2.1 Nb₃Sn超导体临界性能的经验和半经验模型

2.1.1 一维变形状态

由于Nb₃Sn复合超导体特殊的“线材”形态，所以早期对力学变形效应的讨论，都集中在一维变形状态下（轴向拉压应变作用下）的临界性能演化方面。通过拟合实验测量结果，Ekin[1]给出了一个描述Nb₃Sn超导体临界电流密度应变依赖性的通用力—电磁耦合本构关系，其中，轴向应变ε_axi对于上临界磁场强度的影响可以用式（2.1.1）来表示。

式中，H_c2m表示函数H_c2（ε_axi）的极值点；a和u为描述应变效应的基本参数。对Nb₃Sn超导体临界电流密度的描述借助临界态概念，得到最大钉扎力F_p与磁场强度H和温度T的关系[2]：

式中，2≤ν≤3[3]；函数κ（T）-γ（1＜γ＜3）[4]表示Ginzburg-Landau常数κ对于温度的依赖关系；函数f表示最大钉扎力对于磁场的依赖关系。在实际工程应用中，应变会导致超导体临界曲面边界的移动，相应地，临界电流密度、临界磁场强度、临界温度会随着超导体结构的应变状态而降低，为了维持超导体的超导态，要求施加的电流、磁场、温度在临界曲面以内。Ekin[1]从T=4.2K时临界电流—应变的实验数据分析发现，轴向应变对磁通钉扎力的影响具有与临界温度影响类似的形式，即

式中，n=1±0.3。轴向应变对临界磁场强度的影响用函数s（ε_axi）=H_c2（4.2，ε_axi）/H_c2m（4.2）来描述，该函数形式由实验拟合给出，其中，H_c2m（4.2）表示实验测量得到的临界磁场—应变曲线的极大值点。在式（2.1.3）中，磁通钉扎力函数形式中表示磁场依赖关系的函数f[H/H_c2（ε_axi）]由Kramer[5]给出：

对于Nb₃Sn超导体，p≈0.5，q≈2。由式（2.1.2）和式（2.1.3）出发，为了得到轴向应变对临界电流密度J_c（H，T）的影响，还需要知道轴向应变对于临界温度T_c的作用规律。临界温度—轴向应变的函数形式与临界磁场—轴向应变的函数形式满足下列经验关系[1,6]：

对于A15相超导体，w≈3；由式（2.1.5）得到临界温度—轴向应变的函数关系式为T_c（ε_axi）=T_cms（ε_axi）1/w，此处T_cm为临界温度—应变曲线的极大值点。

由式（2.1.2）和式（2.1.3）可见，除确定磁场强度和轴向应变对磁通钉扎力的作用形式外，还需要确定磁通钉扎力与温度的依赖关系。温度对磁通钉扎力的作用表现为温度对临界磁场强度和Ginzburg-Landau常数的影响。临界磁场强度的函数形式可以表示为[4]

式中，β（T，ε_axi）为温度对临界磁场强度的影响函数。在不考虑轴向应变的作用时，温度对上临界磁场强度的影响可以用两种不同的形式给出。Summers[7]基于经验关系给出了上临界磁场强度与温度的依赖关系：

式中，t≡T/T_c（0，0），，热力学临界磁场强度H_c与温度的关系近似地表示为H_c（T，0）=H_c（0，0）（1-t2）。Maki[9]和De Gennes[10,11]在1964年基于微观理论给出了上临界磁场强度对于温度的依赖关系（MDG关系）的隐式形式：

式中，ħ为约化普朗克常量，k_B为玻尔兹曼常数，ϕ₀为磁通量子，D*（ε_axi）为常态下传导电子的扩散系数，μ₀为真空磁导率，ψ（x）为Digamma函数。作为式（2.1.8）的显式近似，定义MDG（t）≡H_c2（t）_MDG/H_c2（0）_MDG，在整个温度变化范围内，上临界磁场强度—温度的变化关系近似满足

