一 数学是什么
这里所要说明的“数学”这一个词，包含着算术、代数、几何、三角等在内。用英文名词来说，那就是 Mathematics。它的定义，照平常的想法，非常简单、明了，几乎已用不到再加说明。但真要说明，那问题却又有很多。且先举罗素（Russell），在他所著的《数理哲学》提出的定义，真是叫人莫名其妙，好像在开玩笑一样。他说：
“Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.”
将这句话很粗疏地译出来，就是：
“数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”
这样的定义，既惝恍迷离，又神奇莫测，真是“不说还明白，一说反糊涂”。然而，若要将已经发展到现在的数学的领域概括得完全，要将它繁复、灿烂的内容表示得活跃，好像除了这样也没有其他更好的话可说了。所以伯比里慈（Papperitz）、伊特耳生（Itelson）和路易·古度拉特（Louis Couturat）几位先生对于数学所下的定义也是和这个大体相似。
对于一般的读者，这定义，恐怕反而使大家坠入迷雾中，因此，“拨云雾见青天”的工作似乎是少不了的。罗素所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是用数学的其他定义来相比较更容易明白。
在希腊，亚里士多德（Aristotle）那个时代，不用说，数学的发展还很幼稚，领域也极狭小，所以数学的定义只需说它是一种“计量的科学”，已很可使人心满意足了。可不是吗？这个定义，对于初学数学的人是极容易明白而且能够满足的。他们解四则问题、学复名数的计算，再进到比例、利息，无一件不是在计算量。就是学到代数、几何、三角，也还不容易发现这个定义的破绽。然而仔细一想，它实在有些不妥帖。第一，什么叫作“量”。虽然我们可以用一般的知识来解释，但真要将它的内涵说明白，也不容易。因此，当用它来解释其他名词时，依然不能将那名词的概念明了地阐述出来。第二，就是用一般的知识来解释“量”，所谓“计量的科学”这个谓语也不能够明确地划定数学的领域。例如测量、统计这些学科，虽然它们有各自特殊的目的，但也只是一种计量。总的来讲，仅仅用“计算的科学”这一个谓语联系到数学而 形成一个数学的定义，未免过于广泛了。
若进一步去探究，这个定义欠缺的还不止这两点，所以孔德（Comte）就将它加以修改为：“数学是间接测量的科学。”照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有“量”才有可计算的，但它所计的“量” 是通过什么方式得来的呢？用一把尺子就可以量一块布有几尺几寸宽、几丈几尺长；用一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这些都是可以直接办到的。但若要测量行星轨道的广狭、行星的体积，或是很小的分子的体积，这些就不是依靠人力所能直接测定的，但用数学的方法都可以间接将它们计算出来。因此，孔德所下的这个定义，虽然不能将前一个定义的缺陷完全补正，但总是较进一步了。
孔德毕竟是十九世纪前半期的人物，虽然他是一位不可多得的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在广阔，如群论、位置解析、投影几何、数论以及逻辑的代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。而这些支流与量或测量实在没什么关系。即如笛沙格（Desargues）所证明的一个极具趣味的定理：“两个三角形的顶点若在集交于一点的三条直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。”
这个定理的证明，就只用到位置的关系，和量毫不相干。数学的这种进展，自然是轻轻巧巧地便将孔德所给的定义攻破了。
到了 1970 年，皮尔士（Peirce）就另外给数学下了一个这样的定义：
“数学是产生‘必要的’结论的科学。”
不用说，这个定义比之前的都要广泛得多，它已离开了数、量、测量等这些名词。我们知道，数学的基础是建筑在几个所谓公理上面的。从方法上说，不过由这几个公理出发，逐渐演绎出去而组成一个秩序井然的系统。所谓公式、定理，只是这演绎所得的结论。
