第36章 交点

她是一个女孩，一个文科生。她的成绩很好，各个学科都很好。当然，就包括数学。她说，学数学千万不要一开始就想复杂的。因为数学家说过，学习数学既不靠智商又不靠努力。唯一的要求就是勇气。这是一部电影里数学家告诉学生的，我深以为然。学习数学的你是不是有种感觉就是在做题的时候一筹莫展，等到听老师讲解时就豁然开朗。数学如果找不对方法，浪费的时间可不止一星半点。算了，接下来就让她自己来说吧！埃斯皮诺萨坐下，等待女孩的到来。

女孩说：我叫古玉。我们都知道点是数学中极为重要的概念，所有的数学问题都绕不开它。点有很多种，我想讨论的是交点。我们不谈证明，只是说说有哪几种交点。

小尼迫不及待：心急吃不了热豆腐，那么我把豆腐据为己有不就可以等到豆腐冷了再吃吗？

这么容易的事情，我怎么会让给别人。再说，交点就那么几种，我不先说，岂不就没有说的了。

线与线有一个交点，而这个交点形成两对对顶角。将四个开口封闭，就有两对等角三角形。将开口线进行长度变化，就可以形成两个三角形对应群。

线与非所在面有一个唯一的交点。如果线与面的夹角是不是直角，那么就以直线为旋转轴进行旋转，就可以倒圆柱。

线与三角形相交且不在三条边上，交点可以是中点、垂足、顶点以及五心。那五心呢？内心、外心、垂心、重心、旁心。其中，除了垂心和重心外都和圆有关。我尝试把三等分点与其所在边对应的顶点连接起来就形成六条三等分线。它们共有六个交点。六个交点就像重心一样可以按照一定比例分割相交的两条线。

埃斯皮诺萨着急地说：你别说完了。还是我来说吧！

线与圆就复杂多了。不过，交点都在圆上。一条线时有两种情况，切线和割线。切线与圆有一个交点，而割线与圆有两个。当有两条线时，就有三种情况的交点。同时，也对应切线定理、割线定理和切割线定理。

圆与圆有两种情况。第一种是相切，交点是切点。而切点是唯一的交点。第二种是相交，有两个交点。

还有一种是两条线的情况，就是它们在圆内。这时，就有五个交点。

艾丽西亚说：这下该我了。

两个多边形的交点就多了，情况也更加复杂。

两个正方形有四种情况。第一种就是一个正方形的一个顶点在另一个正方形的一边上。第二种是一个正方形的一边和相邻两边的部分都在另一个正方形里面。第三种是一个正方形的相邻两边的部分在另一个正方形里面。第四种是两个正方形的四条边两两相交。

古玉说：看来大家都列举的差不多了。实际上，还有很多情况。比如，线可以是折线和曲线。不过这样一来，情况会瞬间复杂许多。所以，我就不提这些情况了。我觉得我们下一次还要来讨论这个问题。只不过方式需要换一下，可能就是比较具体吧！