第1章　了不起的公式

负数——数学界的转型

乌鸦和蜜蜂竟然也会数数！

19世纪德国著名数学家克罗内克（1823-1891）曾说：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”

据相关研究表明，1、2、3……这样的数字，不仅人类会数，动物也会数。

德国图宾根大学的研究表明，乌鸦可以完成“时间差对照实验”：在乌鸦面前放置两个电脑屏幕（样品组和测试组），屏幕上分别呈现两张带不同数量圆点的图片，先让乌鸦观看样品组的图片，然后停顿一秒钟，再让乌鸦观看测试组的图片，当两组图片中圆点数量相同时，乌鸦会去啄显示屏，此时乌鸦能够得到食物。让乌鸦参与实验后，乌鸦不仅能够理解实验的意图，且仅在两张图片中的圆点数量相同时去啄显示屏。

澳大利亚昆士兰大学的研究表明，蜜蜂也会数数。实验人员在隧道中做若干记号，随机在某个记号（比如3号）处放置花蜜，然后让蜜蜂多次通过隧道。实验结果表明，即使隧道中没有花蜜、只有记号，蜜蜂依旧会在3号记号附近聚集。

当然，考虑到蜜蜂有可能通过记号与入口的距离做出判断，实验人员改变了记号与记号之间的距离，继续让蜜蜂穿过隧道，而蜜蜂依旧会在3号记号处聚集，这一点引起了大家的广泛兴趣。

还有其他的案例，比如杜鹃。杜鹃繁衍时将自己的蛋下在黄莺的巢穴中，让黄莺孵化，这时，杜鹃每下一个蛋，都会将黄莺的蛋扔掉一个。

被称为“假数”的负数

负数的概念是人类发明的“新数字”概念之一，负数指比0小的数。早在公元2世纪的中国数学书和公元7世纪前半叶的印度数学书中，就可以看到负数的相关演算。

特别是在公元7世纪的印度，商人会将“10万的借款”记录为“负10万的收益”，这种记录方法在商业中被广泛运用。

而欧洲数学家开始接受负数的存在是在17世纪以后。以“我思故我在”闻名世界的笛卡尔（1596-1650），曾把通过方程式解出的负数称作“假数”。

直至18世纪，还有许多数学家无法理解负数的概念。

欧拉的误解

莱昂哈德·欧拉（1707-1783）是一名天才数学家，据说他“计算时毫不费力，就像人呼吸或者鹰在空中盘旋一样”。然而即便这样一位天才，也不可避免地犯了一个“错误”：他认为在的计算中，当x为正数时，x越接近0，则y的值越大；而负数比0小，那么当x为负数时，y将趋于无穷大。

你能想象“负3个面包”是怎样的画面吗？

为什么西欧的数学家们强烈抵制将负数纳入数学的范畴呢？为什么他们在遇到负数时会产生误解？

这是由于负数是没有办法被直观感受的数字。无须多言，我们无法将“负3个面包”放在眼前展示。通常，人们难以接受无法想象的事物。

然而，如果使用负数，就可以将两个相反的事物放在同一个概念中进行思考。例如，假设某公司某月收入300万日元，支出100万日元，如果不能使用负数计算，就必须要考虑收和支两个不同的概念，如若每个月的盈亏状况不等，计算便会十分复杂。

将完全相反的两个概念放在同一概念中思考

相反，如果用“负100万日元”表示支出100万日元，以收支的转折点为原点，那么就可以在同一条数轴上计算收支的差值。将两个相反的概念放在一个概念中思考是引入负数概念的重要优势。

有了负数，“0”不再是数轴的端点，而变成了原点，这一变化也有着重大意义。据此，“0”将不仅仅表示“无”，它也可以表示正负数同时存在时的平衡点。

人造卫星和两名相扑运动员

我们都知道，人造卫星相对于地球静止。这种现象的产生，不是因为卫星没有受到力的作用，而是因为它所受的引力和离心力大小相等。

此外，原子之所以呈中性，是因为原子核的正电荷跟核外电子所带的负电荷数量相等，如果这一平衡被打破，便会产生阴阳离子。

在相扑比赛中，时常看到两名运动员在场地中央四手相缠、抱作一团，看着像是静止一般。他们当然不是在休息，而是两名运动员互相作用在对方身上的力大小几乎相等，所以画面看上去像是静止一般。物体受到大小相等、方向相反的力后保持静止，看上去就像没有受到力的作用一样，是因为方向相反的两个力相互抵消掉了。

通过引入负数的概念，将“0”当作原点，能够发现看似平静的现象的真实情况，比如可以考虑到大小相等、方向相反的力相互抵消的可能性。同时，也可以将“0”看作是某种不平衡发生的前兆。就如我们亲眼看见的现象——原本抱成一团的相扑运动员在下一秒就突然打破了平衡的状态——一样，其中一方被另一方推出了场外。

人际关系也是同样的道理。假设现有一对夫妇，他们的关系十分稳定，那么他们应该是彼此为对方着想，才让爱情的天平处于平衡状态。如果其中一方想当然地认为这种稳定是伴侣给予自己的“无偿的爱”，而不再为对方考虑，那么最终很有可能会让天平失去平衡。

“负数”为隔音降噪技术作出了重要贡献

如果能够通过概念，而不是仅仅依靠现实了解事物，人们的思考将实现飞跃式的进步。通过建立和细化一个抽象的概念，可以帮助我们进一步了解世界。其实，除了自然科学领域以外，在经济学、社会学等学术领域以及我们的日常生活中，都存在诸多只能用负数才能描述的事物。

例如，降噪耳机的原理就是，让鼓膜振动的振幅和麦克风吸收的外界声音的振幅方向相反，正负抵消，从而实现降噪的效果。降噪耳机并非将人耳和外界声音简单地阻隔开来，因此，其静音效果要远远优于物理降噪的效果。

在降噪耳机的帮助下，人们可以在地铁上和工地附近欣赏美妙的音乐，这种技术的实现正是得益于负数概念的建立。

人类所创造的负数，对我们的生活带来了深远的影响，可以称作数学界最重要的一次范式转移（这个名词用来描述在科学范畴里，一种在基本理论上对根本假设的改变。这种改变，后来亦应用于各种其他学科方面的巨大转变——编者注）。