广义相对论

相对论的问世让人们知道了四维弯曲时空、有限无边宇宙、引力波、引力透镜、大爆炸说以及21世纪宇宙学的主旋律——黑洞，等等。这一切来得都太突然，让人们觉得相对论神秘莫测，因此在相对论刚问世那几年，一些人宣称“全世界只有12个人懂相对论”。甚至有人说“全世界只有两个半人懂相对论”。更有甚者将相对论与“通灵术”相提并论。其实相对论并不神秘，它是被检验了无数次的理论，更不似人们想象得那么高不可攀。但想要理解相对论，需要掌握一定的数学、几何知识。

相对论应用的几何学并不是普通的欧氏平面几何，而是黎曼几何。相信很多人都知道非欧几何，它分为罗氏几何（双曲几何）与黎氏几何（椭圆几何）两种。在非欧几何里，有很多奇怪的结论，三角形内角和不是180°，圆周率也不是3.14，因此在刚出来时备受嘲讽，被认为是最无用的理论。直到在球面几何中发现了它的应用才受到重视。空间如果不存在物质，时空是平直的，用欧氏几何就足够了。比如在狭义相对论中只是考虑了四维伪欧几里得空间，加一个“伪”字是因为时间坐标前面还有个虚数单位i。当空间存在物质时，物质与时空相互作用，使时空发生了弯曲，这是就要用到非欧几何。事实上不存在没有物质的空间，因为就算有你也永远无法发现，因为当你看见它的同时它就有了物质，最起码是光。

知识拓展9

非欧几何

非欧几何完全是基于欧几里得第五公设无法给出确定证明而创立的。

古希腊数学家欧几里得的《几何原本》第一卷中列举了23个定义、5条公设、5条公理，由此推证出48个命题。第五条公设内容如下：“如果两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于180°，则适当延长这两条直线，一定在夹角和小于180°的一侧相交。”接下来漫长的岁月中人们用各种方法来证明第五公设，从古希腊时代到18世纪末，许多数学家都尝试用欧几里得几何中的其他公理来证明欧几里得的平行公理，但是结果都归于失败，他们都在论证过程中不知不觉地引进了未加证明的新假设。19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波尔约等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。这说明平行公理是独立于其他公理的，并且可以用不同的“平行公理”来替代它。

罗巴切夫斯基和波尔约分别在1830年前后发表了他们关于非欧几何的理论。在这种几何里，罗巴切夫斯基平行公理替代了欧几里得平行公理，即在一个平面上，过已知直线外一点至少有两条直线与该直线不相交。由此可演绎出一系列全无矛盾的结论，并且可以得出三角形的内角和小于180°。想象一下，我们在一个双曲面空间（不是双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳能罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形。经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180°，无论怎么画都不能超出180°。

继罗氏几何后，德国数学家黎曼在1854年又提出了既不是欧氏几何也不是罗氏几何的新的非欧几何。这种几何采用如下公理替代欧几里得平行公理：同一平面上的任何两直线一定相交。同时，还对欧氏几何的其他公理做了部分改动。在这种几何里，三角形的内角和大于180°，假设我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，会发现无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180°，人们把这种几何称为椭圆几何，黎曼几何在证明广义相对论时起到了至关重要的作用。

在广义相对论中，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而表现为均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。在数学界，欧氏几何仍占主流；而物理学界，则用的是黎曼几何。

相对论预言了引力波的存在，发现了引力场与引力波都是以光速传播的，否定了万有引力定律的超距作用。当光线由恒星发出，遇到大质量天体时光线会重新汇聚，也就是说，我们可以观测到被天体挡住的恒星。一般情况下，看到的是个环，被称为爱因斯坦环。爱因斯坦将场方程应用到宇宙时发现宇宙不是稳定的，它要么膨胀要么收缩。而当时的宇宙学认为宇宙是无限的、静止的，于是他不惜修改场方程，加入了一个宇宙常数，得到一个稳定解，提出有限无边宇宙模型。可是在1929年，哈勃发现了星系光谱红移和距离的线性关系，即所谓哈勃定律。人们把红移归结于宇宙的膨胀，并推论宇宙是由于100多亿年前的一次大爆炸产生的，产生了标准的大爆炸宇宙学理论。

