3.3　常用的统计分析方法——相似度计算

我们从3.2节的内容中可以看到，由于不同目标行之间的属性不同，画出的散点图也是千差万别的，而不同的属性对于数据处理来说，需要一个统一的度量进行计算，即需要对其相似度进行计算。

相似度的计算方法很多，这里选用最常用的两种，即欧几里得相似度计算和余弦相似度计算。如果读者对此不感兴趣，可以跳过本节内容继续学习。

3.3.1　基于欧几里得距离的相似度计算

欧几里得距离（Euclidean Distance）是最常用的计算距离的公式，它用来表示三维空间中两个点的真实距离。

欧几里得相似度计算是一种基于用户之间直线距离的计算方式。在相似度计算中，不同的物品或者用户可以将其定义为不同的坐标点，而将特定目标定位为坐标原点。使用欧几里得距离计算两个点之间的绝对距离。欧几里得相似度的计算如【公式3-1】所示。

【公式3-1】

从【公式3-1】可以看到，作为计算结果的欧式值显示的是两点之间的直线距离，该值的大小表示两个物品或者用户差异性的大小，即用户的相似性。两个物品或者用户距离越大，可以看到其相似度越小；距离越小则相似度越大。

下面来看一个常用的用户－物品推荐评分表的例子，如表3-3所示。

表3-3是3个用户对物品的打分表，如果需要计算用户1和其他用户之间的相似度，通过欧几里得距离公式可以得出：

可以看到，用户1和用户2的相似度为1.414，而用户1和用户3的相似度是：

从得到的计算值可以看出，d12的分值小于d13的分值，根据欧氏距离与相似度成反比的法则，可以认为用户2相对于用户3更加近似于用户1。

3.3.2　基于余弦角度的相似度计算

与欧几里得距离相类似，余弦相似度也将特定目标（物品或者用户）作为坐标上的点，但不是坐标原点，与特定的计算目标进行夹角计算，具体如图3-7所示。

从图3-7可以很明显地看出，两条直线分别从坐标原点触发，引出一定的角度。如果两个目标较为相似，那么其线段形成的夹角较小。如果两个用户不相近，那么两条射线形成的夹角较大。因此，在使用余弦度量的相似度计算中，可以用夹角的大小来反映目标之间的相似性。余弦相似度的计算如【公式3-2】所示。

【公式3-2】

从【公式3-2】可以看到，余弦值一般在[-1,1]之间，而这个值的大小同时与余弦夹角的大小成正比。如果用余弦相似度计算表3-3中用户1和用户2之间的相似性，结果如下：

而用户1和用户3的相似性如下：

从计算结果可得，用户2相对于用户3，与用户1更为相似。

3.3.3　欧几里得相似度与余弦相似度的比较

欧几里得相似度以目标绝对距离作为衡量的标准，而余弦相似度以目标差异的大小作为衡量标准，其表述如图3-8所示。

可以看到，欧几里得相似度注重目标之间的差异，与目标在空间中的位置直接相关。而余弦相似度是不同目标在空间中的夹角，更加表现在前进趋势上的差异。

欧几里得相似度和余弦相似度具有不同的计算方法和描述特征。一般来说，欧几里得相似度用以表现不同目标的绝对差异性，从而分析目标之间的相似度与差异情况。而余弦相似度更多的是对目标从方向趋势上区分，对特定坐标数字不敏感。