推荐序
一部可以改变人们对数学看法的书
本书作者弗朗西斯·苏的父母都是华人，他在2015年成为美国数学协会（MAA）有史以来的首位非白人会长，是一位卓有成就的数学家。他在即将卸任MAA会长时发表了一场令人动容、引起轰动的告别演讲。他在演讲中将数学描述成通往人类繁荣的大道，认为对数学的探寻能满足人类的五种基本需求：游戏、美、真理、公正和爱，本书是在这个演讲的基础上拓展完成的。
对于这样一本出于一位有深厚数学造诣、对数学及数学教育的本质有深刻领悟的真正专家之手的书，“一本阐明数学之于个体作为一个人的意义，以及如何让人生更充盈的书”，一本被誉为能够改变大众对数学看法的书，我实在不敢说精通其要义。这里我只能把自己在一个多月的时间里利用碎片化时间仔细阅读、做了近两万字笔记并进行反复思考、咀嚼后的心得体会写出来，分享给广大读者。期待能抛砖引玉，引发广大读者更深入地思考、讨论数学与数学教育对于一个人到底意味着什么。
那么，数学对一个人的意义到底在哪里？一个等价的问题是数学到底有怎样的育人功能？与抽象地强调“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中有着不可替代作用”不同，弗朗西斯认为应该从了解“数学是如何与人类心灵深处的渴望紧密相连的”入手去讨论数学是什么、为什么要学数学。弗朗西斯的答案是“数学促进人类的繁荣”，而“人类的繁荣”则指存在和行为相互统一，人人都能发挥自己的潜能并帮助他人实现潜能，有尊严地行事，并维护他人的尊严，即便在充满挑战的环境中，也保持正直的人格。如何实现人类的繁荣？弗朗西斯推崇亚里士多德的观点——繁荣来自美德的实践，并认为“正确的数学实践，可以培养出有助于人类繁荣的美德”。
那么，正确的数学实践培养了哪些有助于人类繁荣的美德呢？弗朗西斯在本书中给出了全面而深刻的阐述。下面结合其中的一些论述谈谈我的一些思考。
弗朗西斯认为，数学研究的核心意义在于探索和理解。探索是人类心灵深处的渴望，也是人类繁荣的标志。探索培养了想象力的美德，激发了创造力的美德，孕育出对迷人魅力的期待。理解是对事物意义的追求，它造就了重要的美德：第一，构建故事的美德（这里的“故事”某种意义上可以理解为背景、情景、关系、联系等等，通过“故事”把各种想法联系起来，实现数学的意义建构，将“故事”融入新知识而使知识具有生命力）；第二，抽象思维的美德（抽象，通过在两个具有类似结构或相似表现的事物之间建立联系而丰富事物的意义）；第三，对意义的追求产生了坚持和沉思的附加美德。他指出，辨明一个想法的意义需要持久思考，这是解决问题的艰苦工作，你必须坐下来专注于一个数学问题，并对其冥思苦想，这样你会形成思想的关联，并构建故事来解释你所看到的规律。弗朗西斯强调，适切的数学实践的核心是对意义的追求，如果你在努力中没有找到意义，你就不能在数学或人生中蓬勃发展。数学的意义远不止它的效用，而数学之美，正是通过我们从一个视角转向另一个视角，在反思一个思想的多重意义的过程中找到的。因此，弗朗西斯认为，“数学是规律的科学，也是赋予这些规律意义的艺术”。
探索和理解是正确的数学实践的核心。反观我们的数学课堂，可以发现，探索和理解沦为副歌，而记忆加模仿却成了主旋律。如何改变这种状况？弗朗西斯认为，成为一名数学探索者的唯一要求是拥有能够提出“为什么？怎么样？如果……那么……”之类问题的能力。只要有机会，我们就要反驳数学即记忆的观点，并用数学即探索的观点取代它。一个数学记忆者不知道如何应对不熟悉的情形，但一个数学探索者可以灵活地适应不断变化着的条件，因为他已学会提出问题，而这将使他在面对陌生情况时能从容应对。所以，改变课堂从培养学生的提问能力开始。同时，为了造就构建故事和抽象思维的美德，培养坚持和沉思的美德，我们必须把“意义的追求”作为课堂的核心任务。
在新课程实施过程中，我们曾经提出如下观点：
以研究一个数学对象的“基本套路”为指导，设计出体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性的系列化数学活动，引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决问题。要使学生掌握抽象数学对象、发现和提出数学问题的方法，将此作为教学的关键任务，以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越。
