔的设计密切相关。通过优化激光器各项参数，如降低激光器的腔内色散、缩短激光器脉冲宽度以及提高脉冲能量等，能够有效地抑制量子噪声引入的定时抖动。