2.4.2 利用割圆术求解圆周率
通过加减乘除的运算迭代求得某数的N次方根，这是意义非凡的数学成就，因为N次方程式据此可以计算出明确的方根数值，从而一举奠定了代数学的坚实基础。同时，结合“勾三股四弦五”的勾股定理，能够使用开平方运算求得直角三角形的斜边长。假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有方程式a2+b2=c2 ，由此得到
。已知a和b的长度，便能根据牛顿迭代法计算斜边的长度。不要小看勾股定理及其算法，利用它不但能开展三角函数运算，还能进一步求出圆周率π的数值。
众所周知，圆周率π是一个无限不循环小数，数学课本上给出的π近似值有3.14和3.1416两个，它跟勾股定理有什么关系呢？此事说来话长，早在上古时期的中国，人们就认为圆的周长与直径存在比例关系，当时成书的《周髀算经》中明确记载“圆径一而周三”，即圆的周长是直径的三倍（π=3）。后来于汉朝成书的《九章算术》沿用了《周髀算经》里“径一周三”的说法，当然这个估算的圆周率很不精确，三国时期的刘徽就发现“径一周三”只适用于圆的内接正六边形，具体情况如图2-4所示。
显然正六边形的每条边长外围还有一段弯曲的圆弧，六段圆弧构成了整个圆圈的周长，由于每段圆弧都比拉直的各边要长，因此圆周必然大于正六边形的周长，也就是说圆周率应当比数字3大一些。为了计算出精确的圆周率，刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”，从圆的内接正六边形开始，依次往外去割正十二边形、正二十四边形等，随着正N边形的边数增加，正N边形的周长越来越接近圆的周长。正所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”为了更直观地理解割圆术的精妙，来看图2-5所示的圆圈及其内接正六边形、内接正十二边形的形状组合。
图2-4 圆及其内接正六边形的周长
图2-5 圆的内接正六边形与内接正十二边形
由图2-5可见，内接正十二边形的周长更加接近圆周，从而表明割圆术的理论是正确的。不过内接正十二边形的边长该如何计算呢？这个问题必须解决，因为只有求得正N边形的边长，才能通过式子“正N边形的边长*边数/直径”计算出圆周率的近似值。由于内接正六边形的边长刚好等于圆的半径，因此不妨借助于正六边形计算正十二边形的边长。假定圆心为O点，内接正六边形的某条边为AB，且线段AB的两个端点都位于圆圈之上。接着在O点做AB的垂线，且垂线与圆圈相交于C点，与AB相交于D点，此时各点的分布情况如图2-6所示。
图2-6 圆的内接正十二边形的边长计算
然后分别连接AC两点与BC两点，可见线段AC和BC构成了内接正十二边形的两条边长，于是正十二边形的边长解法就变成了计算AC或BC的长度。假设圆的半径长度为r，则线段OA、OB、AB的长度均为r，同时因为垂线OD将三角形OAB二等分，所以线段AD与BD各为AB的一半长即
。在直角三角形ODB中，根据勾股定理可知OB2=BD2+OD2，求得
，进一步求得线段CD的长度：
。注意到CDB三点依旧构成直角三角形，那么由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，于是得到线段BC的长度：
。倘若r值为1，求得内接正十二边形的边长
，此时正十二边形的周长≈0.5176×12=≈6.212，将这个周长除以圆的直径长度2，可得正十二边形对应的圆周率π=6.212/2=3.106。显而易见，内接正十二边形的3.106要优于正六边形的3，要是继续割到内接正二十四边形，正二十四边形对应的圆周率又会比正十二边形更逼近真实的π值。
上述求解内接正十二边形边长的办法同样适用于正二十四边形、正四十八边形等，中心思想是先二等分每条边对应的等腰三角形，再连续运用勾股定理依次求得直角三角形的各边长，进而计算出内接正N边形的边长数值。如此每迭代一次运算，正N边形的边数就翻倍，反复迭代多次之后，内接正N边形就越来越趋向于圆圈，相应的圆周率数值也越来越精确。
当年刘徽从圆的内接正六边形开始，一直割到内接正192边形，并求得圆周率的近似值为3.14。但他拿官方的度量衡标准容器一验证，发现3.14还是偏小，于是继续往上一路割到圆的内接正3072边形，终于求出此时的圆周率值为3.1416。为了计算准确的圆周率数值，古今中外的众多数学家穷尽智慧，纷纷各显神通谋划圆周，知名的数学家除了刘徽外，还包括东汉数学家张衡、南北朝数学家祖冲之以及古希腊数学家阿基米德、印度数学家阿耶波多、波斯数学家花拉子米、意大利数学家斐波那契、阿拉伯数学家卡西、德国数学家鲁道夫、英国数学家牛顿和梅钦等，真可谓“圆周率如此多娇，引无数天才竞折腰”。他们各自推导的圆周率精度见表2-2。