当爱因斯坦得知哈勃发现了“宇宙普遍在膨胀”这一事实后，这位伟大的科学家认为自己引入的宇宙常数是犯了一个大错误，于是他就将方程中的常数项去掉了，这之后的60年，宇宙常数项被排除在宇宙学之外。后来天文学家通过哈勃太空望远镜发现，一种神秘的能量在宇宙中起着作用，这种能量在推动宇宙加速膨胀，天文学家称之为暗物质与暗能量，于是宇宙常数项被再次引入，但其代表的已不是爱因斯坦提出时的意义了。

在以后的研究中，物理学家们惊奇地发现，宇宙已不能用膨胀来描述了，简直是在爆炸。极早期的宇宙分布在极小的尺度内，宇宙学家们需要粒子物理内容给出更全面的宇宙演化模型，而粒子物理学家需要宇宙学家们的观测结果和理论来丰富和发展粒子物理，结果就使粒子物理学和宇宙学这两个物理学中最大和最小的分支结合起来。值得一提的是，虽然爱因斯坦的静态宇宙被抛弃了，但它的有限无边宇宙模型却是宇宙未来三种可能的命运之一，而且是最有可能完美解释宇宙的理论。

根据广义相对论中“宇宙中一切物质的运动都可以用曲率来描述，引力场实际上就是一个弯曲的时空”的思想，爱因斯坦写出了著名的引力场方程。该方程是一个以时空为自变量、以度规（gμν）为因变量的带有椭圆形约束的二阶双曲型偏微分方程。它以复杂而美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解，后来人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦西解。

关于场方程和史瓦西解，我们会在后面章节中加以介绍。

原理与验证

在狭义相对论那一节我们已讲到惯性系无法定义，因对一切运动的描述，都是相对于某个参考系的，参考系选取的不同，对运动的描述或者说运动方程的形式也随之不同。于是爱因斯坦将相对性原理推广到非惯性系，提出了广义相对论的第一个原理——广义相对性原理：一切坐标系（包括非惯性系）应全部遵守客观真实的物理规律，应该在任意坐标系下均有效。为此，物理规律在任意坐标变换下应是协变的，故广义相对性原理也称为广义协变性原理。这与狭义相对性原理有很大区别，狭义相对性原理是说在不同参考系中一切物理定律完全等价，没有任何描述上的区别。但在一切参考系中就不可以了，只能说不同参考系可以同样有效地描述自然规律。这就需要我们寻找一种更好的描述方法来适应这种要求。

在前面的内容中我们已知道，狭义相对论无法包含万有引力定律，也无法处理加速度这个麻烦。引力和加速度，一个代表力，一个代表运动，这两件事在狭义相对论里都解决不了，那要怎么办呢？于是爱因斯坦用等效原理来处理。爱因斯坦是如何解释等效原理的呢？所谓念念不忘必有回响，关于这个原理的发现还有一个神奇的故事。据说有一天晚上，爱因斯坦做了一个梦，梦到自己在一个下降的电梯里自由下落，然后他想到了一件事：如果一个人在电梯里与电梯同时做自由落体运动，他是感受不到重力的，就像在电梯里悬浮一般。电梯自由下落是引力导致的，人在电梯里感受不到重力加速度。这个场景刚好把狭义相对论无法处理的两个东西（引力和加速度）都包含进来了，而且，他们似乎是等效的。通俗地讲，对于一个观察者来说，无法确定这个人是悬浮在太空里（惯性系）还是在一个做自由落体运动的电梯里（有地球引力的非惯性系），无法区分就视为等效。

让我们从故事世界来到物理世界。在物理世界，质量有两种：惯性质量和引力质量。惯性质量是用来度量物体惯性力大小的，起初由牛顿第二定律定义（物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同）。引力质量则是度量物体引力荷的大小，起初由牛顿的万有引力定律定义，它们是互不相干的两个定律。惯性质量不等于电荷，那么惯性质量与引力质量（引力荷）在牛顿力学中不应该有任何关系。然而通过当代最精密的实验也无法发现它们之间的区别，惯性质量与引力质量严格成比例（选择适当系数可使它们严格相等）。广义相对论将惯性质量与引力质量完全相等作为等效原理的内容，这样，非惯性系与引力之间也建立了联系。那么在引力场中的任意一点都可以引入一个很小的自由降落参考系，然后就可以用狭义相对论来处理剩下的内容，即初始条件相同时，等质量、不等电荷的质点在同一电场中有不同的轨道，但是所有质点在同一引力场中只有唯一的轨道。

