1.1.2 反射部分自由曲面的设计

计算了透射部分的曲面轮廓之后，继续计算反射部分的曲面。如图1-8所示，小角度区域的光线经过折射透镜输出，而角度大的光线先入射到S4面折射后到S5面，经S5面反射后，最终经S6面出射，假设S6面出射的光线都是平行于y轴。S1面的下面是个圆柱形的空腔，可以用来放LED光源。这里假设透射部分光线的角度范围为0～A1，而反射部分的光线的角度区域为A1～P1，其中A1为折射部分和反射部分的分界角（见图1-9），P1为最下边缘的光线OF1与y轴的夹角，该区域内的光线按等角度间隔进行采样，即任意一条采样光线OFt与y轴夹角Pt都是已知的。第t条光线OFt入射到S4面上的Ft点的坐标为

式中，Pt为光源发出的光线OFt与y轴的夹角。如图1-9所示，这里d为圆柱形空腔的半径，d=htanα，α为折射部分和反射部分的分界角，即A1=α。h为e1点的纵坐标。

图1-8 反射部分光路示意图

图1-9 透镜的边界条件示意图

光线OFt经过S4面折射后照到了S5面，根据折射定律

式中，Qt为从S4面出射的光线Ftft与过Ft点法线矢量的夹角；n0和n1分别为空气和介质的折射率。第1条光线OF1，经过S4面折射后照到S5面的起始点f1，要保证从f1点出射的光线刚好通过S2面边缘点，因此f1的坐标为

x51=x21，y51=dcotP1+（x21-d）tanQ1 （1-15）

如图1-10所示，光线OFt经过S4面折射后，入射到了S5面上的ft（x5t，y5t）点，光线Ftft的单位方向矢量为I5t，当光线Ftft入射到S5面的ft点上，经其反射之后的出射光线方向矢量为O5t，矢量O5t平行于y轴，曲面ft点处的法向矢量为N5t。I、O和N三者满足反射定律，即

根据这个关系可以求出过S5面上ft点的切线斜率为

接下来构建S5面上相邻采样点ft和ft+1之间的迭代关系。如图1-10所示，当获得ft点的坐标（x5t，y5t）以后，如果S5面上采样点的数量比较多，过ft点的切线与从Ft+1点出射的第t+1条采样光线的交点可近似为ft+1点。过ft点的切线的斜率可以用Ft和ft的坐标来表示，如式（1-19）。

Ft+1ft+1的斜率可表示为

过ft点的切线的斜率为

图1-10 构建反射面上相邻两个坐标点之间的迭代关系

联立式（1-20）和式（1-21）可以得到

图1-11 光学系统的二维轮廓