2.3 从贝叶斯网络到可解释的因果模型

前文提到贝叶斯方法（或者更广义的概率方法）只能表示和学习变量之间的相关关系，而不能学习到变量之间的因果关系。如图1-2所示，后者恰恰是“高级智能”的表现方式。在假定因果关系存在的情况下[3]，有不同的理论来表示和推断因果关系。考虑到本章的完整性和延续性，本节聚焦于Judea Pearl在因果模型（CausalModel）方面的工作［3］。

首先举一个例子［4］来讨论相关关系和因果关系的区别。

实例2.2（症状与病因）.考虑两个伯努利变量，其中A=1表示一个人发烧，A=0表示一个人体温正常；B=1表示一个人被某种致人发烧的病毒感染，B=0表示没有被感染。那么二者之间的关系是一种因果关系，而非相关关系。从直觉上理解，一个人可以因为感染病毒而发烧，而不是因为发烧才感染病毒，这种关系是有明确方向的，即从B指向A。现在，有一位医生提出了一个使用冷敷降温的治疗策略，问该策略能否从根本上治愈发烧的病人？为了方便，引入伯努利变量C，C=1表示采取冷敷策略，C=0表示不采取冷敷策略。

图2-15 贝叶斯神经网络使用不同的推断算法估计预测结果和不确定性［68］

首先，尝试用贝叶斯网络解决实例2.2中的问题。注意到概率建模只关心两个变量之间的依赖关系，贝叶斯网络的有向边无论是从B指向A还是反过来都可以表示同样的联合概率分布。在给定这个联合概率分布之后，从概率推断的角度看，双向的条件概率都是有意义的，因为这仅仅是询问二者之间的相关性。但是，概率描述的是一种静态的关系，它无法回答一个问题：可否通过冷敷降温的方式从根本上治愈发烧的病人？医学知识告诉我们，答案是否定的。但是，如果计算条件概率分布P（B=0|A=0），会得到大概率可能治愈的答案，因为二者的联合分布告诉我们，体温正常和没有病毒感染是非常相关的。这个错误的根本原因是概率语言刻画的是一种静态的相关关系，其推断是基于“观察”的证据计算一些概率，并不改变联合概率分布。

相反地，因果推断（Causal Inference）关心的是有外因对变量进行干涉（intervention）的问题（记为do（·））。形式化地，实例2.2中将通过冷敷是否可以治病的问题等价于通过干涉A的取值能否改变B的取值，形式化地记为计算P（B=0|do（A=0））。注意到通过干涉，两个变量的联合分布可能会发生改变。如果通过冷敷这种外因降温，无论一个人是否被感染，其体温都可能正常。也就是说，联合分布P（A，B）在外因介入的情况下发生了改变。除治病问题之外，很多问题都属于因果推断的范畴，例如超市改变商品价格如何影响销量等。

既然因果推断问题如此普遍，又无法用贝叶斯网络在内的概率语言描述，一种自然的想法是提出一种新的语言来描述因果关系，Judea Pearl提出的因果模型便是其中的一种。形式化地，一个因果模型是一个三元组M=＜U，V，F>：

•U是一个变量的集合。其元素表示背景条件，称为外因（exogenous）。外因的取值不由模型本身决定。

•V=V1，···，V n是一个变量的有序集。其元素表示模型所能决定的变量，称为内因（endogenous）。内因由U∪V决定。

•F=f1，···，f n是一个函数的有序集。其元素f i从U∪V1∪···∪V i-1映射到V i。也就是说，每个f i描述了如何通过外因和前序内因的值来确定对应内因V i的值。

直观地，上述因果模型也伴随一个有向无环图，称为因果图（CausalGraph），记为G（M）。G（M）中的每个点都对应一个内因变量，每条有向边都表示该变量对V i的值有直接作用。类似于贝叶斯网络，通过因果图中的稀疏连接，也可以更加简洁地描述变量之间的关系。具体而言，每个f i的具体形式为

式中，πi是V i在因果图中对应的父亲的编号；vπi是相应的取值；u i是外因中直接作用于V i的变量对应的取值。

和贝叶斯网络相比，因果模型考虑了模型外的变量，同时连接关系刻画的是因果关系，而非相关性（条件独立性）。实例2.2中的外因就是冷敷与否C，内因就是A和B构成的集合，B的取值由自己决定，A的取值由B和C的取值共同决定，通过函数a=f A（b，c）来描述。结合医学知识，可以知道f A（b，c）=m in｛b，1-c｝，即未感染或者进行冷敷都会让体温正常。

为了描述干涉带来的影响，也就是支持do（·）操作，需要引入一个新的概念，叫作子模型（submodel）。形式化地，在一个因果模型M中，假设X是V中的一个子集，x是X的某种取值，对应的子模型是一个因果模型M x=＜U，V，F x>，式中F x=｛f i：V i/∈X｝∪｛X=x｝。子模型的引入描述了干涉某些变量是如何影响整个因果模型的。根据子模型，可以计算其他变量的取值，也就从数学上支持了do（·）操作。如果因果图是有向无环的，则因果模型有一些良好的性质，例如，依据子模型计算引入干涉后的结果是唯一的等，具体证明和其他性质请参考文献［3］。

根据子模型的定义和实例2.2中给定的因果关系，可以直接得到do（C=0）（即采用冷敷）诱导的子模型中B（即感染病毒与否）的取值仍然是自己决定的。因此，对这个模型的直观解释为：采用冷敷的策略并不能从根本上治愈病人。

上述因果模型的定义是确定性的，为了刻画因果关系中的不确定性，可以把因果模型和概率分布结合起来，得到概率因果模型。概率因果模型通过在外因上引入概率分布，结合因果模型的函数来定义内因上的概率分布，用于描述非确定的因果关系。限于篇幅，本章不再赘述，详见文献［3］。