等效原理使爱因斯坦认识到，引力场很可能不是时空中的外来场，而是一种几何场，是时空本身的一种性质。由于物质的存在，原本平直的时空变成了弯曲的黎曼时空。在广义相对论建立之初，曾有一个惯性定律：不受力（除去引力，因为引力不是真正的力）的物体做惯性运动，在黎曼时空中，就是沿着测地线运动。测地线是直线的推广，是两点间最短（或最长）的线，是唯一的。比如，球面的测地线是过球心的平面与球面截得的大圆的弧。广义相对论的场方程建立后，这一定律可由场方程导出。值得一提的是，伽利略曾认为匀速圆周运动才是惯性运动，匀速直线运动总会闭合为一个圆，这样提出是为了解释行星运动。牛顿力学对这一说法是否定的，然而相对论又将它复活了，行星做的的确是惯性运动，只是不是标准的圆周匀速运动。

爱因斯坦在建立广义相对论时，就提出了三个实验并很快就得到了验证：引力红移、光线偏折、水星近日点进动。现在又增加了第四个验证：雷达回波的时间延迟。

1．引力红移

广义相对论证明，在引力势低的地方固有的时间流逝速度慢。也就是说离天体越近，时间越慢。这样，天体表面原子发出的光周期变长，由于光速不变，相应的频率变小，在光谱中向红光方向移动，称为引力红移。宇宙中有很多致密的天体，我们可以测量它们发出的光的频率，并与地球的相应原子发出的光做比较，发现红移量与相对论预言一致（相对论预言，由于地球上不同高度引力势能不同，会引起光子离开地球时在不同高度的频率不同，相差20米带来的频率测量变化为2×10-15Hz）。1960年，庞德和里布卡利用穆斯堡尔效应测量到了这个微小的变化，他们在地球引力场中利用γ射线的无反冲共振吸收效应（穆斯堡尔效应）测量了光垂直传播22.5米产生的红移，结果与相对论预言一致。

2．光线偏折

如果按光的波动说，光在引力场中不应该有任何偏折，可用普朗克公式E=hv和质能公式E=mc2求出光子的质量，用牛顿万有引力定律得到的太阳附近的光的偏折角是0.87″，而按广义相对论计算的偏折角是1.75″。

1919年，第一次世界大战刚结束，英国科学家爱丁顿派出两支考察队，利用日食的机会观测，观测的结果约为1.7″，刚好在相对论预言的误差范围之内。引起误差的主要原因是太阳大气对光线的偏折。现在利用射电望远镜就可以观测类星体的电波在太阳引力场中的偏折，不必等日食这种稀有机会。随着测量仪器的日益精密，所测量的结果也进一步证实了相对论的结论。

3．水星近日点进动

16世纪以来，第谷等天文学家已经得到大量准确的天文观测记录数据。1859年，法国天文学家勒威耶发现水星近日点进动的观测值，天文观测记录了水星近日点每百年进动5600″，人们考虑了各种因素，根据牛顿理论只能解释其中的5557″，还剩43″无法解释。广义相对论的计算结果与万有引力定律有所偏差，这一偏差刚好解释了水星的近日点每百年进动43″这一现象。原来在太阳系中，行星在太阳所产生的弯曲空间中运动，它们的轨道是测地线，而由太阳质量所弯曲的时空连续体的测地线并不是严格的椭圆或双曲线，轨线的轴会随时间而缓慢进动（进动是指一个自转的物体受外力作用导致其自转轴绕某一中心旋转的现象）。

4．雷达回波实验

从地球向行星发射雷达信号，接收行星反射的信号，测量信号往返的时间，来检验空间是否弯曲（通过三角形内角和来检验）。20世纪60年代，美国物理学家克服重重困难做成了此实验，结果与相对论预言相符。

从那时起，人们对广义相对论的检验表现出越来越浓厚的兴趣。但由于太阳系内部引力场非常弱，引力效应本身就非常小，广义相对论的理论结果与牛顿引力理论的偏离很小，观测非常困难。20世纪70年代以来，由于射电天文学的进展，观测的距离远远突破了太阳系，观测的精度随之大大提高。特别是1974年9月由美国麻省理工学院的泰勒和他的学生赫尔斯，用305米口径的大型射电望远镜进行观测时，发现了脉冲双星，它是一个中子星和它的伴星在引力作用下相互绕行，周期只有0.323天，它的表面的引力比太阳表面强10万倍，是地球上甚至太阳系内不可能获得的检验引力理论的实验室。经过长达十余年的观测，他们得到了与广义相对论的预言符合得非常好的结果。由于这一重大贡献，泰勒和赫尔斯获得了1993年诺贝尔物理学奖。

