§1.4　无穷大量与无穷小量

定义1﹒11　若变量y的绝对值在变化过程中无限增大，则称变量y为无穷大量，记作

本来无穷大量的极限是不存在的，形式上称它的极限为无穷大．无穷大量是指在变化过程中其绝对值无限增大，任何一个绝对值很大的常数都不为无穷大量，如常量函数y＝1010不为无穷大量．

在无穷大量的变化过程中，它取值可能为正，也可能为负．无穷大量有两种特殊情况：一种是正无穷大量，这时无穷大量y在变化过程中的某一时刻后取值恒为正，记作limy＝＋∞或y→＋∞；另一种是负无穷大量，这时无穷大量y在变化过程中的某一时刻后取值恒为负，记作limy＝－∞或y→－∞．

例1　当x→0时，自变量x的绝对值｜x｜无限减小，从而函数的绝对值无限增大，所以函数为无穷大量，即

通过深入的讨论，可以得到：当x→∞时，x的多项式也为无穷大量．

无穷大量具有下列性质：

性质1　正无穷大量与正无穷大量的和仍为正无穷大量，负无穷大量与负无穷大量的和仍为负无穷大量；

性质2　无穷大量与无穷大量的积仍为无穷大量．

注意：无穷大量与无穷大量的代数和、无穷大量与无穷大量的商都不一定为无穷大量．

下面再讨论变量的另一种变化趋势．

定义1﹒12　若极限limy＝0，则称变量y为无穷小量．

无穷小量是指在变化过程中其绝对值无限减小，任何一个绝对值很小但不为零的常数都不为无穷小量，如常量函数y＝10－10不为无穷小量．但常量零为无穷小量，但不能认为无穷小量就是零．

例2　由于极限，所以当x→1时，函数y＝lgx为无穷小量．

无穷小量具有下列性质：

性质1　无穷小量与无穷小量的和、差、积仍为无穷小量；

性质2　无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量．

注意：无穷小量与无穷小量的商不一定为无穷小量．

例3　讨论极限．

解：当x→∞时，变量为无穷小量，并注意到§1﹒3例4得到的结果，这时变量sinx振荡无极限，但恒有｜sinx｜≤1，说明变量sinx为极限不存在的有界变量．根据无穷小量性质2，积仍为无穷小量，所以极限

值得注意的是：由于极限不存在，于是不能应用§1﹒3极限基本运算法则2计算所求极限，即

当角度u（x）→∞时，函数sinu（x）与cosu（x）是常见的振荡无极限的有界变量．

极限存在的变量与无穷小量有什么联系？考虑变量y的极限为A，意味着变量y无限接近于常数A，即变量y－A无限接近于常数零，说明变量y－A的极限为零，变量y－A当然为无穷小量，于是有下面的定理．

定理1﹒4　变量y的极限为A等价于变量y－A为无穷小量．

无穷大量与无穷小量有什么联系？有下面的定理．

定理1﹒5　如果变量y为无穷大量，则变量为无穷小量；如果变量y≠0为无穷小量，则变量为无穷大量．

推论　如果极限limu≠0，limv＝0，且变量v≠0，则极限

例4　讨论极限．

解：由于分子的极限

分母的极限

根据定理1﹒5的推论，所以分式的极限

无穷小量虽然都是趋于零的变量，但它们趋于零的速度却不一定相同，甚至差别很大．考虑当x→0＋时，变量都是无穷小量，它们趋于零的情况列表如表1-2：

表1-2

从表1-2中容易看出：以无穷小量x作为比较标准时，无穷小量x2趋于零的速度比x要快，它们之比值的极限

无穷小量趋于零的速度比x要慢，它们之比值的极限

无穷小量2x趋于零的速度与x属于同一档次，它们之比值的极限

无穷小量x2＋x趋于零的速度与x几乎一样，它们之比值的极限

为了比较无穷小量趋于零的速度，下面给出关于无穷小量的阶的定义．

定义1﹒13　已知变量α，β都是无穷小量，以无穷小量β作为比较标准．那么：

（1）若极限，则称无穷小量α是比β较高阶无穷小量；

（2）若极限，则称无穷小量α是比β较低阶无穷小量；

（3）若极限，则称无穷小量α与β是同阶无穷小量；

（4）特别地，若极限，则进而称无穷小量α与β是等价无穷小量．

根据这个定义可知：当x→0＋时，无穷小量x2是比x较高阶无穷小量，无穷小量是比x较低阶无穷小量，无穷小量2x与x是同阶但非等价无穷小量，无穷小量x2＋x与x是等价无穷小量．