预备知识 初等数学小结
微积分是以初等数学作为基础的，学习微积分必须熟练掌握下列初等数学知识．
1．区间
全体实数与数轴上的全体点一一对应，因此不严格区别数与点：实数x代表数轴上点x，数轴上点x也代表实数x．
在表示数值范围时，经常采用区间记号．已知数a与b，且a＜b，则开区间
闭区间
半开区间
上述三类区间是有穷区间，点a称为左端点，点b称为右端点．此外还有无穷区间：
2．幂
数学表达式ab称为幂，其中a称为底，b称为指数．当指数取值为有理数时，相应幂的表达式表示为
在等号两端皆有意义的条件下，幂恒等关系式为
3．函数的概念
定义0﹒1 已知变量x与y，当变量x任取一个属于某个非空实数集合D的数值时，若变量y符合对应规则f的取值恒为唯一确定的实数值与之对应，则称对应规则f表示变量y 为x的函数，记作
其中变量x称为自变量，自变量x的取值范围D称为函数定义域；函数y也称为因变量，函数y的取值范围称为函数值域，记作G；对应规则f也称为对应关系或函数关系．
若函数f（x）的定义域为D，又区间I⊂D，则称函数f（x）在定义域D或区间I上有定义．
考虑对应规则y2＝x，无论变量x取任何正实数，变量y恒有两个实数值与之对应，因此对应规则y2＝x不表示变量y为x的函数，但是可以限制变量y的取值范围为y≤0或y≥0，而使得它分别代表函数
函数关系的表示方法有公式法、列表法及图形法，在应用公式法表示函数关系时，函数表达式主要有显函数y＝f（x）与隐函数即由方程式F（x，y）＝0确定变量y为x的函数．
定义0﹒2 已知函数y＝f（x），从表达式y＝f（x）出发，经过代数恒等变形，将变量x表示为y的表达式，若这个对应规则表示变量x为y的函数，则称它为函数y＝f（x）的反函数，记作
如果函数y＝f（x）存在反函数x＝f－1（y），则函数x＝f－1（y）也存在反函数y＝f（x），因此函数y＝f（x）与x＝f－1（y）互为反函数．
定义0﹒3 已知函数y＝f（u）的定义域为U1，函数u＝u（x）的值域为U2，若交集U1∩U2非空集，则称变量y为x的复合函数，记作
其中变量x称为自变量，变量u称为中间变量，复合函数y也称为因变量．
只有一个自变量的函数称为一元函数，有两个自变量的函数称为二元函数．
4﹒函数定义域与函数值
对于并未说明实际背景的函数表达式，若没有指明自变量的取值范围，则求函数定义域的基本情况只有四种：
（1）对于分式
，要求P（x）≠0；
（2）对于偶次根式
，要求Q（x）≥0；
（3）对于对数式logaR（x）（a＞0，a≠1），要求R（x）＞0；
（4）对于反正弦式arcsinS（x）与反余弦式arccosS（x），要求－1≤S（x）≤1．
求函数定义域的方法是：观察所给函数表达式是否含上述四种基本情况．如果函数表达式含上述四种基本情况中的一种或多种，则解相应的不等式或不等式组，得到函数定义域；如果函数表达式不含上述四种基本情况中的任何一种，则说明对自变量取值没有任何限制，所以函数定义域为全体实数，即D＝（－∞，＋∞）．
已知函数y＝f（x），当自变量x取一个属于定义域D的具体数值x0时，它对应的函数y值称为函数y＝f（x）在点x＝x0处的函数值，记作
或f（x0），意味着在函数y＝f（x）的表达式中，自变量x用数x0代入所得到的数值就是函数值
即f（x0）．
有时为了简化函数记号，函数关系也可以记作y＝y（x），其中等号左端的记号y表示函数值，等号右端的记号y表示对应规则．
在平面直角坐标系中，一元函数的图形通常是一条平面曲线，称为函数曲线．
5．幂函数
在幂的表达式中，若底为变量x，而指数为常数α，则称函数y＝xα为幂函数．当然有
幂函数y＝x，y＝x2，y＝
及y＝
的图形如图0-1．
图0-1
6．指数函数
在幂的表达式中，若底为常数a（a＞0，a≠1），而指数为变量x，则称函数y＝ax为指数函数．
指数函数y＝ax（a＞1）的图形如图0-2．
图0-2
7．对数函数
若ay＝x（a＞0，a≠1），则将y表示为logax，称函数y＝logax为对数函数，其中a称为底，x称为真数，y称为对数．指数式ay＝x与对数式logax＝y是表示a，x，y三者同一关系的不同表示方法，这两种形式可以互相转化．以10为底的对数称为常用对数，变量x的常用对数记作lgx，即lgx＝log10x．