接下来，让我们来了解一下引力波。

根据广义相对论，引力是质量扭曲时空的结果。一个时空之中只有一个静止的物体（或者处于匀速运动状态），那么它所处的时空不会发生变化。但如果你加入第二个有质量物体，这两个物体之间就会发生相互运动，会相互向对方施加一个加速度，在这一过程中也就将造成时空结构的改变，这种变化会以波的形式向外以光速传播，这也就是相对论预言的引力波。事实上，真正探测到引力波是最近两年的事，为什么引力波的发现会让人如此兴奋？原来，引力波有两个非常重要而且比较独特的性质：第一，不需要任何的物质存在于引力波源周围，这时就不会有电磁辐射产生。第二，引力波能够几乎不受阻挡地穿过行进途中的天体。它能够提供给地球上的观测者有关遥远宇宙中黑洞和其他奇异天体的信息，更为有趣的是，它能够提供一种观测极早期宇宙的方式，甚至是最初宇宙奇点所发生的事情。

爱因斯坦曾用一个绷紧的床单放入不同质量的物体来解释他的理论，请在大脑形成这个画面，如果这两个质量物体处于相互运行的轨道之中，那么随着时间推移这个轨道将会逐渐收缩，这两个质量物体之间的距离将逐渐缩短，现在意识到什么了吗？也就是说这两个物体会碰撞到一起，是不是很可怕？不过完全不必担心，对于像地球围绕太阳运行这样一个系统，两个天体的质量还太小，而两者之间的距离又非常实在太遥远，因此在引力波耗散能量的条件下，这个轨道也将需要经过10150年才会衰减完毕，如此长的时间根本不是我们人类要担心的，但对未知世界的探索引发的快乐才是人生存的意义所在啊！

人类自从发现了引力波，对神秘宇宙的探索又有了质的飞跃。

哈勃用数据让人类知道宇宙是膨胀的，但却不知道造成这种膨胀的原因及膨胀速度，宇宙科学家决定通过分析死亡恒星在空间和时间结构中产生的涟漪——引力波来解开这个谜题。

确定哈勃常数可以测定宇宙膨胀速度，从而推算出宇宙的确切年龄以及目前宇宙状态的一些细节。今天科学家主要通过两种方法来测量哈勃常数：一种方法是，监测邻近的天体光谱红移值，估计它们的距离，从而推算出宇宙的膨胀速度。另一种方法是，关注宇宙微波背景辐射，通过分析宇宙微波背景辐射随时间的变化也可以计算出宇宙膨胀的速度。

可是这两种方法测得的结果不同，得出的宇宙膨胀速度也就不同了。宇宙微波背景辐射的数据显示，宇宙目前正在以大约每秒326万光年67千米的速度膨胀，而超新星爆发和造父变星的数据显示，宇宙膨胀的速度是每秒326万光年73千米。虽然只是6千米的差距，但这也说明物理学家对宇宙的结构及解释是不尽人意的。

物理学家认为，爱因斯坦预言的引力波可以解决人类对宇宙认识模糊这一难题。如果全世界各地的多个引力波探测设施都检测到同一次中子星合并事件的引力波信号，那么将这些观测数据结合起来，科学家们可以计算出这一信号的绝对强度，并十分准确地计算出这一中子星合并事件发生处与地球之间的距离。然后再进一步探索这个合并事件发生在哪个星系。通过对这一星系红移值的观测，然后再与引力波信号推出的距离对比，就可以得到更精确的宇宙膨胀速度。

引力波非常微弱，2016年6月16日凌晨，LIGO（激光干涉引力波天文台）合作组宣布：2015年12月26日03:38:53（UTC：协调世界时），位于美国汉福德区和路易斯安那州的利文斯顿的两台引力波探测器同时探测到了一个引力波信号（两个初始质量分别为约14个太阳质量和约8个太阳质量的黑洞，合并成一个约21倍太阳质量的旋转黑洞），这是继LIGO 2015年9月14日探测到首个引力波信号之后（由质量分别相当于29个太阳质量和36个太阳质量的两个黑洞合并时发出）人类探测到的第二个引力波信号。

2017年8月17日，LIGO和Virgo（室女座引力波天文台）科学家首次探测到由双中子星合并产生的引力波（同时，中国第一颗空间X射线天文卫星——慧眼HXMT望远镜又有了重要发现，它对此次引力波事件进行了成功监测）。