照这般说法，皮尔士的定义可以说是完整无缺吗？
不！依照几个基本的公理，通过逻辑的法则演绎出的结论，只是“必然的”。若说是“必要”，那就很值得商榷。我们若要问怎样的结论才是必要的，这岂不是很难回答吗？
更进一步说，在目前的数学领域中，固然大部分还是采用着老方法，但像皮亚诺（Peano）、布尔（Boole）和罗素这些先生们，却又走着一条相反的途径，他们对于数学的基础的研究要掉一个方向去下寻根问底的工夫。
于是，这个新鲜的定义又免不了摇动。
关于这定义的改正，我们可以举出康伯（Kempe）的来看，他说：“数学是一种这样的科学，我们是用它来研究思想的题材的性质的。而这里所说的思想，是归依到含着相异和相同，个别和复合的一个数的概念上面。”
这个定义，实在太严肃、太具文学气息了，而且意味也有点儿含混。在康伯以后，布契（Bôcher）把它修改为：
“倘若有某一群的事件与某一群的关系，而我们所要研究的问题，又单只是这些事件是否适合于这些关系，这种研究便称为数学。”
在这个定义中，最值得注意的一点，布契提出了“关系”这一个词来解释数学，它并不用数、量这些家伙，因此很巧妙地将数学的范围扩张到“计算”以外。
假如我们以前只是照惯用的意义来解释“计算”，那么，到了现在，数学中有些部分确实和计算没有什么关系。
也正是因为这个缘故，我更喜欢用“数学”这个词来译Mathematics，而不是“算学”。虽然“数”字还是不免有些语病，但似乎比“算”字来得轻些。
倘使我们再追寻一番，我们还可以发现布契的定义也并不是“悬诸国门不能增损一字”的。不过这种工夫越来越细微，也不容易理解。而我这篇文章不过想给一般的读者一点儿数学的概念，所以不再往里面深挖了。
将这个定义来和罗素所下的比较，虽然距离较近，但总还是旨趣悬殊。那么，罗素的定义果真是开玩笑吗？
我是很愿意接受罗素的定义的，为了要将它说得明白些，也就是要将数学的定义——性质——说得明白些，我想这样说：
“数学只是一种符号的游戏。”
假如，有人觉得这样太轻佻了一点儿，严严正正的科学怎么能说它是“游戏”呢？那么，像这样说也可以：
“数学是使用符号来研究‘关系’的科学。”
对于数学这种东西，读者大都有过这样的疑问：这有什么意思呢？
这有什么用呢？本来它不过让你知道一些关系，以及从某种关系中推演出别的关系来，而关系的表述大部分又只依靠着符号，这自然不能具体地给出什么用场和意义了。
为了解释明白上面提出的定义，我想从数学中举些例子来讲，这样更方便些。
我们先看“一加二等于三”。
在这一个短短的句子 里，照句子构 成，总共是五个 词：“一”“二”“三”“加”“等于”。这五个词，前三个是一类，后两个又是一类。什么叫“一”？什么叫“二”？什么叫“三”？这实在不容易解答。它们都是数，数是抽象的，不是吗？我们能够拿一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶给别人看，但我们拿不出“一”来，“一”是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶。一个这样，一个那样。从这些东西中我们认识它们的共相，要自己保存，又要传给别人，不得不给它起一个称呼，于是就叫它“一”。我为什么叫“薰宇”，倘若你要问我，我也回答不上来，我只能说，这只是一个符号，有了它方便你们称呼我，可以让你们在茶余酒后要和朋友们批评我、骂我时，说起来方便些，所以“薰宇”两个字是我的符号。同样地，“一”就是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶……这些东西的共相的符号。这么一说，自然“二”和“三”也一样只是符号。
至于“加”和“等于”在根源上要说它们只是符号，一样也是可以的，不过从表面上说，它们表示一种关系。所谓“一加二”是表示“一”和“二”这两个符号在这里的关系是相加；所谓“等于”是表示在它前后的两件东西在量上相等。所以归根结底“一加二等于三”只是三个符号和两个关系的联缀。
只举这么一个例子，似乎还不能够说明白。那么我们再举一例，假定你已经学过代数了，我们就可以从数的范围的逐渐扩大来说明。
