2.2.4 非线性微分方程的线性化

前面讨论了系统微分方程的建立，得到的微分方程是线性的。然而严格来讲，所有的系统都有不同程度的非线性，而前面得到的“线性”微分方程，都是在一系列假设条件下建立起来的。比如在机械位移系统中，假设摩擦阻尼力与速度成正比，其实是把摩擦系数f视为常数，如图2-6中OB所示，但实际上f不会是常数，特性曲线可能是O′A，是非线性的。又如在直流电动机系统中，假设磁通Φ与电流i_f成正比，即Φ=k_fi_f，这里把比例系数k_f视为常数，如图2.7中OB所示，但实际k_f也不会是常数，特性曲线是OA，这是由于磁路中有铁芯，要受饱和的影响。

此外，对于弹簧来说，当弹性疲乏时，形变和受力之间也不是线性关系。之所以能够得到一些简单的线性微分方程，是由于在做简化时，忽略了这些次要的因素。所以，除了参数基本上接近常数的系统，前面得到的线性模型是相当近似的。要想精确地描述系统特性，或当系统的非线性因素必须考虑时，列写出来的系统方程都应该是非线性的。因此，在研究控制系统的动态过程时，就会遇到求解非线性微分方程的问题。然而，对于高阶非线性微分方程来说，在数学上难以求得一般形式的解。这样，研究工作在理论上将会遇到困难。一种可行的办法是：应用小偏差线性化概念对符合线性化条件的非线性方程进行线性化处理，从而得到一个线性模型来代替非线性模型，并采用线性系统理论对系统进行分析。

控制系统通常工作在一个正常的工作状态，这个工作状态称为工作点。由于正常的控制过程总是连续不断的，所以变量的变化范围（偏离工作点的差值）一般都满足微小量的要求。对于某些非线性系统，若研究的是系统在某一工作点附近的性能，比如，电动机激磁回路（如图2-8所示），正常工作点在A点，在控制过程中，调节的范围属于工作点A附近的Δi_f小范围内，就可以把A点邻域内的特性用该点的切线来代替。这样系统的特性在这个区域上就可以表示为线性的，而精确度要比忽略非线性因素的简化处理所得到的线性方程精确得多，这就是常说的“小偏差理论”。显然，曲线在工作点邻域的线性度越好，则作为线性化方程的自变量的取值范围Δi_f就越大。从几何意义上看，若用K表示A点处切线的斜率，则偏差ΔΦ与增量Δi_f之间为线性关系，即ΔΦ=KΔi_f。

应用线性化数学模型来代替原来的非线性数学模型的过程，称为线性化。线性化实质上是寻找能替代原来非线性函数的一种有合适斜率的线性一次函数，实际上就是寻找工作点处切线斜率的问题。几何图形上的“以直代曲”，表现在数学解析式上就是用一次多项式去近似地表达一个给定的函数。而数学上研究用任意多项式近似地表达一个函数，乃是“以直代曲”思想的发展。其中，按泰勒级数展开公式，可以精确地表示一个函数。现在的目的不是要精确地表示非线性函数，而是表示非线性函数的线性化，即将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略高阶无穷小量及余项，用得到的线性化方程，近似替代原来的非线性函数。

设一个变量的非线性函数y=f（x）在x₀处连续可微，如图2-9所示，则可将它在该点附近用泰勒级数展开为

当（x-x₀）为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成

其中，为工作点x₀处的斜率。此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程。经这样处理后，输出与输入之间就成为线性关系，如图2-9所示。

例2-3 图2-10所示为一铁芯线圈，输入为激磁电压u_i（t），输出为线圈电流i（t），线圈电阻为R。求证u_i（t）和i（t）之间的微分方程。

解 设线圈中的磁通为Φ，根据回路电压定理，线圈的微分方程为

当工作过程中线圈的电压和电流只在工作点（u₀，i₀）附近变化时，即

线圈中的磁通Φ对₀Φ也有增量变化，假如在i₀附近连续可微，其将在i₀附近展开成泰勒级数，即

因Δi是微小增量，将高阶无穷小量略去，得到近似式

这就是铁芯线圈的增量化方程，为简便起见，常略去增量符号而写成

若系统的输出量为y，而有两个输入量x₁和x₂，则它们的关系可用二元函数表示为

设系统稳态工作点为（x₁₀，x₂₀），可将它在该点附近用泰勒级数展开，即

在工作点附近，增量Δx₁=x₁-x₁₀，Δx₂=x₂-x₂₀的绝对值很小，则可略去二次以上的高阶项，得到一次近似增量方程为

其中，，。这样y与x₁、x₂间的非线性关系就转化为Δy与Δx₁、Δx₂之间的线性关系。为了便于书写，经常将增量信号的符号Δ省掉。

由以上讨论可知，非线性控制系统可以进行线性化处理的条件有以下三个。

（1）系统工作在一个正常的工作状态，有一个稳定的工作点；

（2）系统在运行过程中的偏离量满足小偏差条件；

（3）非线性函数在工作点处各阶导数或偏导数存在，即函数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。

如果系统满足上述条件，则在工作点的邻域内便可将非线性函数通过增量形式表示成线性函数。在有了对非线性函数线性化处理的有效措施后，对于含有这类非线性因素的控制系统，从整体上就可将系统的数学模型以增量的形式写出来，成为线性化的数学模型。