根据对数函数与指数函数的关系，再根据反函数的定义，可知对数函数y＝logax的反函数为指数函数x＝ay（a＞0，a≠1）．
特殊的对数函数值为真数取值等于1或底时的对数值，即
在等号两端皆有意义的条件下，对数恒等关系式为
对数函数y＝logax（a＞1）的图形如图0-3．
图0-3
8．三角函数
以弧度作为度量角的单位时，“弧度”二字经常省略不写，弧度与度的换算关系为：π弧度＝180°，从而得到：0弧度＝0°，
弧度＝30°，
弧度＝45°，
弧度＝60°，
弧度＝90°．角x的正弦、余弦、正切、余切、正割及余割函数统称为三角函数，分别表示为y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx，y＝secx及y＝cscx．
特别当角x为锐角时，其三角函数可以用直角三角形有关两条边的比值表示，如图0-4，在RtΔABC中，设锐角x的对边为a，邻边为b，斜边为b，斜边为c，当然斜边
，则有
图0-4
特殊角的正弦函数值、余弦函数值及正切函数值列表如表0-1：
表0-1
在等号两端皆有意义的条件下，同角三角函数恒等关系式主要有
异角三角函数恒等关系式中有
正弦函数y＝sinx的图形如图0-5．
图0-5
9．反三角函数
若
，则将y表示为arcsinx，称函数y＝arcsinx为反正弦函数；
若cosy＝x（0≤y≤π），则将y表示为arccosx，称函数y＝arccosx为反余弦函数；
若
，则将y表示为arctanx，称函数y＝arctanx为反正切函数；
若coty＝x（0＜y＜π），则将y表示为arccotx，称函数y＝arccotx为反余切函数．
上述函数统称为反三角函数．
根据反三角函数与三角函数的关系，再根据反函数的定义，可知反正弦函数y＝arcsinx的反函数为正弦函数
，反正切函数y＝arctanx的反函数为正切函数
．
特殊的反正弦函数值与反正切函数值列表如表0-2：
表0-2
反正切函数y＝arctanx的图形如图0-6．
图0-6
10．平面直线、圆及抛物线
在平面直角坐标系Oxy中，方程式
代表直线．特别地，方程式y＝y0（y0≠0）代表经过点（0，y0）且平行于x轴的直线，方程式y＝0代表x轴；方程式x＝x0（x0≠0）代表经过点（x0，0）且平行于y轴即垂直于x轴的直线，方程式x＝0代表y轴．经过点M0（x0，y0）且斜率为k的直线方程的点斜式为
存在斜率的两条直线平行意味着斜率相等．
在平面直角坐标系Oxy中，方程式
代表圆心在原点、半径为r的圆．特别地，方程式
代表下半圆，方程式
代表上半圆．
在平面直角坐标系Oxy中，方程式
代表顶点在原点、对称于y轴的抛物线．若系数a＜0，则开口向下；若系数a＞0，则开口向上．
11．其他
（1）完全平方与立方
（2）因式分解
（3）有理化因式
无理式
互为有理化因式，有
（4）阶乘
前n个正整数的连乘积称为n的阶乘，记作
并规定0！＝1．
（5）绝对值
实数x的绝对值
对于任何实数x都有关系式
当然，当x≥0时，才有关系式
（6）一元二次方程式
一元二次方程式（x－x1）（x－x2）＝0的根为x＝x1，x＝x2．
（7）一元二次不等式
一元二次不等式（x－x1）（x－x2）≥0（x1＜x2）的解为x≤x1或x≥x2；
一元二次不等式（x－x1）（x－x2）≤0（x1＜x2）的解为x1≤x≤x2．
学习微积分还应了解下列初等数学知识．
1．n方差
2．对数换底
3．三角函数和差化积
4．反三角函数基本关系
5．等比数列的前n项和
首项a≠0，公比q≠1的等比数列
的前n项和
6．最大、最小及总和记号
已知n个实数x1，x2，…，xn，它们中的最大者记作max｛x1，x2，…，xn｝，最小者记作min｛x1，x2，…，xn｝，它们的总和记作
．
7．逻辑推理
若命题A成立必然得到命题B成立，则称命题A为命题B的充分条件，或称命题B为命题A的必要条件．
若命题A成立必然得到命题B成立，且命题B成立也必然得到命题A成立，则称命题A为命题B的充分必要条件，或称命题B为命题A的充分必要条件，这意味着命题A等价于命题B．