在算术里我们用的只是 1，2，3，4……这些数，最初跨进代数的门槛，遇到 a，b，c，x，y，z，总有些不习惯。你对于 2+3=5，并不感到惊奇和怀疑；对于两个加三个等于五个，也不觉惊奇和怀疑；但对于2a+3a=5a，你却怔住了，常常觉得不安心，不知道你在想什么。其实，2a+3a=5a 和 2+3=5 对于你的习惯来说，后者不过更像符号而已。有了这一个使用符号的进步，许多关系来得更简单，更普遍，不是吗？若是将 2a+3a=5a具体化，认为a是一只狗的符号，那么这关系所表示的便是两只狗碰到了三只狗成为五只狗；若a是一个鼻头的符号，那么，这关系所表示的便是两个鼻头添上三个鼻头总共就成了五个鼻头。
从另一个角度来看，在算术中除法常有除不尽的时候，比如2÷3。遇见这样的问题，我们便有几种方法表示：
第一种只是一个近似的表示法；第二种表示得虽正确，但用起来不方便；第三种是循环小数，关于循环小数的计算，那种苦头你肯定尝到过；第四种是分数，
是什么？你已经知道就是2除以3的意思。对了，只是“意思”，实际并没有除。这和6除以3得2的意味是不同的。刚才所说的“意思”便是“符号”。因为除法有除不尽的时候，所以我们使用“分数”这种符号。有了这种符号，我们就可以推出分数中的各种关系。
在算术里你知道 5-3=2，但要碰到 3-5 你就没有办法了，只好说一句“不能够”。“不能够”？这是什么意思？我替你解释便是没有办法表示这个关系。但是到了代数里面，为了探究一些更普遍的关系，不得不想一些方法来突破这个困难。于是在面对3-5 为什么“不能够”这个问题时，有些人异口同声地回答，因为还差2的缘故。这一回答，关系就成立了，“从3 减去 5 差 2”。在这个当儿又用一个符号“-2”来表示“差2”，于是这关系就成为3-5=-2。这一来，真是“功不在禹下”。有了负数，我们既可探讨它自身所包含的一些关系，也可以将我们已得到的一些关系更普遍化。
又如在乘法中，有时只是一些相同的数相乘，便给它一种符号，譬如a×a×a×a×a写成a5。这样一来，关于这一类的东西又可以发现许多关系，例如：
不但这样，这里的n和m还只是正整数，后来却扩张到负数和分数进而得出下面的符号：
这些符号的使用，是代数所给的便利，学过代数的人都已经知道了，我也不用再说了。
由整数到分数，由正整数到负数，由乘方到使用指数，我们可以看到许多符号的创立以及许多关系的产生、衍变。要将乘方还原，用的是开方，但开方常常会“碰钉子”，因此就有了无理数，如
……这不过是一些符号，这些符号经过一番探索，便和乘方所用的指数符号结成了很亲密的关系。
将这些例子总结起来，除了使用符号和发现关系以外，数学实在没有什么别的花头。倘若你已学过平面三角，那么，我相信你更容易承认这句话。所谓平面三角，不就是只靠着几个什么正弦、余弦这类的符号来表示几个比，然后去研究这些比的关系和三角形中的其他关系吗？
现在我说“数学是使用符号来研究‘关系’的科学”，你应该不至于再怀疑了吧？
在数学中，你会碰到一些实际的问题需要你计算，譬如三个十两五钱总共是多少斤。但这只是我们所得的关系的具体化，换句话说，不过是一种应用。
也许你还有一个疑问，数学中的公式和定理固然只是一些“关系” 的表现形式，但像定义那类的东西又是什么呢？我的回答是这样，那只是符号的规定。“到一个定点距离相等的一个完全的曲线叫圆。”这是一个定义，但也只是对于“圆”这个符号的规定。
认真来讲，数学只是这么一回事，但我仍然喜欢说它是符号的游戏。所谓“游戏”自然不是开玩笑的意思。两个要好的朋友拿着球拍在 球场上打网球，他们并没有什么争胜的要求，然而玩得兴致淋漓，不忍释手，在这过程中他们得到一种满足，这就是使他们忘却一切的原因，这叫游戏。小孩子独自拿着两块石子在地上造房子，尽管满头大汗，气喘吁吁，但仍然拼尽全身力气去做，这是游戏。至于为银盾而赛球，为锦标而练习赛跑，这便不是游戏了。还有为了排遣寂寞，约几个人打麻将，喝老酒，这也算不上游戏。就在这意味上，我说“数学是符号的游戏”。
自然，从这游戏中可以得到一些收获——发现一些可以供人使用的关系。但符号使用得越多，所得的关系越不容易具体化。等你踏到数学的领域的后部，真的，只要见到符号和关系，那些符号，那么要你把关系说个明白，就算是马马虎虎地说，你也无从下手。
好了，到这一步，罗素便说：
“数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”