知识拓展10

X射线爆发

X射线爆发与宇宙γ射线爆发相似，宇宙X射线爆发（简称X爆发）也是20世纪70年代天体物理学的重大发现之一。X爆发的主要特征：爆发的上升时间≤1秒；爆发的持续时间由几秒到几十秒；大部分的能量在低于50keV（千电子伏）的范围内辐射；爆发重复出现，但没有准确的周期。大多数爆发源的爆发间隔由几小时到几十小时，也有一些X爆发源的爆发间隔由几秒钟到几分钟，有人把前者称为Ⅰ型X爆发，把后者称为Ⅱ型X爆发。MXB1730-335是非常奇特的X爆发源，在它上面可以同时观测到Ⅰ型和Ⅱ型X爆发。对于多数爆发源，在两次爆发之间还观测到有一种比较稳定的X射线辐射。而且发现这种稳定辐射处于高强度状态时，不出现X爆发；处于低强度状态时，才出现爆发。同时发现，大多数爆发源，或许是全部爆发源，都有一个爆发活动时期和一个爆发宁静时期。在地面上测得的X爆发的极大流量的典型数值为10-10erg/cm·s（erg，尔格，1erg=10-7J）。如果取爆发源的距离为3万光年，则得X爆发的极大功率为10-10erg/ cm·s。观测表明，在X爆发的亮度下降阶段，Ⅰ型X爆发的能谱有变弱的倾向，Ⅱ型X爆发无此倾向。

为什么要选择中子星合并事件呢？因为与黑洞相撞不同，中子星会发出可见光，中子星碰撞产生的引力波可以帮助科学家确定它们与地球的距离，而碰撞所发出的光有助于确定它们相对于地球的移动速度。利用这两组数据，研究人员就能计算出准确的哈勃常数。这个常数能让我们知道宇宙是否一直这样膨胀下去，或达到某个值时灰飞烟灭。

引力波的观测意义不仅在于对广义相对论的直接验证，更在于它能够提供一个观测宇宙的新途径，就像观测天文学从可见光天文学扩展到全波段天文学那样极大地扩展了人类视野。传统的观测天文学完全依靠对电磁辐射的探测，而引力波天文学的出现则标志着观测手段已经开始超越电磁相互作用的范畴，引力波观测将揭示关于恒星、星系以及宇宙更多前所未知的信息。引力波为我们打开了一个除电磁辐射、粒子外的全新观察宇宙的窗口，让我们更加了解了时空纠缠的秘密！

知识拓展11

造父变星

造父变星（Cepheid variable stars）是一类光度周期性脉动变星，即其亮度呈周期性变化。因典型星——仙王座δ（中文名造父）而得名。由于根据造父变星周光关系可以确定星团、星系的距离，因此造父变星被誉为“量天尺”。1784年约翰·古德利发现了造父变星的光变现象，1912年哈佛天文台的亨丽爱塔·勒维特通过研究麦哲伦星云内成千上万颗的变星发现了造父变星的周期—光度关系。造父变星本身亮度虽然巨大，但是不足以测量极遥远星系核天体，更远的星系用Ⅰa型超新星测量。

相对论的狭义与广义

在爱因斯坦刚刚提出相对论的初期，人们用所讨论的问题是否涉及非惯性参考系作为区别狭义与广义相对论的标志。随着相对论理论的发展，这种区分方法越来越显现出其缺点——参考系是与观察者紧密相关的，以这样一个相对的物理对象来划分物理理论不能很好地反映问题的本质。

目前，多数物理学家认为，狭义与广义相对论的区别在于所讨论的问题是否涉及引力（弯曲时空），即狭义相对论只涉及那些没有引力作用或者引力作用可以忽略的问题，而广义相对论则是讨论有引力作用时的物理学的。用相对论的语言来说，就是狭义相对论的背景时空是平直的，即由三维欧几里得空间与时间组成的四维流形配以闵氏度规，其曲率张量为零，又称闵氏时空；而广义相对论的背景时空则是弯曲的，其曲率张量不为零。

知识拓展12

曲率张量

曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率是几何体不平坦程度的一种衡量，平坦对不同的几何体有不同的意义。

张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量的重要特性在于它可以满足一切物理定律与坐标系的选择无关。

曲率张量是几何张量的一种，而黎曼曲率张量更因相对论为大家所熟知。