表2-2 古代数学家计算的圆周率纪录
这些数学家中的佼佼者便是祖冲之，他在刘徽开创的割圆术的基础上，首次将圆周率推导至小数点后7位，即π值位于3.1415926和3.1415927之间，并且该纪录保持了近千年才被打破。为了便于日常运算，祖冲之还给出了圆周率的两个分数形式，其中22/7精确到小数点后两位，被称作“约率”；另一个355/113精确到小数点后7位，被称作“密率”，用于日常生活中的圆周、圆面积、球体积等运算已绰绰有余。
如今来到计算机时代，初学者只要利用割圆术的算法，结合编程语言的四则运算与数学函数，即可不费吹灰之力轻松求得较精确的圆周率值。仍从圆的内接正六边形开始，依次切割正十二边形、正二十四边形直至正三千零七十二边形，每次切割都根据勾股定理计算出直角三角形的各边长，且每次迭代过程编写的算法代码一模一样，后续迭代只需将首次的迭代代码复制粘贴一遍就行，具体的实现示例代码如下（完整代码见本章源码的src\com\arithmetic\Yuanzhoulv.java）：
// 假设圆的半径r=1，则直径d=2，内接正六边形的边长=1
int r=1; // 半径
long edgeNumber=6L; // 从正六边形开始内接圆
double edgeLength=r; // 内接正n边形的边长（初始值为正六边形的边长）
double π=edgeLength * edgeNumber / (2*r); // 圆周率
System.out.println("正n边形的边数="+edgeNumber+"，圆周率="+π);
double gou; // 直角三角形中长度最短的边，称作“勾”
double gu; // 直角三角形中长度居中的边，称作“股”
// 以下计算内接圆的正十二边形
edgeNumber=edgeNumber*2; // 正n边形的边数乘2
gou=edgeLength/2.0; // 计算勾
gu=r - Math.sqrt(Math.pow(r,2) - Math.pow(gou,2)); // 计算股
// 通过勾股定理求斜边长（勾三股四弦五），斜边长也是新正n边形的边长
edgeLength=Math.sqrt(Math.pow(gou,2) + Math.pow(gu,2));
// 正n边形的周长除以直径，即可得到近似的圆周率数值
π=edgeLength * edgeNumber / (2*r);
System.out.println("正n边形的边数="+edgeNumber+"，圆周率="+π);
// 以下计算内接圆的正二十四边形
edgeNumber=edgeNumber*2; // 正n边形的边数乘2
gou=edgeLength/2.0; // 计算勾
gu=r - Math.sqrt(Math.pow(r,2) - Math.pow(gou,2)); // 计算股
// 通过勾股定理求斜边长（勾三股四弦五），斜边长也是新正n边形的边长
edgeLength=Math.sqrt(Math.pow(gou,2) + Math.pow(gu,2));
// 正n边形的周长除以直径，即可得到近似的圆周率数值
π=edgeLength * edgeNumber / (2*r);
System.out.println("正n边形的边数="+edgeNumber+"，圆周率="+π);
// 此处省略正四十八边形、正九十六边形直到正三千零七十二边形的代码
运行以上的圆周率求解代码，观察到的输出日志如下：
正n边形的边数=6，圆周率=3.0 正n边形的边数=12，圆周率=3.105828541230249 正n边形的边数=24，圆周率=3.1326286132812378 正n边形的边数=48，圆周率=3.1393502030468667 正n边形的边数=96，圆周率=3.14103195089051 正n边形的边数=192，圆周率=3.1414524722854624 正n边形的边数=384，圆周率=3.141557607911858 正n边形的边数=768，圆周率=3.1415838921483186 正n边形的边数=1536，圆周率=3.1415904632280505 正n边形的边数=3072，圆周率=3.1415921059992717
可见随着内接正N边形的边数增加，求得的圆周率精度越来越高，当n=96的时候，圆周率精确到了3.14，当n=3072的时候，圆周率精确到了小数点后6位。从程序的运行结果可知，史书记载的刘徽割圆之事所言非虚。