基于微观理论的分析结果[12]，对于弱耦合超导体（电—声子作用较弱），温度变化导致Ginzburg-Landau常数变化κ（0）/κ（T_c）=1.2；对于强耦合超导体，κ（0）/κ（T_c）=1.5，表明当温度从0变化到临界温度T_c时，κ的变化达到50%。Ginzburg-Landau常数—温度的变化关系可以通过数值求解非线性Eliashberg方程[13]得到，目前还没有能够适用于所有电—声子耦合常数的一般函数关系。借助式（2.1.8）和式（2.1.9），以及和H_c（T，0）=H_c（0，0）（1-t2），可以得到Ginzburg-Landau常数—温度变化的函数形式[14]：

应变和温度共同作用时，在临界磁场强度的变化关系式（2.1.6）中，应变的作用主要表现为应变对于临界温度的影响，因此，式（2.1.6）中的函数β（T，ε_axi）可以写为β（T，T_c（ε_axi）），由Summers给出的上临界磁场—温度的经验关系得到

函数K（T，T_c（ε_axi））中包含Ginzburg-Landau常数κ（T，ε_axi）的作用。

最终得到临界电流密度对磁场强度、温度、应变依赖关系的函数形式为[14]

除该表达形式外，基于不同的钉扎力模型及相应的简化方程，文献[15]给出了临界电流密度的其他表达形式[15]，通用的临界电流密度函数为

式中，h≡H/H_c2（T，ε_axi），在温度为0K时，应变对于Ginzburg-Landau常数的影响采用κ（0，ε_axi）=κ_m（0）s（ε_axi）α来描述，上临界磁场强度对于温度和应变的依赖关系采用H_c2（T，ε_axi）=H_c2m（0）MDG（t）s（ε_axi）来描述。

为了实现超导材料特征物理量的参数化和多物理场环境下Nb₃Sn超导体临界性能的描述，Bottura等[16]讨论了这些经验模型的内在统一性，给出了具有一般性的临界电流密度函数，根据Ekin的结论，临界电流密度（J_c）对于磁场（H）、温度（T）、轴向应变（ε_axi）的依赖性可以由以下函数来表示：

式中，b=H/H_c2（T，ε_axi）；t=T/T_c（0，ε）；ε_axi=ε_app-ε_m为施加的轴向变形ε_app与临界参数取得极值处的应变值ε_m的差值。不同的模型中g（ε_axi）、h（t）、f_p（b）、s（ε_axi）的函数形式在表2.1中给出。

通过比较各模型发现，在多数情况下，J_c的模型化可以通过三个独立的函数来实现。

较其他本构关系，ITER-2008模型具有简单、稳定、拓展性较好等优点，因而被ITER组织采用。ITER组织采用这些力—电磁耦合本构关系来分析磁体性能，以及实施超导磁体系统的检测验收。从单根材料的超导电性能分析到整个超导磁体系统性能的有效预测，临界电流密度函数J_c（H，T，ε_axi）的本构关系起着非常重要的作用，为此许多学者致力于开展相关的研究工作[17-27]。能够应用于实际工程的J_c（H，T，ε_axi）本构关系要求具有以下几个特点：①基于明确的物理背景，对于超导体力—电磁耦合机理进行准确的阐释；②模型中含有较少的物理参数并且参数容易获得；③对于性能未知的超导材料，要通过尽量少的实验获得较多的超导体信息，如借助小应变区间内参数的测量获得整个应变区间的超导电性能信息；④本构模型形式简单，且具有较广的应用范围，能够准确描述已有的大量实验测量结果，同时能够对复杂多物理场耦合作用下的超导电性能衰退进行预测。

借助经验模型和半经验模型，上述研究揭示了多物理场环境下Nb₃Sn超导体临界性能退化之间的内在联系。一方面，随着超导磁体制造水平的提升，对单轴应变状态下超导体临界性能弱化的研究和表征已经难以满足磁体工程的设计和性能分析需求，需要开发出考虑应变张量属性的力—电磁—热耦合本构模型；另一方面，自Nb₃Sn超导体的应变效应被发现以来，对于这一效应的理论解释一直处于争论状态，解释这一效应的需要从多尺度力学和多物理场（含应力场）环境下微结构的性能演变来考虑。