2.3.2　光学频率梳的稳频

本节将分别介绍对光学频率梳（光频梳）的性能起决定作用的频率梳噪声特性、稳频技术。

1.光频梳的噪声特性

不同的噪声来源对光谱梳齿噪声的影响可通过“不动点”理论（Fix-point Theory）进行分析‎[4]。构成光频梳的相位锁定的纵模可以看作沿着频率轴伸缩的橡皮筋。特定的外部扰动引起所有纵模围绕一个“不动点频率”伸缩。在不动点频率处，外部干扰对于光频梳的两个自由度（重复频率、偏移频率）的影响相互抵消，附加的频率噪声为零。而偏离不动点频率越远，梳齿的频率的随机涨落幅度则越大。

数学上很容易推导得到的位置。假设噪声源对光频梳某项参数X（如泵浦功率、腔长、损耗等）的扰动为，引起重复频率和偏移频率的变化分别为和，同时由式（‎2-27）可得在处，噪声对不动点频率的梳齿没有影响。值得注意的是，不同噪声源对应的不动点频率差异很大，对应的频率位置并不一定仍处于光谱范围内，且包含了与激光器和的相关性，可以方便地描述噪声源对梳齿的影响。此时，第n个梳齿频率可表示为，且其变化量为

对于光谱梳齿噪声，以下将用光频率噪声的功率谱密度表征第n个光谱梳齿的频率抖动，为的傅里叶变换。此外，梳齿频率的相位波动可由其相位噪声功率谱密度表征。此时，若噪声源的功率谱密度为，最终引起的光谱梳齿的频率噪声功率谱密度为

其中为X参量的扰动与重复频率间的传递函数，通常由实验测量得到，为X波动造成的噪声的功率谱密度。由式（‎2-30）可以看到，激光器光谱梳齿的频率噪声在接近不动点频率处较低，而随着梳齿频率远离，频率噪声急剧增加，对应于梳齿线宽大幅加宽。同时，通过引入不动点频率可以避免和之间的耦合，使梳齿频率噪声分析更加简洁。

通过可以将不同噪声源引起的脉冲序列时间噪声转化为相应的激光器的频率噪声，结合式（‎2-30）可对不同噪声源对光谱梳齿频率的影响进行分析。以下将分别讨论不同噪声源对应的不动点频率及其对光谱梳齿频率噪声的影响。

1）技术噪声对梳齿频率噪声的影响

包括机械振动、声学振动和温度变化在内的环境噪声，以及泵浦源噪声等一系列技术噪声会对激光器的重复频率和光谱梳齿频率造成扰动，从而使得梳齿线宽加宽。

首先考虑激光器泵浦源强度波动引入的梳齿频率噪声。锁模激光器通常使用半导体激光二极管作为泵浦源。这种激光器的输出功率除了强度白噪声之外，还存在1/f特征的技术噪声。泵浦源的波动将引起光谱梳齿频率的噪声。首先，泵浦功率导致的重复频率波动可由重复频率关于慢变泵浦功率P的灵敏度表征。同时，自相位调制、增益介质折射率的谐振贡献使载波相位与泵浦功率相关，可由表征，并引入偏移频率关于泵浦功率的灵敏度。由此可得关于泵浦功率噪声的不动点频率为

由于式（‎2-31）中第二项通常远小于，因此泵浦功率的不动点频率接近脉冲的载波频率。此外，增益介质的上能级寿命使得激光器相对于泵浦功率的响应一般呈低通滤波特性，截止频率记为，通常为5～10 kHz。泵浦源的相对强度噪声功率谱密度记为，则由式（‎2-30）、式（‎2-31）得到泵浦源强度噪声引入的梳齿频率噪声为

其中通常由实验值给出。图‎2-19给出了泵浦噪声的不动点，可看出对梳齿频率噪声的影响。这里，仅给出了不同的梳齿在傅里叶频率为0时的频率噪声的功率谱密度，从某种程度上该指标能够反映梳齿线宽。可以看出，在不动点附近，梳齿频率噪声低，线宽最窄。偏离中心频率后，梳齿线宽逐渐展宽，在fceo处梳齿线宽达到最宽，即泵浦噪声对于fceo噪声的影响最显著。

由式（‎2-32）可知，具有白噪声特征的泵浦源噪声所引入的梳齿频率噪声功率谱会呈现低通特性，主要影响梳齿频率噪声的低频部分。对于超出的频率，泵浦源噪声的影响大幅下降。因此，除了使用低噪声泵浦源外，还可以通过前馈控制来抑制带宽内的泵浦源强度噪声，降低泵浦源噪声引入的梳齿频率噪声。

另外，环境噪声（如声学振动和温度漂移）将导致激光器腔长在相应的时间尺度内变化。若噪声造成激光谐振腔空气中的部分发生长度变化，由于相速度和群速度相同，所受扰动为共模噪声，将引入一个在零频的不动点。一般来说，若激光器腔内的群速度和相速度不同，则环境噪声对腔长的扰动为差模噪声，所产生的不动点频率为