对照弗朗西斯的观点，可以发现，我们所强调的也是“探索和意义的追求”，与他注重的“正确的数学实践”不谋而合。
那么，从数学认知活动的角度看，数学教学中到底应以怎样的方式来开展“正确的数学实践”呢？弗朗西斯认为，正确的数学实践应基于人类心灵深处的渴望。他在本书中讨论了源于人类心灵深处的渴望、标志着人类繁荣的人的深层次需求与数学的联系，包括探索、意义、游戏、美、永恒、真理、奋斗、力量、公正、自由、团体、爱等。他认为，如果这些需求得到满足，那么越来越多的、来自各种背景的人就会被吸引到数学王国中来。可以看到，这些需求与数学的联系，许多都是我们熟悉的，例如通过数学满足对真理、美、永恒、力量、自由等的需求，但也有一些是我们比较陌生的，例如公正、爱、游戏等。下面以建立游戏与数学的联系为例，看看我们应该以怎样的方式实现正确的数学实践。
弗朗西斯认为，游戏是人类深层的渴望，也是人类繁荣的标志。游戏通常是自愿的；游戏是有意义的，否则人们也不会沉浸其中；游戏是有结构的，遵循某些规则；游戏将自由植入规则之中，在规则下的自由探索会带来惊喜。人类游戏的特质使创造性思维和想象力的作用得到了拓展。
那么，游戏的这些特征在数学的探索中是如何体现的呢？
弗朗西斯认为，数学使大脑成为游戏的乐园。数学探索是一种引人入胜的游戏：在探索规律、培养对事物运作方式的好奇心的过程中，乐趣将随着各种想法的出现而得到激发。陈省身教授说“数学好玩”，这也是弗朗西斯的观点，看来这是数学研究者的共同体验。数学家对一个项目的研究通常也是源于“好玩”：思考规律，玩味想法，探究何为真实，并享受来自过程的各种惊喜。
弗朗西斯认为，数学游戏的适切练习培养了美德，使我们有能力在生活的每一个领域不断成长。例如，数学游戏建立了希望——当你长时间探索一个问题时，你的内心一定怀着“我将解决它”的希望，这种充满希望的经历可以延续到其他难题的解决中。在探索过程中，数学游戏培养了好奇心、发展了专注力，这是一种强烈的充满愉悦的精神活动，可以避开日常生活的纷扰。数学游戏培养了努力中的自信——你知道努力是怎样的，因为你已习惯于此并乐于接受，你意识到如果自己的大脑因努力而疼痛，那么它就是令人愉悦的思维活动。数学游戏培养了等待过程中的耐心，一个数学问题的解决也许需要几年时间，直到你发现它的结果。数学游戏培养了毅力，每周的数学探究使我们更迫切地迎接下一个问题，不论它是什么。数学游戏培养了转换观点的能力，使我们能从多个视角看问题，形成一种为社会做出贡献的开放精神。
游戏是我们作为人类的一种本质需求，对数学游戏的渴望会吸引人们去研究并享受数学，在研究和享受数学的过程中使希望、好奇心、专注力、自信、耐心、毅力和开放的态度等美德得到培养。弗朗西斯的这些观点醍醐灌顶，极具启发性，使我们清晰地看到当下流行的“刷题教学”是如何扼杀学生的天性、伤害学生对数学研究的渴望，又是如何背离数学育人的本来目标。这样的教学把数学当成了一堆冷冰冰的法则，用一种机械重复的方式灌输给学生，单调乏味、令人窒息，根本不存在数学游戏中出现的那种跌宕起伏、令人心跳的过程，使弗朗西斯所描绘的希望、好奇心、专注力、自信、耐心、毅力和开放的态度等美德的培养失去土壤，必将湮灭学生对数学的内心渴望之火。如果我们的教学能充分利用“好玩”这一数学本性，通过有数学含金量的问题对学生形成真正的智力挑战，把学生对游戏这一人类的深层渴望激发出来，那么好玩的数学就能鼓励他们去尝试，无聊的“刷题”也就能转化成一次次令人兴奋的探索和规律、意义的追寻，这样，有助于人类美德的培养也就自然而然、水到渠成了。
以上从数学研究的核心意义和数学认知活动的基本方式两个角度谈了我从本书中获得的思想启迪，这是给我留下深刻印象、引起我强烈共鸣的地方。实际上我们可以从本书的阅读中获得更多。用当下流行的说法，本书中“金句”很多，其中的观点触及数学的本质和人类个体的灵魂，不仅发人深省，而且可以改变我们对数学的看法，值得广大读者深入挖掘。