其中和分别是腔长改变部分对应的群速度和相速度。对于光纤来说，由于，对应的不动点频率约为0.01。因此对于光纤飞秒激光器来说，腔长变化引入的不动点频率范围一般为0～3 THz。同时，由于激光器腔长噪声的功率谱密度与重复频率噪声之间满足，则有

图‎2-20给出了腔长变化的不动点及其对梳齿线宽的影响。由于腔长变化对应的不动点频率远离光谱中心频率，因此腔长扰动引入的噪声会被显著地放大，使光谱梳齿的频率噪声急剧恶化。通常来说，单纯将激光器的重复频率参考至射频标准无法改善光谱的梳齿线宽，必须通过把光谱梳齿锁定至光学参考源来优化光谱的梳齿线宽。

2）量子噪声对梳齿频率噪声的影响

量子噪声对飞秒激光器光谱梳齿频率的影响主要是由放大自发辐射（ASE）噪声引入的。与频谱成分主要集中在低频、可以通过反馈手段抑制的技术噪声不同，ASE噪声从根本上决定了的梳齿频率所能达到的极限线宽。ASE对梳齿频率噪声的影响可以分为两种。

ASE的第一种影响普遍存在于各类激光器中。激光在腔内循环的每一个周期内，光场都会受到ASE噪声的影响，引起功率和相位的变化。其中功率变化受到增益饱和作用影响，可达到稳态；而腔内不存在对相位噪声的回复力，即造成相位的随机游走，对应于光相位噪声功率谱密度，导致激光器输出激光存在所能达到的极限线宽，即著名的Schawlow-Townes极限线宽。对于锁模激光器来说，锁模过程将腔内不同纵模之间的相位强制锁定，在较长时间尺度内，可以将ASE对光谱梳齿引入的扰动看作光谱的整体移动，对不同纵模引入的极限线宽与每个梳齿的功率无关，即

其中，为光谱中心频率，为腔内整体损耗，为腔内脉冲平均功率。由上式可以看出，ASE引入的梳齿频率噪声属于频率白噪声，对于不同的纵模频率影响相同。通常来说，Schawlow-Townes极限线宽非常窄，在各类技术噪声的存在下很难达到这一极限噪声水平。

其次，ASE引入的脉冲定时抖动也会导致光学频率的额外相位波动。对于与光谱中心频率间隔的纵模来说，脉冲定时抖动引入的相位波动为，其相位噪声功率谱密度为

其中，对应Schawlow-Townes相位噪声功率谱密度，为ASE引入的脉冲定时抖动功率谱密度，具体形式如2.2.3节所述。根据，对应的光频率噪声功率谱密度为

由上式可知，ASE噪声对应的不动点频率位于光谱中心频率处。因此，ASE通过引入定时抖动导致的光谱梳齿频率噪声随着远离光谱的中心呈二次方增长，即处于光谱两翼处梳齿的线宽要远大于光谱中心附近梳齿的线宽，展现出与泵浦噪声相类似的规律，参见图‎2-19。

2.频率梳的稳频技术

如前节所述，稳定运转的被动锁模飞秒激光器会受到多种噪声的干扰，主要噪声来源包括量子噪声（激光增益介质的放大自发辐射）、环境噪声（温度、湿度变化，机械振动）、泵浦功率的起伏等。这些噪声引起随机的群延迟及相位延迟，从而耦合至frep与fceo的频率噪声，带来频率梳的随机频率偏移与梳齿的谱线加宽。由于飞秒激光频率梳对噪声非常敏感，因此只有采取必要的稳频措施才能满足精密测量与控制等应用的要求。目前普遍使用的是主动稳频技术‎[19]。此类稳频技术通过锁相环路，将频率梳的两个自由度主动参考至射频信号源或光学谐振腔，使得稳频后的频率梳在锁相带宽内复现参考源的频率稳定度。

1）锁定至射频频率基准

对于依赖飞秒激光频率梳的长期稳定性的应用，如绝对光频计量，通常利用主动稳频技术将frep与fceo参考至射频信号源。这里，利用原子（铷原子、铯原子等）在射频频段的特征吸收谱线主动矫正frep与fceo，从而使得频率梳的任意谱线频率可溯源至国际单位秒定义。注意，参考至射频频率基准并不能改善频率梳的短期稳定性，其原因如图‎2-21所示。图中给出了一台典型的自由运转的掺铒光纤飞秒激光器的frep的单边相位噪声功率谱密度曲线，作为对比，图中同时给出了一台通常作为射频频率基准的氢原子钟的单边相噪特性。可以看出，在同样的100 MHz载频下，自由运转的光纤飞秒激光器的高频相噪特性（大于200 Hz傅里叶频率）优于氢原子钟。因此，锁相环的补偿带宽必须限制在200 Hz以内，提高锁相带宽反而会使频率梳的相噪特性恶化。如果frep信号提取时的光电探测信噪比不够高，锁定带宽还将进一步受限。直观上讲，由于射频信号源不能补偿快速变化的frep噪声，频率梳的每一根梳齿的谱线宽度仍然很宽。这里需要说明，梳齿的谱线宽度对于绝对光频测量并不重要。只要保证足够长的积分时间，就能精确地获取单根谱线的平均频率，频率计数的不确定度受限于射频参考源的长期稳定性。

2）锁定至超稳光学谐振腔

除了参考至射频频率基准之外，飞秒激光频率梳还可以通过参考至超稳光学谐振腔，直接在光频域实现稳频。超稳光学谐振腔是一种填充低吸收、低膨胀电介质的双镜法布里−珀罗光学干涉仪，其室温下的品质因数可以达到1011以上。通过精心设计温控与隔振装置，1 s内超稳光学谐振腔的平均腔长波动可以低至约100 am（10−18m）@ 1 s。将频率梳的特定谱线锁定至超稳光学谐振腔，该谱线的频率稳定度完全取决于超稳谐振腔的腔长稳定性。由于飞秒激光频率梳的所有光学谱线是相位相干的，超稳光学谐振腔的频率稳定度可以传递至频率梳的每一条谱线。超稳光学谐振腔的长期频率稳定性（大于100 s）不及射频频率基准，然而其短期频率稳定性（小于1 s）却远远优于任何射频频率基准。图‎2-22给出了掺铒光纤飞秒激光器的任一频率为1 550 nm的谱线的自由运转状态下和量子极限下的频率噪声功率谱密度曲线。作为对比，图中同时给出典型的熔石英材料的超稳光学谐振腔在室温下的热噪声极限。可以预见，当鉴频信噪比足够高时，只要设计响应速度足够快的锁相环（锁相带宽通常大于100 kHz），飞秒激光频率梳的频率稳定度可以突破量子极限，复现超稳光学谐振腔的水平。通过参考至超稳光学谐振腔，光纤飞秒激光频率梳的谱线线宽可以压缩至亚赫兹的水平。

对比以上两种主动稳频技术可知，射频频率基准作为参考信号源可以有效地改善飞秒激光频率梳的长期稳定性，而超稳光学谐振腔的优势在于消除快速变化的谱线频率噪声，从而压缩频率梳的梳齿线宽，提升梳齿的相干性。实际上，通过参考至射频频率基准而改善频率梳的长期稳定性只能解决有限的实际问题，如绝对光频计量。近年来，飞秒激光频率梳技术被广泛应用于光学原子钟、分子光谱学、基于增强腔的高次谐波产生、超稳射频源、相干激光雷达等领域，所取得的重要突破均得益于频率梳谱线的窄线宽特性及宽带的频率噪声抑制，即采用了基于超稳光学谐振腔的稳频技术。比如，美国国家标准局在双光梳飞秒激光测距领域的开创性工作就是使用了光学谐振腔稳频的飞秒激光源‎[20]。因此，与采用射频频率基准作为参考信号源相比，基于超稳光学谐振腔的频率梳稳频技术能够取得更广泛的应用。当然，超稳光学谐振腔稳频技术虽然性能优异，但代价也较高。

（1）超稳光学谐振腔的设计与制造工艺复杂，成本高昂。自由空间光耦合至超稳腔需要精确的准直、严格的偏振态控制与苛刻的空间光波模式匹配。目前，被动锁模的飞秒激光技术已经可以实现全光纤化，其稳定性、可靠性与集成度得到了显著的改善。但是，受限于块状结构的超稳光学谐振腔及其附属的自由空间耦合光路，此类主动稳频技术与飞秒激光频率梳的全光纤化的发展趋势难以调和。

（2）外界振动及温度变化会影响超稳光学谐振腔的腔长稳定性。因此，需要设计精密的腔体支撑结构、振动屏蔽与温控装置来降低超稳光学谐振腔对外部环境的敏感度。为了获得极限的频率稳定度，超稳光学谐振腔还需要放置在真空、低温的封闭腔室中。

（3）飞秒激光频率梳并不能直接参考至超稳光学谐振腔，而需要采用级联的锁相环路。首先，需要利用Pound-Drever-Hall（PDH）稳频技术将一台单频激光器参考至超稳光学谐振腔的共振频率，构成一台窄线宽单频激光器；进一步地，基于光学外差探测方法，将飞秒激光频率梳的一条光学谱线参考至这台窄线宽单频激光器，才能实现频率梳的稳频。为了同时稳定频率梳的两个自由度，通常需要两台不同波长的窄线宽单频激光器。锁相环路设计难度大，装置复杂。